Topologia ogólna/Podstawowe pojęcia

Podstawowe pojęcia

W rozdziale tym zdefiniujemy pojęcie przestrzeni topologicznej, pokażemy, że jest ono uogólnieniem pojęcia przestrzeni metrycznej, przedstawimy kilka sposobów wprowadzania topologii na zbiorze oraz definicje kilku podstawowych pojęć, m.in. pojęcia zbioru otwartego i domkniętego, operacji wnętrza i domknięcia, bazy, podbazy, bazy otoczeń, topologii podprzestrzeni.

Przestrzeń topologiczna

Definicja

Przestrzenią topologiczną nazywamy każdą parę uporządkowaną $(X,{𝒪}_X)$ taką, że $X$ jest zbiorem, zaś ${𝒪}_X\subseteq 2^X$ oraz spełnione są następujące warunki:

1. $\mathrm{\varnothing },X\in {𝒪}_X$
2. ${\mathrm{\forall }}_{U_1,U_2,\dots ,U_n\in {𝒪}_X}{U}_1\cap U_2\cap \dots \cap U_n\in {𝒪}_X$
3. ${\mathrm{\forall }}_{𝒱\subseteq {𝒪}_X}\bigcup 𝒱\in {𝒪}_X$.

Rodzinę ${𝒪}_X$ podzbiorów zbioru $X$ spełniającą warunki 1., 2., 3. nazywamy topologią na zbiorze $X$ (lub: rodziną wszystkich zbiorów otwartych przestrzeni $X$).

W dalszym ciągu daną przestrzeń topologiczną $(X,{𝒪}_X)$ często oznaczać będziemy po prostu przez $X$, o ile jasnym będzie, jaką topologię na $X$ akurat rozważamy. Jeżeli bowiem dany zbiór posiada co najmniej dwa elementy, można określić na nim więcej niż jedną topologię, co wynika z zamieszczonych poniżej przykładów 1. i 2.

Przykłady

1. Na dowolnym zbiorze $X$ topologią jest: $2^X$. Istotnie, $X,\mathrm{\varnothing }\in 2^X$, zatem spełniony jest warunek 1. definicji. Iloczyn dowolnej, więc tym bardziej skończonej rodziny podzbiorów danego zbioru jest jego podzbiorem, zatem spełniony jest warunek 2. Suma dowolnej rodziny podzbiorów danego zbioru jest jego podzbiorem, zatem spełniony jest warunek 3. Tak zdefiniowaną topologię na $X$ nazywamy topologią dyskretną, zaś $(X,2^X)$ nazywamy przestrzenią topologiczną dyskretną.
2. Na dowolnym zbiorze $X$ topologią jest: $\{\mathrm{\varnothing },X\}$. Taką topologię nazywamy topologią antydyskretną, zaś przestrzeń $(X,\{\mathrm{\varnothing },X\})$ - przestrzenią topologiczną antydyskretną.
3. Niech $X=\{a,b\}$ będzie dowolnym zbiorem dwuelementowym. Jedynymi topologiami na $X$ są:
   • $\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\}\}$
   • $\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\},\{a\}\}$
   • $\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\},\{b\}\}$
   • $\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\},\{a\},\{b\}\}$
4. Dla dowolnego zbioru $X$ przestrzenią topologiczną jest: $(X,{𝒪}_X)$, gdzie ${𝒪}_X=\{U\subseteq X:(U=\mathrm{\varnothing })\vee (|X\setminus U|<{\mathrm{\aleph }}_0)\}$. Topologię ${𝒪}_X$ nazywamy topologią dopełnień zbiorów skończonych na $X$.
5. Jak pokażemy w dalszej części rozdziału, rodzina wszystkich zbiorów otwartych dowolnej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ jest topologią na $X$.

• Ćwiczenie: Sprawdzić, czy topologia antydyskretna rzeczywiście jest topologią.
• Ćwiczenie: Wypisać wszystkie możliwe topologie na zbiorze 3-elementowym (uwaga: będzie ich już dość dużo!).
• Ćwiczenie: Pokazać, że topologia dopełnień zbiorów skończonych jest rzeczywiście topologią. Zdefiniować analogicznie rodzinę dopełnień zbiorów przeliczalnych. Sprawdzić, czy jest ona topologią niezależnie od zbioru na którym jest zdefiniowana.

Zbiory otwarte i domknięte

Definicje

Zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej $(X,{𝒪}_X)$ nazywamy każdy zbiór $U\in {𝒪}_X$.

Zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej $(X,{𝒪}_X)$ nazywamy każdy taki zbiór $F\in 2^X$, że $X\setminus F\in {𝒪}_X$, to znaczy każdy zbiór, którego dopełnienie w przestrzeni $X$ jest zbiorem otwartym.

Wobec tego: $A\subseteq X$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $X\setminus A$ jest domknięty.

Istnieją zbiory, które nie są ani otwarte, ani domknięte. Przykładowo, rozważmy topologię dopełnień zbiorów skończonych na zbiorze liczb naturalnych. Zbiór wszystkich liczb naturalnych parzystych nie jest zbiorem otwartym, gdyż zbiór liczb nieparzystych nie jest zbiorem skończonym. Nie jest on również zbiorem domkniętym, gdyż zbiór liczb nieparzystych nie jest zbiorem otwartym. Podobnie, każdy różny od całej przestrzeni i różny od zbioru pustego podzbiór przestrzeni antydyskretnej nie jest otwarty i nie jest domknięty.

Istnieją również zbiory, które są zarówno otwarte, jak i domknięte. Zbiory takie nazywamy zbiorami otwarto-domkniętymi. W każdej przestrzeni topologicznej $X$ zbiorami otwarto-domkniętymi są $X$ oraz $\mathrm{\varnothing }$. Każdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest otwarto-domknięty.

Rodzina zbiorów domkniętych

Analogicznie do rodziny zbiorów otwartych przestrzeni $X$ (czyli topologii na $X$) można zdefiniować rodzinę zbiorów domkniętych.

Rodziną zbiorów domkniętych na zbiorze $X$ nazywamy każdą rodzinę ${ℱ}_X\subseteq 2^X$ taką, że spełnione są warunki:

1. $\mathrm{\varnothing },X\in {ℱ}_X$
2. ${\mathrm{\forall }}_{F_1,F_2,\dots ,F_n\in {ℱ}_X}{F}_1\cup F_2\cup \dots \cup F_n\in {ℱ}_X$
3. ${\mathrm{\forall }}_{𝒱\subseteq {ℱ}_X}\bigcap 𝒱\in {ℱ}_X$.

• Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli mamy daną przestrzeń topologiczną $(X,{𝒪}_X)$, to rodzina dopełnień zbiorów otwartych spełnia warunki 1.,2.,3. definicji rodziny zbiorów domkniętych.
• Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli dana rodzina $𝒜$ podzbiorów zbioru $X$ spełnia warunki 1.,2.,3. definicji rodziny zbiorów domkniętych, to rodzina dopełnień zbiorów z $𝒜$ jest topologią na $X$.

Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia

Definicje

Niech $(X,{𝒪}_X)$ będzie przestrzenią topologiczną oraz niech $A\subseteq X$. Definiujemy następujace pojecia:

Otoczeniem otwartym punktu $x\in A$ nazywamy każdy taki zbiór $U\in {𝒪}_X$, że $x\in U$.

Punktem wewnętrznym zbioru $A$ nazywamy każdy taki punkt $x\in A$, że ${\mathrm{\exists }}_{U\in {𝒪}_X}(x\in U\wedge U\subseteq A)$. Innymi słowy, punkt $x\in A$ jest punktem wewnętrznym $A$, o ile zawiera się w $A$ wraz z pewnym otoczeniem otwartym.

Punktem skupienia zbioru $A$ nazywamy każdy taki punkt $x\in X$, że ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}(x\in U⟹(U\setminus \{x\})\cap A≠\mathrm{\varnothing }$. Wobec tego punkt $x\in X$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy każde jego otoczenie otwarte posiada co najmniej jeden rózny od $x$ punkt wspólny ze zbiorem $A$.

Punktem izolowanym zbioru $A$ nazywamy każdy punkt $x\in A$ taki, że $x$ nie jest punktem skupienia zbioru $A$.

Przykłady

Niech $X$ będzie zbiorem oraz $A$ dowolnym podzbiorem $X$.

1. Przy topologii dyskretnej na $X$ każdy $x\in A$ jest punktem wewnętrznym $A$ oraz punktem izolowanym $A$, gdyż $\{x\}$ jest otwartym otoczeniem $x$.
2. Przy topologii antydyskretnej na $X$ każdy $x\in A$ jest punktem skupienia $A$. Zbiór $A$ posiada punkty wewnętrzne tylko wtedy, gdy $A=X$. Jest tak, ponieważ jedynym otoczeniem otwartym dowolnego punktu $x\in A$ jest $X$.
3. Niech $X≠\mathrm{\varnothing }$. Wybierzmy $x\in X$ i przyjmijmy na $X$ następującą topologię: ${𝒪}_X=\{U\in 2^X:x\in U\}$. Jeśli $x\in A\subseteq X$, to $A^d=X$. W przeciwnym wypadku, o ile $A≠\mathrm{\varnothing }$, to $A^d=\{x\}$ oraz $A$ nie posiada punktów wewnętrznych.

Operacje domknięcia i wnętrza

Definicje

Niech będzie dana przestrzeń topologiczna $(X,{𝒪}_X)$. Zdefiniujemy teraz operacje domknięcia i wnętrza, działające w zbiorze podzbiorów przestrzeni $X$.

Operacją wnętrza nazywamy funkcję $\mathrm{Int}:2^X\to 2^X$ określoną: ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Int}A=\bigcup _{U\in {𝒪}_X,U\subseteq A}U$.

Operacją domknięcia nazywamy funkcję $\mathrm{Cl}:2^X\to 2^X$ określoną: ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Cl}A=\bigcap _{F\in {ℱ}_X,A\subseteq F}F$.

Często używa się również symboli: $A^{\circ }$ oraz $\bar{A}$ dla oznaczenia odpowiednio wnętrza i domknięcia zbioru $A$.

Zdefiniujemy jeszcze trzy inne funkcje, powiązane z operacjami domknięcia i wnętrza.

Przez operację ograniczenia (lub: brzegu) rozumiemy funkcję $\mathrm{Fr}:2^X\to 2^X$ określoną następująco: ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Fr}A=\mathrm{Cl}A\cap \mathrm{Cl}(X\setminus A)$. Czasem brzeg $A$ oznacza się też przez $\partial A$ lub $\mathrm{Bd}A$.

Przez pochodną rozumiemy funkcję $(\cdot {)}^d:2^X\to 2^X$ określoną: ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}{A}^d=\{x\in X:{\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}(x\in U⟹(U\setminus \{x\})\cap A≠\mathrm{\varnothing })\}$. Innymi słowy $A^d$, czyli pochodna zbioru $A$, jest zbiorem wszystkich punktów skupienia zbioru $A$.

Zewnętrze zbioru $A$ jest to wnętrze jego dopełnienia. Możemy określić operację zewnętrza, tzn. funkcję $\mathrm{Ext}A:2^X\to 2^X$ daną wzorem: $\mathrm{Ext}A=\mathrm{Int}(X\setminus A)$.

Własności

Niech $(X,{𝒪}_X)$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $\mathrm{Int}:2^X\to 2^X$, $\mathrm{Cl}:2^X\to 2^X$, $(\cdot {)}^d:2^X\to 2^X$ operacjami odpowiednio wnętrza, domknięcia i pochodnej.

1. Oczywistym jest, że prawdziwe są następujące stwierdzenia:
   1. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Int}A\in {𝒪}_X$ (jako suma zbiorów otwartych),
   2. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}(A\in {𝒪}_X⟺A=\mathrm{Int}A)$,
   3. ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}(U\subseteq A⟹U\subseteq \mathrm{Int}A)$, czyli $\mathrm{Int}A$ jest największym w sensie inkluzji zbiorem otwartym zawartym w $A$
2. Dualnie:
   1. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Cl}A\in {ℱ}_X$ (jako iloczyn zbiorów domkniętych).
   2. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}(A\in {ℱ}_X⟺A=\mathrm{Cl}A)$,
   3. ${\mathrm{\forall }}_{F\in {ℱ}_X}(A\subseteq F⟹\mathrm{Cl}A\subseteq F)$, czyli $\mathrm{Cl}A$ jest najmniejszym w sensie inkluzji zbiorem domkniętym zawierającym $A$.
3. Dla dowolnych zbiorów $A,B\subseteq X$ prawdziwe są następujące implikacje:
   1. $A\subseteq B⟹\mathrm{Int}A\subseteq \mathrm{Int}B$,
   2. $A\subseteq B⟹\mathrm{Cl}A\subseteq \mathrm{Cl}B$.

   Dowód:

   [1.] Załóżmy, że $A\subseteq B$. Stąd $2^A\subseteq 2^B$, czyli: ${𝒪}_X\cap 2^A\subseteq {𝒪}_X\cap 2^B$. Wobec tego: $\mathrm{Int}A=\bigcup _{U\in {𝒪}_X\cap 2^A}U\subseteq \bigcup _{U\in {𝒪}_X\cap 2^B}U=\mathrm{Int}B$.

   [2.] Dowód analogiczny. $◻$

4. Prawdziwe są następujące stwierdzenia:
   1. $\mathrm{Int}X=X$,
   2. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Int}A\subseteq A$,
   3. ${\mathrm{\forall }}_{A,B\in 2^X}\mathrm{Int}(A\cap B)=\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B$,
   4. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Int}\mathrm{Int}A=\mathrm{Int}A$.

   Dowód:

   [1.] Oczywiście $X\in {𝒪}_X$, zatem $X=\mathrm{Int}X$ z własności 1.2.

   [2.] $\mathrm{Int}A\subseteq A$ jako suma podzbiorów zbioru $A$.

   [3.] Z własności 3.1. wiemy, że $\mathrm{Int}(A\cap B)\subseteq \mathrm{Int}A$ oraz $\mathrm{Int}(A\cap B)\subseteq \mathrm{Int}B$, gdyż $A\cap B\subseteq A$, $A\cap B\subseteq B$. Stąd: $\mathrm{Int}(A\cap B)\subseteq \mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B$. Udowodnijmy inkluzję w drugą stronę. Mamy: $\mathrm{Int}A\subseteq A$, $\mathrm{Int}B\subseteq B$. Zatem: $\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B\subseteq A\cap B$ oraz $\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B\in {𝒪}_X$ jako iloczyn zbiorów otwartych. Wobec tego $\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B\subseteq \mathrm{Int}(A\cap B)$ z własności 1.3.

   [4.] Konsekwencja własności 1.1 i 1.2. $◻$

5. Dualnie:
   1. $\mathrm{Cl}\mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$,
   2. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}A\subseteq \mathrm{Cl}A$,
   3. ${\mathrm{\forall }}_{A,B\in 2^X}\mathrm{Cl}(A\cup B)=\mathrm{Cl}A\cup \mathrm{Cl}B$,
   4. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Cl}\mathrm{Cl}A=\mathrm{Cl}A$.

   Dowód:

   Analogiczny do dowodu punktu 4. $◻$

6. Dla dowolnego zbioru $A\subseteq X$:
   1. $\mathrm{Int}A=X\setminus \mathrm{Cl}(X\setminus A)$,
   2. $\mathrm{Cl}A=X\setminus \mathrm{Int}(X\setminus A)$.

   Dowód:

   [1.] Z definicji domknięcia i praw de Morgana mamy: $X\setminus \mathrm{Cl}(X\setminus A)=X\setminus \bigcap _{F\in {ℱ}_X,X\setminus A\subseteq F}F=\bigcup _{F\in {ℱ}_X,X\setminus A\subseteq F}(X\setminus F)$. Zauważmy, że zachodzi równość zbiorów: $\{X\setminus F:(F\in {ℱ}_X)\wedge (X\setminus A\subseteq F)\}=\{U:(U\in {𝒪}_X)\wedge (U\subseteq A)\}$. Stąd: $\bigcup _{F\in {ℱ}_X,X\setminus A\subseteq F}(X\setminus F)=\bigcup _{U\in {𝒪}_X,U\subseteq A}U=\mathrm{Int}A$.

   [2.] Dowód analogiczny. $◻$

   • Ćwiczenie: Opierając się na powyższym fakcie wykazać, że $\mathrm{Fr}A=\mathrm{Cl}A\setminus \mathrm{Int}A$.
7. Dla dowolnego $A\subseteq X$ zachodzi: $\mathrm{Cl}A=A\cup A^d$.

   Dowód:

   Z własności 6.2. wiemy, że $\mathrm{Cl}A=X\setminus \mathrm{Int}(X\setminus A)$. Ale $\mathrm{Int}(X\setminus A)=\{x\in X:{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝒪}_X}(x\in U\wedge U\cap A=\mathrm{\varnothing })\}$. Wobec tego $X\setminus \mathrm{Int}(X\setminus A)=\{x\in X:{\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}(x\in U⟹U\cap A≠\mathrm{\varnothing })\}=A\cup A^d$. $◻$

• Ćwiczenie: Przeprowadzić pominięte dowody.

Więcej własności Czytelnik odnajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

Aksjomaty wnętrza i domknięcia

Niech będzie dany zbiór $X$ oraz funkcja $\mathrm{Int}:2^X\to 2^X$ spełniająca warunki (zwane aksjomatami wnętrza):

1. $\mathrm{Int}X=X$,
2. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Int}A\subseteq A$,
3. ${\mathrm{\forall }}_{A,B\in 2^X}\mathrm{Int}(A\cap B)=\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B$,
4. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Int}\mathrm{Int}A=\mathrm{Int}A$.

Funkcja $\mathrm{Int}$ wyznacza (w sposób jednoznaczny) pewną topologię na $X$, przy której stanowi ona operację wnętrza (w sensie podanej wcześniej definicji).

Dowód:

Przyjmijmy $𝒪=\{A\in 2^X:A\subseteq \mathrm{Int}\}$. Pokażemy, że $𝒪$ jest jedyną topologią na $X$ taką, że $\mathrm{Int}$ jest operacją wnętrza w przestrzeni $(X,𝒪)$.

Pokażmy najpierw, że $𝒪$ jest topologią. Z 1. mamy $X\in 𝒪$. Równość $\mathrm{\varnothing }\subseteq \mathrm{Int}\mathrm{\varnothing }$ jest oczywista. Zatem: $\mathrm{\varnothing }\in 𝒪$. Dalej, jeśli $A,B\in 𝒪$, to z 3.: $\mathrm{Int}(A\cap B)=\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B=A\cap B$, czyli $A\cap B\in 𝒪$.

Dla dowodu spełniania trzeciego z warunków definicji topologii zauważmy, że funkcja $\mathrm{Int}$ jest monotoniczna ze względu na relację inkluzji, tzn. dla dowolnych zbiorów $A,B$ zachodzi: $A\subseteq B⟹\mathrm{Int}A\subseteq \mathrm{Int}B$. Istotnie, dla takich zbiorów: $\mathrm{Int}(A\cap B)=\mathrm{Int}A$, ale z drugiej strony 3. implikuje $\mathrm{Int}(A\cap B)=\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B$. Skoro $\mathrm{Int}A=\mathrm{Int}A\cap \mathrm{Int}B$, to $\mathrm{Int}A\subseteq \mathrm{Int}B$.

Niech teraz: $\{U_i{\}}_{i\in I}\subset 𝒪$ będzie dowolną indeksowaną rodziną elementów $𝒪$. Zauważmy, że: ${\mathrm{\forall }}_{j\in I}{U}_j\subseteq \bigcup _{i\in I}{U}_i$. Z monotoniczności $\mathrm{Int}$ mamy: ${\mathrm{\forall }}_{j\in I}{U}_j\subseteq \mathrm{Int}{U}_j\subseteq \mathrm{Int}\bigcup _{i\in I}{U}_i$, wobec czego $\bigcup _{i\in I}{U}_i\subseteq \mathrm{Int}\bigcup _{i\in I}{U}_i$. Ostatecznie: $\bigcup _{i\in I}{U}_i\in 𝒪$ i $𝒪$ jest topologią na $X$.

Wykażemy teraz, że $\mathrm{Int}$ jest operacją wnętrza przy tej topologii. Niech $A\in 2^X$ będzie dowolnym zbiorem. Musimy pokazać, że $\mathrm{Int}A=\bigcup _{U\in 𝒪\cap 2^A}U$. Zauważmy, że z 4. $\mathrm{Int}A\subseteq \mathrm{Int}\mathrm{Int}A$, zatem $\mathrm{Int}A\in 𝒪$. Ponadto z 2.: $\mathrm{Int}A\subseteq A$. Zatem: $\mathrm{Int}A\subseteq \bigcup _{U\in 𝒪\cap 2^A}U$. Inkluzja w drugą stronę jest oczywista, ponieważ sumujemy podzbiory $A$. Wobec tego $\mathrm{Int}$ jest operacją wnętrza.

Pokażemy, że topologia $𝒪$ jest jedyną, przy której $\mathrm{Int}$ jest operacją wnętrza. Niech $𝒰$ będzie topologią na $X$ dla której $\mathrm{Int}$ jest operacją wnętrza. Z własności 1.2. operacji wnętrza wiemy, że ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}A=\mathrm{Int}A⟺A\in 𝒰$. Ale z 2. wiemy, że ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}A=\mathrm{Int}A⟺A\subseteq \mathrm{Int}A$. Zatem: ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}A\in 𝒰⟺A\in 𝒪$, co dowodzi, że topologia $𝒪$ jest wyznaczona jednoznacznie. $◻$

Dualnie, jeżeli dla zbioru $X$ zdefiniujemy funkcję $\mathrm{Cl}:2^X\to 2^X$ spełniającą warunki (zwane aksjomatami domknięcia lub aksjomatami Kuratowskiego):

1. $\mathrm{Cl}\mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$,
2. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}A\subseteq \mathrm{Cl}A$,
3. ${\mathrm{\forall }}_{A,B\in 2^X}\mathrm{Cl}(A\cup B)=\mathrm{Cl}A\cup \mathrm{Cl}B$,
4. ${\mathrm{\forall }}_{A\in 2^X}\mathrm{Cl}\mathrm{Cl}A=\mathrm{Cl}A$,

to funkcja $\mathrm{Cl}$ wyznacza (w sposób jednoznaczny) pewną topologię na $X$, przy której stanowi ona operację domknięcia.

• Ćwiczenie: Udowodnić powyższe twierdzenie.

Wobec tego, topologię na zbiorze możemy wprowadzać przez podanie funkcji spełniającej aksjomaty wnętrza lub funkcji spełniającej aksjomaty domknięcia, zamiast podawać rodzinę zbiorów otwartych (domkniętych).

Baza, podbaza, baza otoczeń

Definicja bazy

Bazą zbiorów otwartych (lub bazą otwartą) przestrzeni topologicznej $(X,{𝒪}_X)$ nazywamy każdy taki zbiór $ℬ\subseteq {𝒪}_X$, że ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}{\mathrm{\exists }}_{𝒱\subseteq ℬ}U=\bigcup 𝒱$.

Zauważmy, że każda przestrzeń topologiczna posiada co najmniej jedną bazę zbiorów otwartych. Bazą przestrzeni $X$ jest bowiem określona w tej przestrzeni topologia.

• Ćwiczenie: Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną dyskretną. Znaleźć najmniejszą (w sensie inkluzji) bazę zbiorów otwartych przestrzeni $X$.

Analogicznie do pojęcia bazy zbiorów otwartych zdefiniować można pojęcie bazy zbiorów domkniętych. Mianowicie, zbiór ${ℬ}_{ℱ}\subseteq {ℱ}_X$ nazywamy bazą zbiorów domkniętych przestrzeni $X$, o ile: ${\mathrm{\forall }}_{F\in {ℱ}_X}{\mathrm{\exists }}_{𝒱\subseteq {ℬ}_{ℱ}}F=\bigcap 𝒱$.

• Ćwiczenie: Pokazać, że jeżeli $ℬ$ jest bazą otwartą przestrzeni topologicznej $X$, to zbiór $\{F\in 2^X:X\setminus F\in ℬ\}$ jest bazą zbiorów domkniętych przestrzeni $X$.

W dalszej części podręcznika, dla skrócenia zapisów, będziemy używali słowa baza w sensie bazy zbiorów otwartych.

Aksjomaty bazy

Niech będzie dany zbiór $X$. Podrodzina $ℬ\subseteq 2^X$ stanowi bazę pewnej topologii na $X$, o ile spełnia następujące dwa aksjomaty:

1. ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\exists }}_{B\in ℬ}x\in B$
2. ${\mathrm{\forall }}_{B_1,B_2\in ℬ}{\mathrm{\forall }}_{x\in B_1\cap B_2}\mathrm{\exists }{B}_3\in ℬ(x\in B_3\wedge B_3\subseteq B_1\cap B_2)$.

Istotnie, zbiór $𝒪=\{U\in 2^X:{\mathrm{\exists }}_{𝒱\subseteq ℬ}U=\bigcup 𝒱\}$ jest topologią na $X$, której bazę stanowi zbiór $ℬ$. Jest to jedyna taka topologia.

• Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenie.

Wobec tego topologię na $X$ możemy wprowadzić podając jedynie jej bazę.

Podobnie, topologię można wprowadzić podając jedynie bazę domkniętą. Bazą domkniętą pewnej przestrzeni jest każda taka rodzina podzbiorów danego zbioru $X$, że rodzina dopełnień zbiorów z tej rodziny spełnia aksjomaty 1., 2.

Definicja podbazy

Niech $(X,{𝒪}_X)$ będzie przestrzenią topologiczną. Rodzinę $𝒫\subseteq {𝒪}_X$ nazywamy podbazą zbiorów otwartych (lub: podbazą otwartą), o ile rodzina $\{P_1\cap P_2\cap \dots \cap P_n:n\in 𝒩\wedge {\mathrm{\forall }}_{i=1,\dots ,n}{P}_i\in {𝒫}_X\}$, tzn. rodzina przekrojów skończonej liczby zbiorów należących do podbazy, jest bazą otwartą przestrzeni $X$.

Oczywiście każda baza jest podbazą. Wobec tego każda przestrzeń topologiczna posiada podbazę.

Dualnie definiujemy podbazę domkniętą przestrzeni $X$ jako taką podrodzinę ${𝒫}_{ℱ}$ topologii na $X$, że sumy mnogościowe skończonej liczby zbiorów należących do ${𝒫}_{ℱ}$ stanowią bazę domkniętą przestrzeni $X$.

• Ćwiczenie: Niech $𝒫$ będzie podbazą otwartą przestrzeni $X$. Znaleźć podbazę domkniętą tej przestrzeni.

Zauważmy jeszcze, że topologię na dowolnym zbiorze $X$ możemy wprowadzić podając jedynie podbazę tej topologii. Podbaza wyznacza bowiem w jednoznaczny sposób bazę, ta zaś wyznacza topologię.

• Ćwiczenie: Dana jest pewna rodzina zbiorów $A$. Znaleźć przestrzeń topologiczną, dla której $A$ jest podbazą.
• Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to dla każdego $n<|X|$ rodzina wszystkich podzbiorów $n$-elementowych $X$ jest podbazą tej przestrzeni.

Definicja bazy otoczeń i systemu otoczeń

Niech $(X,{𝒪}_X)$ będzie przestrzenią topologiczną. Bazą otoczeń (otwartych) punktu $x\in X$ nazywamy każdą taką rodzinę $ℬ(x)$ otoczeń otwartych punktu $x$, że ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}(x\in U⟹{\mathrm{\exists }}_{B\in ℬ(x)}B\subseteq U)$.

Innymi słowy, rodzina otoczeń otwartych punktu $x$ jest bazą otoczeń tego punktu wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie otwarte punktu $x$ zawiera element tej rodziny.

Systemem otoczeń nazywamy każdą rodzinę $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$ taką, że dla każdego $x\in X$ $ℬ(x)$ jest układem otoczeń $x$.

Przykłady

1. W dowolnej przestrzeni topologicznej zbiór wszystkich otoczeń otwartych danego punktu jest jego bazą otoczeń otwartych.
2. W przestrzeni dyskretnej $X$ dla każdego punktu $x\in X$ bazą otoczeń jest na przykład $\{\{x\}\}$.
3. W przestrzeni antydyskretnej $X$ dla każdego punktu $x\in X$ jedyną jego bazą otoczeń jest $\{X\}$.

Aksjomaty systemu otoczeń

Niech będzie dany zbiór $X$ oraz rodzina $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$ taka, że:

1. ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}ℬ(x)\subseteq 2^X$,
2. ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}(ℬ(x)≠\mathrm{\varnothing }\wedge {\mathrm{\forall }}_{B\in ℬ(x)}x\in B)$,
3. ${\mathrm{\forall }}_{y\in X}{\mathrm{\forall }}_{B\in ℬ(y)}{\mathrm{\forall }}_{x\in B}{\mathrm{\exists }}_{P\in ℬ(x)}P\subseteq B$,
4. ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\forall }}_{B_1,B_2\in ℬ(x)}{\mathrm{\exists }}_{P\in ℬ(x)}P\subseteq B_1\cap B_2$.

Wówczas istnieje dokładnie jedna topologia na $X$ taka, że $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$ jest systemem otoczeń w tej topologii.

Dowód:

Wykażemy, że rodzina $𝔅=\bigcup _{x\in X}ℬ(x)$ spełnia aksjomaty bazy. Jeśli tak jest, to, jak już wiemy, rodzina $𝔅$ wyznacza na $X$ w sposób jednoznaczny pewną topologię.

Oczywiście, ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\exists }}_{B\in ℬ(x)}x\in B$. Ponadto, $B\in 𝔅$.

Dalej, dla $B_1,B_2\in 𝔅$ i $x\in B_1\cap B_2$ wiemy z 3., że istnieją $P_1,P_2\in ℬ(x)$ takie, że $P_1\subseteq B_1$, $P_2\subseteq B_2$. Z 4. wiemy, że istnieje $P\in ℬ(x)\subseteq 𝔅$ takie, że $P\subseteq P_1\cap P_2\subseteq B_1\cap B_2$. Pokazaliśmy zatem, że $𝔅$ stanowi bazę pewnej topologii (oznaczmy ją $𝒪$) na $X$.

Musimy teraz sprawdzić, czy $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$ jest systemem otoczeń w przestrzeni $(X,𝒪)$. Wybierzmy dowolne $x\in X$ i jego otoczenie otwarte $U\in 𝒪$. Zauważmy, że ponieważ $𝔅$ jest bazą, to $U=\bigcup 𝒱$ dla pewnej rodziny $𝒱\subseteq 𝔅$. Zatem $x\in B$ dla pewnego $B\in 𝒱$. Ponieważ $𝔅=\bigcup _{y\in X}ℬ(y)$, to istnieje $y\in X$ takie, że $B\in ℬ(y)$. Z 3. wiemy jednak, że istnieje $P\in ℬ(x)$ takie, że $P\subseteq B\subseteq U$. Wobec dowolności $x$ i $U$, $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$ jest systemem otoczeń w $(X,𝒪)$.

Należy jeszcze wykazać, że nie istnieje inna topologia, w której $\{ℬ(x){\}}_{x\in X}$ byłoby systemem otoczeń. Wystarczy w tym celu zauważyć, że w dowolnej przestrzeni topologicznej suma elementów systemu otoczeń jest bazą. Tę część dowodu pozostawiamy jako ćwiczenie. $◻$

Porównywanie topologii

Definicja

Niech będzie dany zbiór $X$, zaś ${𝒪}_1,{𝒪}_2$ niech będą topologiami na $X$. Mówimy, że topologia ${𝒪}_1$ jest mocniejsza od topologii ${𝒪}_2$ (co jest równoważne stwierdzeniu, że ${𝒪}_2$ jest słabsza od ${𝒪}_1$), o ile ${𝒪}_2\subseteq {𝒪}_1$.

Własności

1. Oczywiście powyższa definicja wprowadza porządek częsciowy na zbiorze wszystkich topologii danej przestrzeni. W porządku tym istnieje element największy (tzn. topologia najmocniejsza). Jest nim topologia dyskretna. Elementem najmniejszym jest topologia antydyskretna. Porządek "bycia mocniejszym" na zbiorze wszystkich topologii na $X$ nie jest liniowy, o ile $|X|>1$. Niech bowiem $x_1,x_2\in X,x_1≠x_2$, ${𝒪}_1=\{\mathrm{\varnothing },X,\{x_1\}\}$, ${𝒪}_2=\{\mathrm{\varnothing },X,\{x_2\}\}$. Topologie ${𝒪}_1$ i ${𝒪}_2$ nie są w tym porządku porównywalne.
2. Niech $(X,{𝒪}_1)$, $(X,{𝒪}_2)$ będą przestrzeniami topologicznymi, zaś ${ℬ}_1,{ℬ}_2$ ich bazami. Topologia ${𝒪}_1$ jest mocniejsza od topologii ${𝒪}_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathrm{\forall }}_{B\in {ℬ}_2}{\mathrm{\forall }}_{x\in B}{\mathrm{\exists }}_{B^{\prime }\in {ℬ}_1}(x\in B^{\prime }\wedge B^{\prime }\subseteq B)$.

   Dowód:

   Istotnie, jeżeli odpowiednie $B^{\prime }$ istnieją, to każdy zbiór bazowy przestrzeni $(X,{𝒪}_2)$ daje się przedstawić jako suma podrodziny bazy ${ℬ}_1$, wobec czego również i każdy zbiór otwarty przestrzeni $(X,{𝒪}_1)$ jest sumą pewnej podrodziny zawartej w ${ℬ}_1$, więc należy do ${𝒪}_2$. Gdyby zaś dla pewnego $B\in {ℬ}_2$ i pewnego $x\in B$ odpowiednie $B^{\prime }$ nie istniałoby, to zbioru $B$, otwartego w topologii ${𝒪}_2$, nie dałoby się przedstawić jako sumy zbiorów z bazy ${ℬ}_1$, wobec czego $B\in ̸{𝒪}_1$. $◻$

• Ćwiczenie: Dojść do analogicznych wniosków w przypadku baz domkniętych.

Podprzestrzeń topologiczna

Definicja

Niech $(X,{𝒪}_X)$ będzie przestrzenią topologiczną oraz niech $A\subseteq X$. Parę uporządkowaną $(A,{𝒪}_A)$, gdzie ${𝒪}_A=\{A\cap U:U\in {𝒪}_X\}$ nazywamy podprzestrzenią topologiczną przestrzeni $X$, zaś rodzinę ${𝒪}_A$ nazywamy topologią podprzestrzeni (lub topologią relatywną).

• Ćwiczenie: Pokazać, że topologia podprzestrzeni jest topologią na zbiorze $A$.

Będziemy mówili, że własność przestrzeni topologicznych jest dziedziczna, jeżeli dla dowolnej przestrzeni $X$ z tego, że $X$ posiada tę własność, wynika że również każda podprzestrzeń przestrzeni $X$ posiada tę własność.

Przykładem własności dziedzicznej jest bycie przestrzenią dyskretną. Przykładem własności, która nie jest dziedziczna, jest bycie przestrzenią nieskończoną.

Własności

1. Zauważmy, że jeśli $(A,{𝒪}_A)$ jest podprzestrzenią przestrzeni $(X,{𝒪}_X)$, to zbiór $F\subseteq A$ jest domknięty w $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór $F_X\subseteq X$ domknięty w $X$ i taki, że $F=A\cap F_X$.

   Dowód:

   Istotnie, $F\in {ℱ}_A⟺A\setminus F\in {𝒪}_A⟺{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝒪}_X}A\setminus F=U\cap A$. Ale $U$ jest otwarty w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci $X\setminus F_X$ dla pewnego $F_X\in {ℱ}_X$. Ponadto: $F=A\setminus U=A\cap (X\setminus U)=A\cap F$. $◻$

2. Jeżeli ${ℬ}_X$ jest bazą otwartą (lub domkniętą) przestrzeni $X$, zaś $A\subseteq X$, to ${ℬ}_A=\{B\cap A:B\in {ℬ}_X\}$ jest bazą otwartą (odpowiednio: domkniętą) przestrzeni $A$ z topologią relatywną.

   Dowód:

   Nietrudno zauważyć, że jeśli $U_A\in {𝒪}_A$, to $U_A=U\cap A=(\bigcup _{t\in T}{B}_t)\cap A=\bigcup t\in T(B_t\cap A)$ dla pewnego zbioru $U\in {𝒪}_X$ i pewnej rodziny indeksowanej $\{B_t{\}}_{t\in T}\subseteq {ℬ}_X$. Rozumowanie w przypadku bazy domkniętej jest analogiczne. $◻$

3. Ćwiczenie: Jeżeli ${𝒫}_X$ jest podbazą otwartą (lub domkniętą) przestrzeni $X$, zaś $A\subseteq X$, to podbazą otwartą (odpowiednio: domkniętą) w $A$ z topologią podprzestrzeni jest zbiór: ${𝒫}_A=\{P\cap A:P\in {𝒫}_X\}$.
4. Ćwiczenie: Jeśli $A\in {𝒪}_X$, to dla dowolnego $U\subseteq A$ zachodzi: $U\in {𝒪}_A⟺U\in {𝒪}_X$. Podobnie,jeśli $A\in {ℱ}_X$, to dla dowolnego $F\subseteq A$ zachodzi: $F\in {ℱ}_A⟺F\in {ℱ}_X$.
5. Jeśli przez $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{A}}$ (odpowiednio: $\mathrm{I}\mathrm{n}{\mathrm{t}}_{\mathrm{A}}$) oznaczymy operację domknięcia (wnętrza) w podprzestrzeni $A$ przestrzeni $X$, to dla dowolnego $B\subseteq A$ zachodzi: $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{A}}B=A\cap \mathrm{Cl}(B)$ (odpowiednio: $\mathrm{I}\mathrm{n}{\mathrm{t}}_{\mathrm{A}}B=A\cap \mathrm{Int}B$), gdzie $\mathrm{Cl}$ (odpowiednio: $\mathrm{Int}$) oznacza operację domknięcia (wnętrza) w przestrzeni $X$.

   Dowód:

   Ustalmy $B\subseteq A$. Niech $𝒵=\{F\in {ℱ}_X:B\subseteq F\}$, ${𝒵}_A=\{F\in {ℱ}_A:B\subseteq F\}$. Z definicji domknięcia: $\mathrm{Cl}B=\bigcap 𝒵$, $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{A}}B=\bigcap {𝒵}_A$. Zauważmy, że z 1. ${𝒵}_A=\{F\cap A:F\in 𝒵\}=𝒵\cap A$, skąd wynika teza. W przypadku operacji wnętrza rozumowanie jest analogiczne. $◻$

Przestrzenie topologiczne a przestrzenie metryczne

Topologia indukowana, przestrzeń metryzowalna

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Przez ${𝒪}_d$ oznaczmy rodzinę wszystkich zbiorów otwartych (w sensie definicji z rozdziału 1.) w przestrzeni metrycznej $(X,d)$.

W poprzednim rozdziale (własność 4. w podrozdziale "Zbiory otwarte i domknięte") wykazaliśmy, że rodzina ${𝒪}_d$ spełnia własności 1., 2., 3. z definicji topologii. Zatem para $(X,{𝒪}_d)$ stanowi przestrzeń topologiczną. Topologię ${𝒪}_d$ nazywamy topologią indukowaną przez metrykę $d$.

Wobec tego każdą przestrzeń metryczną można traktować jako przestrzeń topologiczną.

Niech teraz $(X,𝒪)$ będzie przestrzenią topologiczną.

Przestrzeń $(X,𝒪)$ nazywamy przestrzenią metryzowalną, o ile istnieje taka metryka $d:X\times X\to ℝ$, że topologia ${𝒪}_d$ indukowana przez tę metrykę jest równa wyjściowej topologii $𝒪$.

Istnieją przestrzenie topologiczne, które nie są metryzowalne. Przykładowo, dla dowolnego zbioru $X$ o mocy większej niż $1$, niemetryzowalna jest przestrzeń antydyskretna $(X,\{\mathrm{\varnothing },X\})$.

Dowód:

Przypuśćmy, że przestrzeń $X$ jest metryzowalna. Niech $d$ oznacza metrykę indukującą topologię antydyskretną na $X$. Weźmy dowolne punkty $x,y\in X$, $x≠y$. Niech $ϵ=d(x,y)>0$. Kula otwarta $B(x,\frac{ϵ}{2})$ jest zbiorem otwartym w metryce indukowanej przez $d$. Ale $x\in B(x,\frac{ϵ}{2})$ i $y\in ̸B(x,\frac{ϵ}{2})$. Zatem $\mathrm{\varnothing }≠B(x,\frac{ϵ}{2})≠X$. Topologia indukowana przez $d$ nie jest antydyskretna. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. $◻$

Zauważmy ponadto, że dana metryka indukuje dokładnie jedną topologię. Jednak dana topologia może być indukowana przez różne metryki. Przykładowo, metryki $d_1,d_2$ zadane na dowolnym zbiorze wzorami: $d_1(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& ,x=y\\ 1& ,x≠y\end{array}$ oraz $d_2(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& ,x=y\\ 2& ,x≠y\end{array}$ indukują na tym zbiorze tę samą topologię.

Dalsze pojęcia

Nietrudno zauważyć, że pojęcia punktu wewnętrznego, izolowanego, skupienia oraz domknięcia, wnętrza i pochodnej zbioru w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ i w przestrzeni $(X,{𝒪}_d)$ z topologią indukowaną przez $d$ pokrywają się. W szczególności przedstawione w tym rozdziale własności powyższych pojęć są prawdziwe w przestrzeniach metrycznych.

Zauważmy, że w przestrzeniach metrycznych pojęcia te definiowalne były przy użyciu pojęcia kuli. W przestrzeniach topologicznych korzystamy z ogólniejszego pojęcia otoczenia otwartego.

Formułując niektóre własności przestrzeni metrycznych korzystaliśmy z pojęcia ciągu zbieżnego. Jedynie w pewnych klasach przestrzeni niemetryzowalnych znajduje ono dość dobre uogólnienie.

Baza przestrzeni metrycznej

Istotna rola kul otwartych w teorii przestrzeni metrycznych wynika między innymi z następujących faktów:

1. Zbiór wszystkich kul otwartych o środku w danym punkcie stanowi bazę otoczeń tego punktu.
2. Zbiór wszystkich kul otwartych w danej przestrzeni metrycznej stanowi bazę tej przestrzeni.

• Ćwiczenie: Udowodnić powyższe fakty.
• Ćwiczenie: Wykazać, że powyższe fakty pozostają prawdziwe, jeżeli słowa "wszystkie kule otwarte" zastąpimy przez "wszystkie kule otwarte o promieniach wymiernych".

Udowodniwszy powyższe fakty łatwo wykazać, że pojęcia podprzestrzeni metrycznej i podprzestrzeni topologicznej "pokrywają się". Ściślej: Niech: $(X,d)$ oznacza przestrzenią metryczną, $A\subseteq X$, zaś ${𝒪}_d$ będzie topologią indukowaną na $X$ przez $d$. Przez ${𝒪}_1)$ oznaczamy topologię relatywną na $A$ względem przestrzeni $(X,{𝒪}_d)$. Przez ${𝒪}_2)$ oznaczamy topologię indukowaną na $A$ przez metrykę przez metrykę d|_{A\times A}. Wówczas ${𝒪}_1={𝒪}_2$.

Dowód:

Nietrudno zauważyć, że kulami otwartymi w podprzestrzeni metrycznej $(A,d{|}_{A\times A}$ są iloczyny mnogościowe kul otwartych w przestrzeni $X$ ze zbiorem $A$. Kule otwarte w $(A,d{|}_{A\times A}$ stanowią bazę $(A,{𝒪}_2)$.

Ponieważ kule otwarte w $(X,d)$ stanowią bazę przestrzeni $(X,{𝒪}_d)$, to z własności 2. z podrozdziału "podprzestrzeń topologiczna" wynika, że ich przekroje z $A$ stanowią bazę w $(A,{𝒪}_1)$.

Przestrzenie $(A,{𝒪}_1)$ i $(A,{𝒪}_2)$ posiadaję tę samą bazę. Zatem topologie ${𝒪}_1$ i ${𝒪}_2$ są identyczne. $◻$

Pewne istotne oznaczenia

Ponieważ przestrzeń ${ℝ}^n$ z topologią indukowaną przez metrykę euklidesową będzie odgrywała w dalszej części książki znaczącą rolę, wprowadzimy dla niej specjalne oznaczenie.

Topologię powyższą będziemy nazywali topologią standardową na ${ℝ}^n$ i oznaczali ${𝒪}_E^n$.

Topologią standardową na podzbiorach ${ℝ}^n$ nazywamy topologię podprzestrzeni na tych podzbiorach indukowaną przez topologię standardową na ${ℝ}^n$.

Przestrzeń $({ℝ}^n,{𝒪}_E^n)$ będziemy oznaczali przez ${𝐄}^n$ ($n=1$ będzie w zapisie pomijane).

Przestrzeń $[0;1]$ z topologią standardową będziemy oznaczali przez $𝐈$.

Przestrzeń $\{x\in {ℝ}^n:d(x,0)\le 1\}$ z topologią standardową będziemy oznaczali ${𝐃}^n$ i nazywali $n$-wymiarowym dyskiem.

Przestrzeń $\{x\in {ℝ}^n:d(x,0)=1\}$ z topologią standardową będziemy oznaczali ${𝐒}^{n-1}$ i nazywali $(n-1)$-wymiarową sferą.

>> Zadania Szablon:Nawigacja