Topologia ogólna/Przestrzenie metryczne

Przestrzenie metryczne

W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej. Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.

Przestrzeń metryczna

Definicja

Odległością (lub: metryką) na zbiorze $X$ nazywamy każdą funkcję $d:X\times X\to ℝ$ spełniającą poniższe warunki:

1. ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}(d(x,y)=0⟺x=y)$
2. ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}d(x,y)=d(y,x)$
3. ${\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in X}d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.

Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}d(x,y)\ge 0$. Gdyby bowiem istniały $x,y\in X$ takie, że $d(x,y)<0$, to byłoby: $0=d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x)<0$, co jest niemożliwe.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną $(X,d)$, gdzie $X$ jest dowolnym zbiorem, zaś $d:X\times X\to ℝ$ jest metryką na zbiorze $X$.

• Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli $d:X\times X\to ℝ$ jest metryką na $X$ oraz $Y\subseteq X$, to $d{|}_{Y\times Y}$ jest metryką na zbiorze $Y$ (gdzie $f{|}_A$ oznacza obcięcie funkcji $f$ do zbioru $A$).

Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej $(X,d)$ wyznaczaną przez zbiór $Y\subseteq X$ nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń $(Y,d{|}_{Y\times Y})$.

Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną $(X,d)$ oznaczać będziemy po prostu przez $X$, o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.

Przykłady

1. Przestrzenią metryczną jest $(ℝ,d)$, gdzie $d(x,y)=|x-y|$ dla dowolnych $x,y\in ℝ$, zaś $|x|$ oznacza wartość bezwzględną z $x$. Istotnie, dla każdych $x,y,z\in ℝ$:
   • $|x|=0⟺x=0$
   • $|x-y|=|y-x|$
   • $|x-y|+|y-z|\ge |(x-y)+(y-z)|=|x-z|$.
2. Rozważmy iloczyn kartezjański $n$ kopii prostej rzeczywistej: ${ℝ}^n$. Dla dowolnych $x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)\in {ℝ}^n$ definiujemy $d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$. W jednym z zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja $d$ jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla $n=1$ jest to metryka z przykładu 1., gdyż $|x|=\sqrt{x^2}$.
3. W ${ℝ}^n$ możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy metrykę $d_{max}:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$ zadaną wzorem: $d_{max}(x,y)=\max \{|x_i-y_i|,i=1,\dots ,n\}$. Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję $d_m:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$ określoną $d_m(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$.
4. Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję $d_d:X\times X\to ℝ$ określoną $d_d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& ,x=y\\ 1& ,x=y\end{array}$ dla dowolnych $x,y\in X$. Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).
5. Rozważmy zbiór $C([a,b],ℝ)$ funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym $[a,b]$, o wartościach rzeczywistych. Dla $f,g\in C([a,b],ℝ)$ definiujemy: $d_{sup}(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{\sup }(f(x)-g(x))$. Jest to metryka, zwana metryką supremum.

Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.

Kule

Definicje

Niech będą dane przestrzeń metryczna $(X,d)$, $x\in X$ i $r\in ℝ,r>0$.

Kulą otwartą w przestrzeni $X$ o środku $x$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$.

Kulą domkniętą w przestrzeni $X$ o środku $x$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór $D(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\le r\}$.

Przykłady

1. W ${ℝ}^3$ z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa. W ${ℝ}^2$ kulą otwartą jest koło, zaś w $ℝ$ odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.
2. W przestrzeni metrycznej dyskretnej $X$: $B(x,r)=\{\begin{array}{cc}\{x\}& ,r\le 1\\ X& ,r>1\end{array}$.
3. Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w ${ℝ}^2$ z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):

Plik:Open ball-taxi metric.svg

• Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w ${ℝ}^2$ i ${ℝ}^3$ z metryką maksimum.
• Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Definicja

Niech $(X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ dowolnym ciągiem elementów zbioru $X$.

Mówimy, że ciąg $(x_n)$ jest zbieżny do granicy $g\in X$ (co zapisujemy symbolicznie $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=g$ lub $x_n\to g$ ), o ile ${\mathrm{\forall }}_{ϵ>0}{\mathrm{\exists }}_{N\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n>N}d(x_n,g)\le ϵ$.

Własności

1. Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg $(x_n)$ zbiega w $(X,d)$ do granicy $g\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ϵ>0$ istnieje $N\in \mathbb{N}$ takie, że dla $n>N$ mamy: $x_n\in B(g,ϵ)$.
2. Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w $g$ są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli $B$ o środku w $g$ istniało $N\in \mathbb{N}$ takie, że dla $n>N$ $x_n\in B$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
• Ćwiczenie: Wykazać, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(x_n,g)=0$ (tzn. gdy ciąg odległości $x_n$ od $g$ zbiega do $0$ w $ℝ$).

Przykłady

1. Jeśli $(x_n)$ jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie $N\in \mathbb{N}$, że dla każdego $n\ge N$ zachodzi $x_n=x_N$).
2. Niech $(x_n)$ będzie ciągiem w ${ℝ}^m$ z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego $n\in \mathbb{N}$ oznaczenie: $x_n=(x_n^1,x_n^2,\dots ,x_n^m)$. Pokażemy, że $g=(g^1,\dots ,g^m)\in {ℝ}^m$ jest granicą ciągu $(x_n)$ dokładnie wtedy, gdy dla każdego $i=1,\dots ,m$ zachodzi: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n^i=g^i$, gdzie zbieżność ciągów $(x_n^i)$ rozważamy w $ℝ$ z metryką euklidesową.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Przypuśćmy, że dla pewnego $i=1,\dots ,m$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n^i=g^i$, to znaczy ${\mathrm{\exists }}_{ϵ>0}{\mathrm{\forall }}_{N\in \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{n\in \mathbb{N}}(n>N\wedge |x_n^i-g^i|>ϵ)$.

   Zauważmy, że: $d(x_n,g)=\sqrt{\sum _{j=1}^m(x_n^j-g^j{)}^2}=\sqrt{\sum _{j=1}^m|x_n^j-g^j{|}^2}\ge \sqrt{|x_n^i-g^i{|}^2}=|x_n^i-g^i|$.

   Zatem: ${\mathrm{\exists }}_{ϵ>0}{\mathrm{\forall }}_{N\in \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{n\in \mathbb{N}}(n>N\wedge d(x_n-g)>ϵ)$, czyli $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=g$

   [$\to$] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego $i=1,\dots ,m$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n^i=g^i$. Weźmy dowolny $ϵ>0$. Dla każdego $i=1,\dots ,m$ istnieje $N_i\in \mathbb{N}$ takie, że ${\mathrm{\forall }}_{n>N_i}|x_n^i-g_i|<\frac{ϵ}{\sqrt{m}}$. Niech $N=\max \{N_1,\dots ,N_m\}$. Wówczas: ${\mathrm{\forall }}_{n>N}d(x_n,g)<\sqrt{\sum _{i=1}^m(\frac{ϵ}{\sqrt{m}}{)}^2}=ϵ$. Wobec dowolności $ϵ$ wykazaliśmy, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=g$.$◻$

Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia

Definicje

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, zaś $A\subseteq X$.

Mówimy, że $x\in X$ jest:

• Punktem wewnętrznym zbioru $A$, o ile ${\mathrm{\exists }}_{r>0}B(x,r)\subseteq A$;
• Punktem skupienia zbioru $A$, o ile ${\mathrm{\forall }}_{r>0}{\mathrm{\exists }}_{a\in A}0<d(x,a)<r$;
• Punktem izolowanym zbioru $A$, o ile $x\in A$ i $x$ nie jest punktem skupienia $A$.

Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru $A$ są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru $A$ nie muszą do niego należeć.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru $A$ nazywamy pochodną zbioru $A$ i oznaczamy $A^d$.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru $A$ nazywamy wnętrzem $A$ i oznaczamy $\mathrm{Int}A$.

Domknięciem zbioru $A$ nazywamy zbiór $\mathrm{Cl}A=A\cup A^d$.

Własności

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$.

1. Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie: $x\in X$ jest punktem skupienia $A$, jeżeli ${\mathrm{\forall }}_{r>0}B(x,r)\cap A\setminus \{x\}=\mathrm{\varnothing }$.
2. Punkt $x\in X$ jest zatem punktem izolowanym zbioru $A$, o ile ${\mathrm{\exists }}_{r>0}B(x,r)\cap A=\{x\}$.
3. Fakt, że $x$ jest punktem skupienia $A$ możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie: $x\in X$ jest punktem skupienia zbioru $A$ dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg $(x_n)\in (A\setminus \{x\}{)}^{\mathbb{N}}$ (tzn. ciąg elementów $A$ różnych od $x$) taki, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$]Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny $ϵ>0$. Wówczas istnieje $N\in \mathbb{N}$ takie, że dla $n>N$ $x_n\in B(x,ϵ)$. Ponieważ $x_n\in A\setminus \{x\}$, to $A\cap B(x,ϵ)=\mathrm{\varnothing }$.

   [$\to$]Załóżmy teraz, że $x\in X$ jest punktem skupienia $A$. Zdefiniujmy ciąg $A_n=\{a\in X:a\in A\cap B(x,\frac{1}{n+1})\setminus \{x\}\}$. Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg $(x_n)$ taki, że ${\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}{x}_n\in A_n$. Nietrudno zauważyć, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$. $◻$

4. W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru $A$ jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w $X$ o wyrazach ze zbioru $A$. Istotnie, jeśli $x\in \mathrm{Cl}A=A\cup A^d$, to $x\in A$ i jest granicą ciągu stałego $x_n=x$, lub też $x\in A^d$ i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów $A$ zbieżny do $x$.

Przykłady

1. Rozważmy zbiór $A=[0;1)\cup \{2\}\subseteq ℝ$. $A^d=[0;1]$, $\mathrm{Int}A=(0;1)$, $\mathrm{Cl}A=[0;1]\cup \{2\}$, zaś jedynym punktem izolowanym w $A$ jest $2$.
2. Rozważmy podprzestrzeń $ℝ$ wyznaczaną przez zbiór $A$ z powyższego przykładu. W tej przestrzeni $A^d=[0;1)$,$\mathrm{Int}A=\mathrm{Cl}A=[0;1)\cup \{2\}$, zaś $2$ jest nadal punktem izolowanym. Zauważmy, że w tym przypadku $2$ jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.
3. Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną, to $\mathrm{Int}X=\mathrm{Cl}X=X$.
4. Rozważmy zbiór $\mathbb{Q}$ jako podzbiór $ℝ$ z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że $\mathrm{Int}\mathbb{Q}=\mathrm{\varnothing }$, $\mathrm{Cl}\mathbb{Q}={\mathbb{Q}}^d=ℝ$.
5. W przestrzeni metrycznej dyskretnej $X$ dla każdego $A\subseteq X$ mamy: $\mathrm{Int}A=\mathrm{Cl}A=A$, zaś $A^d=\mathrm{\varnothing }$ (tzn. każdy punkt $A$ jest izolowany).

Zbiory otwarte i domknięte

Definicje

Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy każdy taki zbiór $A\subseteq X$, że $\mathrm{Int}A=A$.

Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy każdy taki zbiór $A\subseteq X$, że $\mathrm{Cl}A=A$.

Własności

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$.

1. Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór $A$ jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.
2. Zbiór $A$ jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)\subseteq A^{\mathbb{N}}$ zbieżnego w $X$ zachodzi: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\in A$.
   Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru $A$ jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z $A$.
3. $A$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy $X\setminus A$ jest otwarty.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Załóżmy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Weźmy dowolny $x\in A\cup A^d$. Stąd: ${\mathrm{\forall }}_{ϵ>0}{\mathrm{\exists }}_{y\in B(x,ϵ)}y\in A$, zatem nie jest prawdą, że ${\mathrm{\exists }}_{ϵ>0}B(x,ϵ)\subseteq X\setminus A$, co oznacza, że $x\in ̸\mathrm{Int}(X\setminus A)=X\setminus A$. Zatem: $x\in A$.

   [$\to$] Załóżmy teraz, że $A$ jest domknięty. Weźmy dowolny $x\in X\setminus A$. Przypuśćmy, że $x$ nie jest punktem wewnętrznym $X\setminus A$. Zatem: dla każdego $ϵ>0$ istnieje $y\in B(x,ϵ)$ taki, że $y\in ̸X\setminus A$, tzn. $y\in A$. Wobec tego (ponieważ $y=x$) $x\in A^d\subseteq \mathrm{Cl}A=A$. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem $x\in X\setminus A$. Zatem każdy $x\in X\setminus A$ musi być punktem wewnętrznym $X\setminus A$, czyli $X\setminus A=\mathrm{Int}(X\setminus A)$. $◻$

4. Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
   Niech $𝒪$ oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej $X$. Wykażemy, że:
   1. $X,\mathrm{\varnothing }\in 𝒪$
   2. ${\mathrm{\forall }}_{U_1,U_2,\dots ,U_n\in 𝒪}{U}_1\cap U_2\cap \dots \cap U_n\in 𝒪$
   3. ${\mathrm{\forall }}_{𝒱\subseteq 𝒪}\bigcup 𝒱\in 𝒪$.

   Dowód:

   [1.] Oczywiste.

   [2.] Jeśli $U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_n=\mathrm{\varnothing }$, to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech $x\in U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_n$. Ponieważ każdy ze zbiorów $U_i,i=1,\dots ,n$ jest otwarty, to istnieją ${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n>0$ takie, że dla każdego $i=1,\dots ,n$ $B(x,{ϵ}_i)\subseteq U_i$. Niech $ϵ=\min \{{ϵ}_i:i=1,\dots ,n\}$. Wówczas $B(x,ϵ)\subseteq U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_n$, czyli $x\in \mathrm{Int}(U_1\cap U_2\cap \dots \cap U_n)$. Wobec dowolności $x$ teza jest udowodniona.

   [3.] Możemy założyć, że $\bigcup 𝒱=\mathrm{\varnothing }$. Niech $x\in \bigcup 𝒱$. Wtedy istnieje $U\in 𝒱$ taki, że $x\in U$. $U$ jest otwarty, więc istnieje $ϵ>0$ takie, że $B(x,ϵ)\subseteq U\subseteq \bigcup 𝒱$. Zatem $x\in \mathrm{Int}(\bigcup 𝒱)$. Wobec dowolności $x$ teza jest udowodniona. $◻$

5. Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.

   Dowód:

   Niech $U$ będzie zbiorem otwartym. Dla każdego $x\in U$ istnieje ${ϵ}_x>0$ takie, że $B(x,{ϵ}_x)\subseteq U$. Zauważmy, że istnieje ${\delta }_x\in \mathbb{Q}$ takie, że $0<{\delta }_x\le {ϵ}_x$. Mamy zatem dla każdego $x\in U$: $B(x,{\delta }_x)\subseteq U$. Wobec tego: $\bigcup _{x\in U}B(x,{\delta }_x)\subseteq U$. Ale również $U\subseteq \bigcup _{x\in U}B(x,{\delta }_x)$. Dowód jest zakończony. $◻$

Przykłady

1. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.

   Dowód:

   Niech $B=B(x,r)$ będzie kulą otwartą w przestrzeni $(X,d)$ o środku $x$ i promieniu $r>0$. Weźmy dowolny $y\in B$. Niech $R=r-d(x,y)$. Pokażemy, że $B(y,R)\subseteq B$. Istotnie, z nierówności trójkąta, dla dowolnego $z\in B(y,R)$ mamy: $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+R=d(x,y)+r-d(x,y)=r$. Zatem $z\in B(x,r)=B$.$◻$

2. Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
3. W każdej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ zbiory $X$ i $\mathrm{\varnothing }$ są jednocześnie otwarte i domknięte. Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W $ℝ$ z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w $\mathbb{Q}$ traktowanym jako podprzestrzeń $ℝ$ otwarto-domknięty jest zbiór $(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap \mathbb{Q}$. Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto-domknięty.
4. Zbiór $[0;1)\subseteq ℝ$ nie jest ani otwarty, ani domknięty.

Funkcje ciągłe

Definicje

Funkcją ciągłą w punkcie $x\in X$ z przestrzeni metrycznej $(X,d)$ do przestrzeni mestrycznej $(Y,\rho )$ nazywamy każdą funkcję $f:X\to Y$ taką, że: ${\mathrm{\forall }}_{ϵ>0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{y\in X}(d(x,y)<\delta ⟹\rho (f(x),f(y))<ϵ)$.

Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej $(X,d)$ do przestrzeni metrycznej $(Y,\rho )$ nazywamy funkcję $f:X\to Y$ ciągłą w każdym punkcie $x\in X$.

Własności

Niech $(X,d),(Y,\rho )$ będą przestrzeniami metrycznymi.

1. Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji $f:X\to Y$ w punkcie $x\in X$ możemy zapisać: ${\mathrm{\forall }}_{ϵ>0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{y\in X}[y\in B_X(x,\delta )⟹f(x)\in B_Y(f(x),ϵ)]$, czy też krócej: ${\mathrm{\forall }}_{ϵ>0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}f(B_X(x,\delta ))\subseteq B_Y(f(x),ϵ)$ (gdzie $B_X(\cdot ,\cdot ),B_Y(\cdot ,\cdot )$ oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach $X,Y$).
2. Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu. Mianowicie, funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ zbieżnego w $(X,d)$ do $x$ zachodzi: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x)$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że $f$ nie jest ciągła. Znajdziemy zatem taki $ϵ>0$, że dla każdej $\delta >0$ istnieje $y_{\delta }\in X$ takie, że $d(x,y)<\delta$ oraz $\rho (f(x),f(y_{\delta }))>ϵ$. Wobec tego możemy wybrać ciąg $(y_n)\in X^{\mathbb{N}}$ taki, że dla każdego $n\in \mathbb{N}$: $d(x,y_n)<\frac{1}{n}$ oraz $\rho (f(x),f(y_n))>ϵ$. Zauważmy, że $x_n\to x$, ale $f(x_n)\to ̸f(x)$. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem $f$ musi być ciągła.

   [$\to$] Załóżmy teraz, że $f:X\to Y$ jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg $(x_n)\in X^{\mathbb{N}}$ taki, że $x_n\to x$. Pokażemy, że $f(x_n)\to f(x)$. Niech $ϵ>0$ będzie dowolne. Z ciągłości $f$ istnieje $\delta >0$ taka, że dla dowolnego $y\in X$ jeśli $d(x,y)<\delta$, to $\rho (f(x),f(y))<ϵ$. Ponieważ $x_n\to x$, to istnieje $N\in \mathbb{N}$ takie, że $d(x_n,x)<\delta$ dla wszystkich $n>N$. Stąd $\rho (f(x_n),f(x))<ϵ$ dla $n>N$. Wobec dowolności $ϵ$ teza jest udowodniona. $◻$

3. Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
   Funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $U\subseteq Y$ otwartego w $Y$, jego przeciwobraz $f^{-1}(U)$ jest zbiorem otwartym w $X$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Niech funkcja $f$ spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne $x\in X$. Pokażemy, że $f$ jest ciągła w punkcie $x$, co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość $f$. Ustalmy $ϵ>0$. Niech $A=f^{-1}(B_Y(f(x),ϵ))$. Z początkowego założenia wynika, że $A$ jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto $x\in A$, bo $f(x)\in B_Y(f(x),ϵ)$. Z otwartości $A$ wynika, że istnieje $\delta >0$ taka, że $B_X(x,\delta )\subseteq A$. Zauważmy, że jeśli $y\in B_X(x,\delta )$, to $y\in A=f^{-1}(B_Y(f(x),ϵ))$, zatem $f(y)\in B_Y(f(x),ϵ)$. Z dowolności $ϵ$ $f$ jest ciągła w $x$.

   [$\to$] Niech $U\subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym w $Y$. Weźmy dowolny punkt $x\in f^{-1}(U)$. Ponieważ $f(x)\in U$ i $U$ jest otwarty, istnieje $ϵ>0$ taki, że $B_Y(f(x),ϵ)\subseteq U$. Z ciągłości $f$ wynika, że istnieje $\delta >0$ taka, że jeśli $y\in B_X(x,\delta )$, to $f(y)\in B_Y(f(x),ϵ)\subseteq U$. Zatem $y\in f^{-1}(U)$ dla każdego $y\in B_X(x,\delta )$, czyli $B_X(x,\delta )\subseteq f^{-1}(U)$. $x$ jest zatem punktem wewnętrznym $f^{-1}(U)$, co z dowolności jego wyboru oznacza, że $f^{-1}(U)$ jest otwarty w $X$. $◻$

Przykłady

1. Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś $Y$ dowolną przestrzenią metryczną. Każda funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła.
2. W dowolnej przestrzeni metrycznej $X$ funkcja identycznościowa $i{d}_X:X\to X$ jest ciągła.
3. Dla ustalonej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ i punktu $x\in X$ ciągła jest funkcja $d(x,\cdot ):X\to ℝ$, jeżeli w $ℝ$ przyjmiemy metrykę euklidesową.
4. Jeśli $x\in X$ jest punktem izolowanym przestrzeni $(X,d)$, $(Y,\rho )$ jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x$.
5. W $ℝ$ z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:
   • $\sin (\cdot ):ℝ\to ℝ$,
   • $(\cdot {)}^2:ℝ\to ℝ$,
   • $(\cdot {)}^{-1}:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ$.

• Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenia.

>> Zadania Szablon:Nawigacja