Mechanika kwantowa/Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona
Szablon:SkomplikowanaStronaStart
Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona
Wyprowadzimy teorie kwantową relatywistyczną Kliena-Gordona, która nie uwzględnia spinu opisywanej cząstki w porównaniu z teorią Diraca, który uwzględnia spin tejże cząstki. Z szczególnej teorii względności mamy wyrażenie wiążące energię relatywistyczną cząstki z jej wartością pędu oraz masą spoczynkową, która może przyjmować każdą nieujemną wartość tejże wielkości: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując równanie Szablon:LinkWzór i zastępując kwadrat wektora relatywistycznego pędu kwadratem operatora pędu Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór A równanie zależne od czasu zapisujemy podobnie jak Szablon:LinkWzór, wychodząc z równania Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór W lewej stronie równania Szablon:LinkWzór wykonujemy podnoszenie do kwadratu operatora pochodnej względem czasu wraz z pewnym urojonym czynnikiem: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obie strony równania Szablon:LinkWzór przez wyrażenie, która jest w pewnym rodzaju stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła: Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Przenosimy wyrazy z drugimi pochodnymi cząstkowymi względem czasu i położenia na lewą stronę równania Szablon:LinkWzór, a pozostałe na jej prawą stronę, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Prowadźmy nowe oznaczenie i oznaczmy je operatorem d'Alemberta wiążące drugie pochodne względem wszystkich współrzędnych czasoprzestrzennych jakie występują w szczególnej teorii względności: Szablon:CentrujWzór Wtedy równanie różniczkowe drugiego rzędu Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z definicję operatora d'Alemberta Szablon:LinkWzór, przechodzi w bardzo prostą postać, w której z prawej strony występują tylko stałe, tzn. masa spoczynkowa cząstki masowej i w sposób liniowy funkcja falowa, a jeśli masa cząstki jest równa zero (np. cząstki, które są fotonami), ta prawa strona jest zawsze równa zero niezależnie jaką mamy do dyspozycji funkcję falową jaką otrzymamy w wyniku rozwiązania funkcji falowej równania zależnego od czasu Klieina-Gordona. Szablon:CentrujWzór Jeżeli cząstka znajduje się w polu elektromagnetycznym, to dodatkowa energia w tym polu jest związana z energią potencjalną cząstki mającej ładunek o wartości "q", jest to całkowita energia w tymże polu potencjalnym, z którego wyprowadzimy energią cząstki, którą miałby bez pola skalarnego elektrycznego Szablon:Formuła, ma wartość: Szablon:CentrujWzór Podobnie uogólniony pęd cząstki może być zmieniony przez wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego związany o dodatkowy człon związany z ładunkiem cząstki i potencjałem wektorowym: Szablon:CentrujWzór Po tych udogodnieniach, tzn.: Szablon:LinkWzór (energia całkowita primowana cząstki w polu skalarnym elektrycznym) i Szablon:LinkWzór (pęd primowany cząstki w polu potencjału wektorowego magnetycznego), mamy: Szablon:CentrujWzór Jest to równanie Kleina-Gordona zależne od czasu analogiczne do Szablon:LinkWzór, bo w nim nie występuje parametr skalarny energii cząstki, ale w nim zamiast niego są pochodne czasowe funkcji falowej. A równanie Kleina-Gordona niezależne od czasu, w którym nie występują pochodne zależne od czasu, natomiast parametr energii cząstki występuje, przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór
Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu
Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Kleina-Gordona rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.
Dowód niepełny
Z szczególnej teorii względności wiadomo, że zachodzi Szablon:LinkWzór, a także należy skorzystać z równania na pęd uogólniony Szablon:LinkWzór z uwzględnieniem poprawki istnienia pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i magnetycznego Szablon:LinkWzór wtedy wzór na całkowitą energię piszemy w zależności od pędu ogólnionego i potencjału skalarnego: Szablon:CentrujWzór W równaniach mechaniki kwantowej Kleina-Gordona podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej funkcja falowa jest napisana w sposób Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór, czy nawet w postaci Szablon:LinkWzór. Jeżeli skorzystamy z równania Szablon:LinkWzór, wtedy równanie niezależne od czasu piszemy, wychodząc z postaci Szablon:LinkWzór wymnażając obie jego strony przez Szablon:Formuła, w postaci: Szablon:CentrujWzór
- Powyższe równanie zachodzi w polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym), w którym zachodzi cechowanie Szablon:Formuła dla działu magnetostatyka.
Równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w równanie Szablon:LinkWzór po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla tych samych Szablon:Formuła i różnych pędów uogólnionych Szablon:Formuła, bo dostajemy wtedy równość: Szablon:CentrujWzór Wiadomo, że na podstawie Szablon:LinkWzór, bo tam samo się wyprowadza jak w mechanice kwantowej klasycznej i odejmując stronami wyrażenie Szablon:Formuła i mnożąc jeszcze raz operatorem występującym po prawej stronie równania poniższego dostajemy: Szablon:CentrujWzór
- Wartość Szablon:Formuła zachowuje się ja wartość własna według operatora Szablon:Formuła, bo mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, w której zachodzi Szablon:Formuła dla działu elektrostatyka.
Równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w równanie Szablon:LinkWzór po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla tych samych Szablon:Formuła i ogólnie różnych Szablon:Formuła, bo dostajemy wtedy równość: Szablon:CentrujWzór Łączymy prawą stronę wzoru Szablon:LinkWzór z prawą stronę wzoru Szablon:LinkWzór dostając: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w równanie Szablon:LinkWzór po zsumowaniu wraz ze współczynnikami względem stanów dla ogólnie różnych Szablon:Formuła i różnych pędów uogólnionych Szablon:Formuła, bo dostajemy wtedy równość: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór jest to równanie zależne od czasu jest takie same jak Szablon:LinkWzór. Co kończy dowód równania zależnego i niezależnego od czasu równania mechaniki kwantowej Kleina-Gordona. A dalsze zależności w mechanice kwantowej relatywistyczne Kleina-Gordona są podobne jak w rozdziale "Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu".
Dowód pełny
Zastąpmy zmienne pędu i energii cząstki w równaniu Szablon:LinkWzór (mechaniki relatywistycznej w równaniu na energię całkowitą układu odpowiednio przekształconą) przez wartości średnie: Szablon:CentrujWzór Napiszmy definicję wartości średnich występujących w równaniu Szablon:LinkWzór po lewej stronie i po prawej pod czynnikiem Szablon:Formuła, jako:
Pierwsza wartość średnia jak zobaczymy jest równa wyrażeniu z definicji średniej ważonej: Szablon:CentrujWzór Druga wartość średnia jak zobaczymy jest równa wyrażeniu z definicji średniej ważonej: Szablon:CentrujWzór
- Powyższe równanie zachodzi w polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym), w którym zachodzi cechowanie Szablon:Formuła dla działu magnetostatyka.
Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawmy do równości Szablon:LinkWzór, w takim razie otrzymamy wzór jako związek według iloczynów skalarnych: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór pomnóżmy obustronnie przez Szablon:Formuła, który jest pewnego rodzaju unormowaniem średniej z operatora, i napiszmy go w formie iloczynu skalarnego: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór napiszmy w formie z dwóch funkcji falowych ogólnie różnych, pierwsza jest dowolna, a druga już nie, tzn. według przejścia z formy Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych, czyli według twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie: Szablon:CentrujWzór Też nożna powiedzieć naz podstawie Szablon:LinkTwierdzenie elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Szablon:CentrujWzór Ale mamy funkcję Szablon:Formuła dowolną i ściśle określoną bazę funkcji Szablon:Formuła, zatem równanie niezależne od czasu piszemy w formie: Szablon:CentrujWzór Przedstawmy równanie Szablon:LinkWzór, gdy wartość własna Szablon:Formuła jest zależna od czasu, czyli jako Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Czyli na podstawie Szablon:LinkWzór wartość własna Szablon:Formuła jest niezależna od czasu, na podstawie tego, że pole elektromagnetyczne jest niezależne od czasu, w tym równaniu, mamy tutaj do czynienia z polem elektromagnetostatycznym, ono jest, zależne tylko od wektora wodzącego Szablon:Formuła, w swojej definicji.
Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie, jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim w mechanice kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona. Weźmy równanie falowe takie samo jak w mechanice nierelatywistycznej kwantowej w dowodzie pełnym Szablon:LinkWzór, a tam weźmy równanie na funkcję Szablon:Formuła takie samo jak jako w wspomnianej teorii, wtedy jego równanie różniczkowe jest w postaci Szablon:LinkWzór, i przepiszmy go w innej formie wynikającej z niej: Szablon:CentrujWzór
- Równość Szablon:LinkWzór podobnie wyprowadzamy jak równanie Szablon:LinkWzór pamiętając, że w Szablon:Formuła zachowuje się jak wartość własna przy operatorze Szablon:Formuła, bo funkcja Szablon:Formuła nie zależy od czasu, bo Szablon:Formuła, ponieważ mamy do czynienia z polem elektrostatycznym, czyli z polem elektrycznym stałym (dział elektrostatyka).
Równanie Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła pomóżmy przez funkcję zależną od energii i czasu, tzn.: Szablon:Formuła, a Szablon:LinkWzór przez funkcję falową równania niezależnego od czasu, tzn.: Szablon:Formuła, wtedy możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Formułę Szablon:LinkWzór zsumujmy ze współczynnikami stałymi funkcji falowej do funkcji niezależnej od energii, otrzymujemy równanie różniczkowe zależne tylko od położenia i czasu: Szablon:CentrujWzór Zatem równość Szablon:LinkWzór jest równaniem niezależnym od czasu zależącym od energii układu, a Szablon:LinkWzór zależnym od czasu, niezależną od niej.
Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona
Równanie niezależne od czasu jest w postaci Szablon:LinkWzór. Energia całkowita cząstki możemy wyrazić w zależności od sumy jej energii mechanicznej znanej z mechaniki klasycznej będących sumę energii kinetycznej i potencjalnej, też składa się z energii spoczynkowej (ta energia posiadana jest przez cząstkę, gdy ona spoczywa) znanej ze szczególnej teorii względności, która jest przestawiona jako: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór, która jest równaniem dokładnym podstawmy do równania Kliena-Gordona nie zależnego od czasu Szablon:LinkWzór, dostajemy równość: Szablon:CentrujWzór Dokonujemy działań z lewej stronie równości różniczkowej Szablon:LinkWzór, która występuje przed funkcją falową, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Dokonując redukcji pewnych wyrazów, które są takie same jak po lewej i prawej stronie naszego równania: Szablon:CentrujWzór Ponieważ energia mechaniczna cząstki i jego energia potencjalna są o wiele mniejsza od jego energii spoczynkowej tej samej korpuskuły, więc możemy to nasze równanie zapisać w przybliżeniu: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obie strony równania Szablon:LinkWzór przez podwojoną energię spoczynkową naszej badanej cząstki Szablon:Formuła, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, która jest iloczynem potencjału skalarnego cząstki i wartości ładunku cząstki na jej prawą stronę równania Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem niezależnym od czasu Schrödingera Szablon:LinkWzór. Zatem udowodniliśmy, że równanie Schrödingera jest szczególnym przypadkiem równania z mechaniki kwantowej relatywistycznej Kliena-Gordona dla energii cząstki mechanicznej o wiele mniejszej od jej energii spoczynkowej, którą można obliczyć z równań z szczególnej teorii względności.
Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona
Mamy sobie równanie Kliena-Gordona zależne od czasu w postaci Szablon:LinkWzór, a jego funkcje własne opisujących cząstkę swobodną nieoddziaływającej z żadnym polem skalarnym i wektorowym pola elektromagnetycznego zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że jest to funkcja falowa związana z wektorem pędu cząstki i jej energii relatywistycznej, który jest opisana dla wszystkich punktów czasowych i położeniowych cząstki o wszystkich wektorach wodzących jaką dana cząstka może posiąść. Podstawmy rozwiązanie w postaci funkcji falowej Szablon:LinkWzór do równania Kliena-Gordona zależnego od czasu Szablon:LinkWzór, dostajemy wtedy równanie algebraiczne: Szablon:CentrujWzór Podzielmy równość Szablon:LinkWzór przez zawsze niezerową wielkość Szablon:Formuła, bo funkcja eksponecjalna jest zawsze niezerowa przy niezerowym parametrze A, dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy obie strony równania Szablon:LinkWzór przez kwadrat prędkości światła w próżni: Szablon:Formuła, i przemieszczając odpowiednie wyrazy w nim, tak by po prawej stronie był tylko kwadrat całkowitej relatywistycznej energii cząstki, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór W ruchu swobodnym elektronu według teorii Kleina-Gordona energia cząstki E jest powiązana z jej wartością pędu według Szablon:LinkWzór i z masą spoczynkową taką samą zależnością jak w szczególnej teorii względności.
Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona
W teorii Kleina-Gordona przy opisie atomu wodoru przyjmujemy potencjał w polu jądra atomowego wodoru, którego ładunek wynosi e, który charakteryzuje prawo Coulomba, który jest potencjałem skalarnym elektrycznym zależnych od promienia kulistego r w odległości od położenia jądra atomu, który zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór A ponieważ elektron "krążący" wokół jadra ma ładunek ujemny, równy ładunkowi elementarnemu ze znakiem minus, czyli:Szablon:Formuła, zatem samo równanie zależne od czasu Szablon:LinkWzór przyjmuje postać przy zerowym potencjale wektorowym i potencjale skalarnym różnych od zera wyraźnie według wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W pierwszym wyrazie z prawej strony wykonujemy w nim napisane potęgowanie iloczynu operatora pierwszej pochodnej względem współrzędnych przestrzennych i wartości urojonej, stąd w ostatecznych perypetiach dochodzimy: Szablon:CentrujWzór Obierzmy rozwiązanie równania różniczkowego Szablon:LinkWzór jako funkcję falową o amplitudzie zależnym od wektora położenia jakie ten nasz elektron może przyjmować: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że te nasze rozwiązanie jest zależne od całkowitej relatywistycznej energii cząstki, którego wartość liczymy w czasie "t", po podstawieniu prawdopodobnego rozwiązania Szablon:LinkWzór do równania Szablon:LinkWzór, otrzymujemy równość różniczkową: Szablon:CentrujWzór Dzieląc obie strony przez niezerową zawsze funkcję eksponencjalną, która wynika z jej własności, czyli przez Szablon:Formuła dla równania różniczkowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Przenosimy wszystkie wyrazy z jej prawej strony na jej lewą w równaniu Szablon:LinkWzór i dzielimy obustronnie owe równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła Szablon:Formuła, dostajemy równanie różniczkowe drugiego stopnia względem współrzędnej przestrzennej: Szablon:CentrujWzór Napiszmy jako rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór, który posiada amplitudę rozwiązania zależnego tylko od położenia radialnego i współrzędnych przestrzennych elektronu podanej w punkcie we wzorze Szablon:LinkWzór, który jest w iloczynem funkcji kulistej Szablon:Formuła przez iloraz pewnej funkcji zależnej od położenia radialnego przez to właśnie położenie radialne, innymi słowy jest to funkcja zależne od zmiennych kątowych i położenia radialnego w układzie kulistym jakie może przyjmować elektron: Szablon:CentrujWzór Wykorzystujemy definicję kwadratu operatora nabla Szablon:Formuła, czyli operatora delty Szablon:Formuła, we współrzędnych kulistych jako funkcję położeń radialnych i kątowych w postaci Szablon:LinkWzór, równanie Szablon:LinkWzór po podstawieniu naszego rozwiązania Szablon:LinkWzór, w którym chcemy znaleźć funkcje Szablon:Formuła zależne od liczby falowej l i położenia radialnego: Szablon:CentrujWzór Mnożymy obie strony strony równania różniczkowego Szablon:LinkWzór przez współrzędną radialną Szablon:Formuła, dostajemy równość: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obie strony równania Szablon:LinkWzór przez funkcję kulistą, którą jak wiemy jest zależna tylko od współrzędnych kątowych azymutalnej i zenitalnej, czyli Szablon:Formuła, zatem otrzymujemy wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Napiszmy równość własną kwadratu momentu pędu przez jego wartości własne zależne od kwantowej liczby orbitalnej l, czyli jako równania własnego: Szablon:Formuła, i wykorzystując definicję kwadratu operatora momentu pędu w postaci Szablon:LinkWzór i wykorzystujemy, że funkcje własne rozważanego operatora są to funkcje kuliste Szablon:Formuła, a wartości własne kwadratu operatora momentu pędu to są wartości Szablon:LinkWzór, wtedy równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w wyrażenie zależne tylko od położenia radialnego r we współrzędnych kulistych w równanie: Szablon:CentrujWzór Obierzmy jako stałe występujące w dyspucie Szablon:LinkWzór, które są zależne od energii całkowiej cząstki relatywistycznej, ale nie wszystkie, są one zdefiniowane: Szablon:ElastycznyWiersz Po dokonanych podstawieniach zdefiniowanych stałych Szablon:LinkWzór (stała Szablon:Formuła zależna od masy spoczynkowej cząstki i jej energii relatywistycznej E), Szablon:LinkWzór (stała Szablon:Formuła zależna tylko od energii relatywistycznej cząstki) i Szablon:LinkWzór (stała Szablon:Formuła zwana inaczej stałą struktury subtelnej), ponadto wszystkie te stałe zależą od stałych fizycznych, omawiane stałe w powyższych trzech ostanich równaniach podstawiamy do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, mamy ostatecznie inny równoważny wzór: Szablon:CentrujWzór Równaniem asyptotycznym do wyrażenia Szablon:LinkWzór, które jest słuszne dla r nieskończonego, jest równaniem w postaci równania różniczkowego: Szablon:CentrujWzór *gdzie jego rozwiązaniem jest wyrażenie funkcja eksponencjalna z argumentem iloczynu stałej Szablon:Formuła przez położenie radialne r i ten obiekt jest ze znakiem minus: Szablon:CentrujWzór Wybieramy znak minus, bo w nieskończoności nasze wyrażenie znika, ze względu by funkcja Szablon:LinkWzór była całkowalna z kwadratem dla całej jego zmienności względem r, bo dla rozwiązania z plusem w nieskończonościach dąży do plus nieskończoności, czyli to rozwiązanie odrzucamy i pozostaje nam rozwiązanie eksponencjalne z minusem. Szablon:CentrujWzór Obierzmy rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór według rozwiązania asymptotycznego Szablon:LinkWzór przy amplitudzie zależnym tylko od współrzędnej r: Szablon:CentrujWzór I policzmy pochodne wyrażenia Szablon:LinkWzór, tzn. jego pierwszą i drugą podchodną względem współrzędnej radialnej:
- pierwsza pochodna Szablon:LinkWzór względem współrzędnej radialnej r.
- druga pochodna Szablon:LinkWzór, a więc jego pierwsza pochodna wyrażenia pierwszej pochodnej Szablon:LinkWzór względem współrzędnej radialnej r.
Szablon:CentrujWzór Podstawiamy Szablon:LinkWzór (pierwszą pochodną Szablon:LinkWzór) i Szablon:LinkWzór (druga pochodna Szablon:LinkWzór) do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, otrzymujemy równanie różniczkowe opisującą funkcję v(r) względem współrzędnej r: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór dzielimy obustronnie przez zawsze niezerową i dodatnią funkcję eksponencjalną Szablon:Formuła i redukujemy po pewnych wyrazach: Szablon:CentrujWzór Obierzmy szereg, który jest funkcją tylko względem współrzędnej radialnej, w której występuje nieskończenie wiele współczynników Szablon:Formuła, którego jest rozwiązaniem równości Szablon:LinkWzór w postaci nieskończonego szeregu potęgowego: Szablon:CentrujWzór Policzmy pierwszą pochodną względem współrzędnej radialnej r szeregu potęgowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz drugą pochodną v(r) względem r szeregu potęgowego Szablon:LinkWzór, a więc pierwszą pochodną szeregu Szablon:LinkWzór, która jest jakoby piszemy ją względem r w wspomnianym szeregu: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy funkcję potęgową Szablon:LinkWzór oraz pierwszą Szablon:LinkWzór i drugą pochodną Szablon:LinkWzór, zależne od r, do tożsamości różniczkowej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Po lewej stronie równości Szablon:LinkWzór a właściwie jego ostatni wyraz, a w nim dokonajmy tam odpowiednich wymnożeń, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Dla drugiego i trzeciego wyrazu równania Szablon:LinkWzór podstawmy tam wedle schematu Szablon:Formuła, w taki sposób, by otrzymać w tychże wspomnianych wyrazach potęgi położenia radialnego r o wykładnikach Szablon:Formuła, zatem: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór dokonajmy tam odpowiednich grupowań wyrazów względem tych samych współczynników o tych samych indeksach dla tych samych potęg przy r-ach: Szablon:CentrujWzór Ponieważ Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór powinno być dowolne, zatem współczynnik stojący przy tym współczynniku powinien być równy zero, a więc: Szablon:CentrujWzór Z którego wyróżnik trójmianu równania kwadratowego ostatniego wynikowego Szablon:LinkWzór jest równy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że jest ona zależna od kwadratu stałej struktury subtelnej Szablon:Formuła (Szablon:LinkWzór) i od orbitalnej liczby kwantowej l, która jest częścią wartości własnej operatora kwadratu momentu pędu. Stąd stała Szablon:Formuła jest rozwiązaniem Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór wybieramy wyrażenie Szablon:Formuła ze znakiem plus a nie z minusem, ponieważ by szereg Szablon:LinkWzór nie miał minusowych potęg, bo gdy by miał, to osobliwość występowała by dla r=0, czyli musi zachodzić Szablon:Formuła. Zatem sprawdźmy nasze przypuszczenia: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wyrażenie w Szablon:LinkWzór wyrażenie z plusem spełnia nasz warunek dla dowolnych l, a z minusem: Szablon:CentrujWzór tylko dla l=0, zatem nasz wybór stał się trafny. Zatem wybieramy w Szablon:LinkWzór rozwiązanie równania kwadratowego Szablon:LinkWzór z plusem, czyli rozwiązanie w postaci: Szablon:CentrujWzór Podobnie jak mamy w mechanice nierelatywistycznej kwantowej przy opisie atomu wodoru, trzeba urwać tutaj na pewnym wyrazie, ponieważ rozwiązanie bez urwania dąży asyptotycznie do nieskończoności, a bez urwaniu dla dużych równanie Szablon:LinkWzór ma się jako: Szablon:CentrujWzór Zatem współczynniki Szablon:Formuła są to współczynniki rozwinięcia funkcji Szablon:Formuła co jest oczywiste, że dla r nieskończonych, ta funkcja dąży do nieskończoności, zatem należy urwać na pewnym Szablon:Formuła, by nie było nieskończonych funkcji własnych czyli niecałkowalnych z kwadratem, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór, jeśli Szablon:Formuła i Szablon:Formuła oraz następne współczynniki by były równe zero, licznik czynnika stojącego przy Szablon:Formuła musi być równy zero, to na podstawie tego zachodzi: Szablon:CentrujWzór Teraz podstawiamy, za Szablon:Formuła obliczonego wedle wzoru Szablon:LinkWzór do tożsamości przedstawionej w Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ przyjeliśmy, że szereg Szablon:LinkWzór urywa się na wyrazie Szablon:Formuła, bo jest spełniony warunek Szablon:LinkWzór, czyli powinno zachodzić: Szablon:CentrujWzór Zatem szereg się zeruje dla nie mniejszych niż Szablon:Formuła, dla którego wyrazy szeregu potegowego Szablon:LinkWzór i na tej podstawie spełniony jest wzór Szablon:LinkWzór, wedle tych dysput dostajemy wzór Szablon:LinkWzór w bardziej zwartej postaci zapisanej wedle: Szablon:CentrujWzór Wzory opisujące pewne stałe, czyli:Szablon:LinkWzór (stała Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (stała Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (stała Szablon:Formuła) podstawiamy do wyrażenia Szablon:LinkWzór pod te omawiane stałe, wtedy dostajemy równoważne do poprzedniewgo równanie: Szablon:CentrujWzór Podnieśmy obie strony tożsamości Szablon:LinkWzór do kwadratu, by w nim zlikwidować wszystkie występujące pierwiastki i dlatego dokonujemy tejże operacji: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy obustronnie wyrażenie Szablon:LinkWzór przez pewną stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła Szablon:Formuła, ono przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Korzystajmy teraz z definicji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór dla wyrażenia Szablon:LinkWzór, owe równanie da się przedstawić wedle uproszczonego sposobu: Szablon:CentrujWzór Idąc dalej, obierzmy parametr Szablon:Formuła, który podstawimy do wzoru Szablon:LinkWzór ułatwiający nam pewne określone późniejsze przekształcenia, który ten parametr jest zdefiniowany: Szablon:CentrujWzór A zatem z Szablon:LinkWzór według parametru zdefiniowanego w Szablon:LinkWzór, otrzymujemy pewne wyrażenie z którego będziemy wyznaczać energię cząstki (elektronu): Szablon:CentrujWzór W ostatnim wynikowym równaniu Szablon:LinkWzór wyznaczamy czemu jest równa energia cząstki relatywistycznej w zależności od masy spoczynkowej elektronu, kwadratu struktury subtelnej i parametru Szablon:Formuła Szablon:CentrujWzór Następnie wykorzystując definicję Szablon:Formuła napisaną wedle wzoru Szablon:LinkWzór jako funkcję orbitalnej liczby kwantowej i parametru Szablon:Formuła, biorąc to wszystko do równania Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą Szablon:Formuła, która jest zależna od kwantowej liczby orbitalnej, stałej struktury subtelnej i elementu Szablon:Formuła, który piszemy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór po podstawieniu do niego wyrażenia na zmienną Szablon:Formuła napisaną wedle wzoru Szablon:LinkWzór ma się: Szablon:CentrujWzór Rozłóżmy wyrażenie Szablon:LinkWzór w szereg Taylora względem parametru Szablon:Formuła, czyli kwadratu stałej strukury subtelnej. Wyrażenie Szablon:LinkWzór przyjmuje wartość dla Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Pierwsza pochodna wyrażenie Szablon:LinkWzór zapisujemy wedle sposobu licząc ją względem kwadratu struktury subtelnej: Szablon:CentrujWzór Wartość pierwszej pochodnej Szablon:LinkWzór wyrażenia Szablon:LinkWzór, względem kwadratu struktury subtelnej dla parametru α równej zero, piszemy: Szablon:CentrujWzór Druga pochodna wyrażenia Szablon:LinkWzór względem kwadratu struktury subtelnej, a więc pierwsza pochodna Szablon:LinkWzór ma kształt: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór jako druga pochodna względem wspomnianego parametru dla Szablon:Formuła przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór A zatem rozwinięcie Szablon:LinkWzór, według Szablon:LinkWzór (wartość funkcji dla stałej struktury subtelnej równej zero), Szablon:LinkWzór (pierwsza pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), Szablon:LinkWzór (druga pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), te nasze rozwinięcie z dokładnością do wyrazów drugiego rzędu: Szablon:CentrujWzór Wiemy, jednak że na podstawie definicji zmiennej Szablon:Formuła zdefiniowanej wedle równości Szablon:LinkWzór i przybliżając ją względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, wtedy ten parametr piszemy: Szablon:CentrujWzór Określmy Szablon:Formuła, zatem z definicji Szablon:Formuła, która jest większa niż jeden, zatem orbitalna liczba kwantowa przyjmuje takowe wartości skwantowane: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie wzór na zmienną Szablon:Formuła napisany w sposób przybliżony względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, dla którego ta nasza zmienna jest zdefiniowana wedle wzoru Szablon:LinkWzór, jest napisana: Szablon:CentrujWzór Określmy odwrotność parametru Szablon:Formuła napisaną w sposób przybliżony Szablon:LinkWzór, dokonując dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występująca po jedynce: Szablon:CentrujWzór Dalej kwadrat odwrotności zmiennej Szablon:Formuła wyrażenia Szablon:LinkWzór, pisać go z dokładnością do wyrazów kwadratowych wielkości α, bo w Szablon:LinkWzór w drugim wyrazie w nawiasie występuje kwadrat tej wspomnianej wielkości: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy wzór Szablon:LinkWzór (kwadrat odwrotności zmiennej Szablon:Formuła) do Szablon:LinkWzór będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru do drugiego wyrazu w nawiasie, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne jest równy energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od orbitalnej liczby kwantowej, ale głównej w trzecim jego składniku, jest ona również zależna od czynnika struktury subtelnej Szablon:Formuła, która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany, zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa: Szablon:CentrujWzór
- gdzie energia Szablon:Formuła, którą jak udowodnimy jest energią obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej:
Szablon:CentrujWzór Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową l=0, a l=n-1, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jak widać rozszczepienie jest rzędu Szablon:Formuła, jednak rozszczepienie przewidywane przez teorię Kleina-Gordona jest dwukrotnie większe niż uzyskano doświadczalnie.