Mechanika kwantowa/Postulat czwarty mechaniki kwantowej

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:SkomplikowanaStronaStart

Szablon:Postulat

Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu

W poniższych rozważaniach mówimy, że wektor położenia, pędu, czy wektora falowego, mówimy, że są to wektory kolejno poszczególnych cząstek wchodzących w skład układu zamkniętego, tzn.: Szablon:ElastycznyWiersz

Prawa mechaniki nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Rozważania ogólne

Wyprowadzimy według mechaniki klasycznej dlaczego operator pędu, momentu pędu, energii i równanie zależne od czasu jest takie a nie inne. Wprowadźmy równanie całkowitej funkcji falowej. Wiadomo, że liczba falowa w zależności od pędu uogólnionego wyraża się wzorem Szablon:LinkWzór, stąd można wyznaczyć wektor liczby falowej: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór, jeśli znamy wektor pędu uogólniony cząstki Szablon:Formuła, jeśli traktować cząstki jako korpuskuły, możemy wyznaczyć wektor falowy Szablon:Formuła, jeśli traktować cząstki jak fale. Częstotliwością kołową wyrażamy ze wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór, jeśli znamy energię cząstki Szablon:Formuła, to można policzyć jej częstotliwość kołową, jeśli fotony traktować jako fale. Jeśli potraktować cząstki jako fale, to jego funkcja falowa w zależności od wektora liczby falowej i jego częstotliwości kołowej jest: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór iloczyn skalarny wektora falowego i wektora położenia dla N cząstek jest napisany po wszystkich współrzędnych cząstek wektora falowego i położenia cząstek. Gdzie Szablon:Formuła jest to stała normująca funkcję falową Szablon:LinkWzór. Podstawiając wielkość za Szablon:Formuła wzór Szablon:LinkWzór (zależność od wektora pędu uogólnionego) i za ω wzór Szablon:LinkWzór (zależność od energii niesionej przez falę), mamy wtedy funkcję falową dla skokowych wartości Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Lub dla ciągłych zmian wartości Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór W równaniach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór pęd jest to pęd uogólniony po wszystkich współrzędnych N cząstek, czyli tych współrzędnych jest 3N, a tak samo wektor położenia r→ jest po 3N współrzędnych przestrzennych. Albo dla dyskretno-ciągłych zmian wektora Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, tzn. gdy całkowita funkcja falowa jest sumą części dyskretnej i ciągłej ortogonalne między sobą: Szablon:CentrujWzór W równaniach odpowiednio Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór w funkcjach na Szablon:Formuła i Szablon:Formuła wyznaczamy stałą Szablon:Formuła normując je dla Szablon:Formuła odpowiednio do delty Kroneckera albo delty Diraca. W Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór we wzorach na Szablon:Formuła można powiązać energię z pędem uogólnionym według wzoru na równanie własne energii równania niezależnego od czasu. Funkcje Szablon:Formuła w powyższych dwóch wzorach to są funkcje falowe przedstawiające fale prawdopodobieństwa. Wyznaczmy wyrażenie, czyli pierwszą pochodną wyrażenia funkcji falowej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zależną od liczby pędu i energii (jeśli traktować cząstki jako fale) względem i-tej współrzędnej położenia: Szablon:CentrujWzór A k-ta współrzędna operatora pędu według Szablon:LinkWzór tak samo jak dla operatora pędu zdefiniowanej w mechanice kwantowej, czyli tak jak w punkcie Szablon:LinkWzór jest zdefiniowana jako: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór mamy równanie, które jest równaniem własnym operatora pędu dla współrzędnej k-tej bo Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Sumujemy funkcje falowe Szablon:Formuła ze współczynnikami do Szablon:Formuła dla stanów dla pędu uogólnionego k-tej współrzędnej Szablon:Formuła oraz ogólnie różnych energii Szablon:Formuła otrzymując: Szablon:CentrujWzór Wyprowadzenie współrzędnych operatora momentu pędu jest oczywiste bo możemy podziałać na Szablon:LinkWzór operatorowo wyrażeniem Szablon:Formuła, co w końcu sumując ze współczynnikami funkcje Szablon:Formuła ze współczynnikami do Szablon:Formuła dla takich samych Szablon:Formuła i różnych Szablon:Formuła, otrzymujemy równanie własne operatora momentu pędu: Szablon:CentrujWzór Operator momentu pędu Szablon:Formuła i wektor momentu pędu Szablon:Formuła są po 3N współrzędnych.

Dowód niepełny

Następnie wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia falowego Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór względem k-tej współrzędnej położenia, co stąd dla pędu uogólnionego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór możemy zapisać równanie własne operatora różnicy operatora pędu Szablon:Formuła i iloczynu dla ciała o ładunku qk przez potencjał wektorowy pola magnetycznego Ak, wiedząc, że wskaźnik Szablon:Formuła jest po 3N współrzędnych (wskaźnik Szablon:Formuła jest od 1 do 3N) dla N cząstek, Szablon:Formuła jest to oznaczenie tego samego ładunku i-tej cząstki (wskaźnik Szablon:Formuła jest do 1 do N), który to wszystko razem zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Zakładamy, że Szablon:Formuła, jest operatorem zależnym ogólnie od czasu i od położenia, a Szablon:Formuła jest jego wartością własną. Na równanie własne Szablon:LinkWzór podziałajmy operatorem Szablon:Formuła obustronnie, tak by otrzymać równanie własne kwadratu tego naszego operatora, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

  • Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba Szablon:Formuła dla działu magnetostatyki, bo wektor Szablon:Formuła jest funkcją.

Wtedy równanie Szablon:LinkWzór dla różnych Szablon:Formuła (cząstek) możemy przepisać: Szablon:CentrujWzór Energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym z uwzględnieniem potencjału wektorowego i skalarnego przedstawia się: Szablon:CentrujWzór

Wymnóżmy obie strony Szablon:LinkWzór przez funkcję Szablon:Formuła, idąc dalej podstawiamy wzór Szablon:LinkWzór do tak otrzymanego wzoru, a dokładniej do części z energią kinetyczną, mamy: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy jako operator energii wyrażenie w postaci: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie w równaniu Szablon:LinkWzór nazwijmy Hamiltonianiem według Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy równanie własne energii stanu Szablon:Formuła przy pomocy definicji operatora Hamiltonianu Szablon:LinkWzór, wtedy równość Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Sumując Szablon:Formuła ze współczynnikami do Szablon:Formuła biorąc takie Szablon:Formuła by były dla stanów dla energii Szablon:Formuła oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór jest równaniem własnym operatora energii. Jak widzimy w Szablon:LinkWzór operator Szablon:Formuła jest to operator energii mechanicznej cząstki bo wartością własną jest ta właśnie energia tego stanu, tzn. Szablon:Formuła. Policzmy pochodną wyrażenia funkcji falowej Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór A zatem z równania różniczkowego Szablon:LinkWzór po przekształceniach, mamy: Szablon:CentrujWzór Sumując Szablon:Formuła ze współczynnikami do Szablon:Formuła we wzorze Szablon:LinkWzór biorąc takie Szablon:Formuła by były dla stanów dla energii Szablon:Formuła oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych Szablon:Formuła, mamy: Szablon:CentrujWzór A zatem, jeśli zachodzi Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz łącząc te dwa wspomniane wzory, tzn. lewą stronę pierwszego wzoru z prawą stroną tego drugiego, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Sumujemy funkcje Szablon:Formuła ze współczynnikami do Szablon:Formuła dla stanów dla ogólnie różnych energii Szablon:Formuła i pędów uogólnionych Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór

Dowód pełny

Napiszmy wzór na średni kwadrat pędu klasyczny mając pęd uogólniony i potencjał tensorowy pola elektromagnetycznego, jako Szablon:LinkWzór, wtedy napiszmy, gdy długość funkcji falowej jest równa jedynce, wtedy: Szablon:CentrujWzór

  • Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba Szablon:Formuła dla działu magnetostatyki, bo wektor Szablon:Formuła jest funkcją.

A średnia operatora energii potencjalnej: Szablon:CentrujWzór I średnia wartości energii mechanicznej układu: Szablon:CentrujWzór

Widzimy na podstawie wzorów na Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, ale końcowe obliczenia, że są to średnie wielkości jakiś operatorów, z definicji średniej operatora, a Szablon:Formuła i Szablon:Formuła mają kolejno sens prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeni Euklidesowej n-wymiarowej. Napiszmy równanie na energię mechaniczną (hamiltonian), wtedy dowiemy się jak wyprowadzić wzór na równanie własne niezależne od czasu: Szablon:CentrujWzór Podstawmy wzór na definicję średnią wartość kwadratu pędu klasycznego, tzn. Szablon:LinkWzór, operatora energii potencjalnej, tzn. Szablon:LinkWzór i operatora energii całkowitej (mechanicznej), tzn. Szablon:LinkWzór, do wzoru Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Do dowodu będzie potrzebny lemat: Szablon:Twierdzenie Szablon:Dowód Z definicji iloczyny skalarnego z Szablon:LinkWzór z twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych: Szablon:CentrujWzór Też nożna powiedzieć naz podstawie Szablon:LinkTwierdzenie elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Szablon:CentrujWzór Dla dowolnego wektora Szablon:Formuła przy ściśle określonej bazie funkcji Szablon:Formuła otrzymujemy równanie niezależne od czasu własne operatora energii mechanicznej: Szablon:CentrujWzór Weźmy równanie własne hamiltonianu zależne od parametru czasowego, wtedy dowiemy się, że energia jako wartość własna nie zależy od czasu: Szablon:CentrujWzór Czyli na podstawie Szablon:LinkWzór wartość własna Szablon:Formuła jest niezależna od czasu. Szablon:Twierdzenie Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie, jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tego, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim, w mechanice nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera.

  • Gdzie operator hamiltonianu jest równy:

Szablon:CentrujWzór Napisz równanie wektora falowego: Szablon:CentrujWzór Funkcje falowe Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są wartościami własnymi równania falowego własnego Szablon:LinkWzór, dalej Szablon:Formuła, a tego napiszmy równanie różniczkowe w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie własne Szablon:LinkWzór pomnóżmy przez Szablon:Formuła, a równanie Szablon:LinkWzór pomnóżmy przez Szablon:Formuła, w takim razie, zakładając, że operator hamiltonianu Szablon:Formuła na podstawie operatora transformacji operatora hamiltonianu po przesunięciu w czasie od t=0 to t nierównej zero, generowanej przez operator Szablon:Formuła, bo Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, na podstawie prawa Szablon:LinkWzór i definicji operatora transformacji (ewolucji) Szablon:LinkWzór (Szablon:LinkWzór): Szablon:CentrujWzór Końcowe równanie składamy dla różnych Szablon:Formuła składamy liniowo względem stałych współczynników, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór jest równaniem operatora energii niezależnym od czasu, równaniem jego własnym, a Szablon:LinkWzór jest równaniem zależnym od czasu operatora energii, czyli mamy na podstawie tego dwie równości: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie własne pędu i operatora momentu pędu jest w postaci kolejno: Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór.

Nieoznaczność czasu i energii (dowód)

Napiszmy położenie statystyczne cząstki wiedząc, że Szablon:Formuła możemy przenieść przed całkę zastępując ją przez jego wartość średnią, w zależności od czasu i położenia początkowego wiedząc Szablon:Formuła jest czasową średnią prędkości wewnątrz czasu Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jak wiemy cząstka od punktu Szablon:Formuła do punktu Szablon:Formuła porusza się przy ogólnie niestałej prędkości, zakładamy, że cząstka porusza się statytycznie przy stałej prędkości od pierwszego punktu do drugiego z prędkością Szablon:Formuła, w takim razie policzmy wzór na różniczkę statystycznego położenia w zależności od czasu Szablon:Formuła i położenia początkowego Szablon:Formuła w czasie Szablon:Formuła w przedziale Szablon:Formuła wychodząc od: Szablon:CentrujWzór To zależność różniczki położenia Szablon:Formuła w zależności od różniczki czasu wykorzystując Szablon:LinkWzór przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzór na operator pędu Szablon:LinkWzór możemy ją przedstawić w zależności od czasu wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy średnią operatora pędu wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór, co nam wyjdzie, że ona jest równa średniej energii wziętej z minusem podzielonej przez i-tą współrzędną średniej prędkości wiedząc, że prędkość Szablon:Formuła możemy włożyć przed całkę lub sumę w postaci Szablon:Formuła wykorzystując równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy nieoznaczność pędu wiedząc, że prędkość Szablon:Formuła możemy włożyć ją przed całkę lub sumę wiedząc, że zachodzi równanie zależne od czasu operatora energii Szablon:LinkWzór, średnia operatora pędu Szablon:LinkWzór i równanie zależne od czasu kwadratu operatora energii Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i nierówności Szablon:LinkWzór można zapisać nieoznaczoność czasu i energii, mówiąc z jaką nieoznacznością zmierzymy daną energię ΔE, jeśli dany układ kwantowy istnieje w czasie Δt wykorzystując, że zachodzi Szablon:LinkWzór i nieoznaczność położenia w zależności od nieoznaczności czasu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymujemy nieoznaczność czasu i energii, co kończy tego dowód.

Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu

Załóżmy, że hamiltonian jest niezależny od czasu i funkcje falowe, a więc załóżmy, że rozwiązanie jego jest iloczyn funkcji f zależnej od współrzędnych przestrzennych i funkcji g zależnej od wartości czasu: Szablon:CentrujWzór Podstawmy przypuszczalne rozwiązanie Szablon:LinkWzór do równania falowego zależnego od czasu Szablon:LinkWzór, to równanie przyjmuje wtedy takową postać: Szablon:CentrujWzór Teraz dzielimy obie strony równania Szablon:LinkWzór przez funkcję f(xyz)g(t), wtedy otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ prawa strona jest zależna tylko od czasu, a lewa od xyz, jeśli hamiltonian cząstki jest niezależny od czasu (energia potencjalna jest niezależna od czasu w badanym układzie), to: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór lewa strona jest zależna tylko od współrzędnych przestrzennych, a prawa od współrzędnych czasowej, aby prawa i lewa strona były sobie równe, to obie strony powinny być równe stałej. Równanie Szablon:LinkWzór możemy rozdzielić na dwa niezależne równania od siebie w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Oznaczmy przez C=E, jako energię cząstki w układzie, bo ona jest wartością własną operatora energii całkowitej cząstki Szablon:LinkWzór, a zatem można powiedzieć, że z Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wynikają dwa następne równania: Szablon:ElastycznyWiersz Dzielimy obie strony równania Szablon:LinkWzór przez stałą Szablon:Formuła, wtedy dostajemy inne równoważne równanie: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy całkowania obu stron równoności różniczkowej Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór wedle iloczynu funkcji zależnej od współrzędnej przestrzennych f(xyz) i czasu g(t) wedle Szablon:LinkWzór, ale pamiętając, że Szablon:LinkWzór jest jednych z rozwiązań równania falowego niezależnego od czasu, czyli mamy przy tym, że to równanie może mieć więcej takich f(xyz), a każdej tej funkcji odpowiada odpowiednia energia ESzablon:Sub, to rozwiązanie zapisujemy w postaci sumy ze współczynnikami rozwinięcia aSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór

Operator ewolucji

Operatorem ewolucji nazywamy operator zdefiniowany w postaci eksponentu z funkcji proporcjonalnej do iloczynu z minusem czasu i operatora energii: Szablon:CentrujWzór Całkowite rozwiązanie dla t=0, które jest rozwiązaniem Hamiltonianu (równania falowego zależnego od czasu), możemy zapisać wedle schematu przy współczynnikach rozwinięcia aSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Pomocnym równaniem własnym do równania własnego operatora energii jest równanie w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie własne Szablon:LinkWzór udowodnijmy na podstawie indukcji matematycznej, zatem dla n=1 wspomniane równanie przechodzi w równanie niezależne od czasu Szablon:LinkWzór. Następnym krokiem jest założenie, że równanie Szablon:LinkWzór jest spełnione i udowodnijmy, że ono jest spełnione dla n+1, pomnóżmy obustronnie równanie Szablon:LinkWzór przez operator energii, dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Ponieważ operator energii jest liniowy, zatem możemy potęgę ESzablon:Sup przenieść przed ten operator, zatem po te operacji i z definicji równania własnego operatora energii możemy zapisać wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód twierdzenia Szablon:LinkWzór.

Podziałajmy eksponencjalnym operatorem ewolucji Szablon:LinkWzór na funkcję własną rozwiązania równania własnego operatora energii dla t=0, czyli Szablon:LinkWzór, wykorzystując rozwinięcie funkcji eksponecjalnej tegoż operatora w szereg Taylora: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór otrzymaliśmy wyrażenie podczas działania operatora ewolucji na funkcję własną operatora energii: Szablon:CentrujWzór Prawa strona równania Szablon:LinkWzór jest taka sama jak w rozwiązaniu własnym Szablon:LinkWzór, zatem porównujemy oba te równania, dostajemy że: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie własne operatora energii we jego funkcjach własnych jest to rozwiązanie równania zależnego od czasu Szablon:LinkWzór w chwili t=0, zatem znając jego funkcję własną dla chwili zerowej możemy wyznaczyć na podstawie Szablon:LinkWzór funkcję własną dla dowolnej chwili, w której znajdowała się cząstka opisywana przez funkcję falową ψ(xyzt).

Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej

Tutaj udowodnimy, że gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej, której jest rozwiązaniem równania falowego Szablon:LinkWzór jest równe jeden i nie zmienia się w czasie. Pochodna zupełna normy funkcji falowej jest równa po jego rozpisaniu: Szablon:CentrujWzór Z równania Szablon:LinkWzór można otrzymać inne równanie zależne od czasu w sposób przekształcony, powstały w taki sposób do poprzedniego dzieląc jego obydwie strony przez iloczyn stałej kreślonej Plancka i jednostki urojonej, dalej korzystając z definicji odwrotności jednostki urojonej mamy: Szablon:CentrujWzór Na równanie końcowego wynikowego Szablon:LinkWzór możemy podziałać sprzężeniem zespolonym po obu jego stronach, dostajemy następne wynikowe równoważne do poprzedniego równanie: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy równania końcowe Szablon:LinkWzór (przekształcone równanie falowe zależne od czasu) i Szablon:LinkWzór (sprzężone zespolono do poprzedniego przekształconego wzoru równania falowego zależnego od czasu) do wzoru Szablon:LinkWzór, który jest ilorazem zmiany normy funkcji falowej przez zmianę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór

Ponieważ operator energii Szablon:Formuła jest operatorem hermitowskim, to Szablon:LinkWzór można tak przekształcić, by zachodziła równość Szablon:Formuła z definicji operatora hermitowskiego, a zatem dokonajmy tego: Szablon:CentrujWzór Porównując wzór Szablon:LinkWzór z równaniem Szablon:LinkWzór przy naszych obliczeniach wynikające z hermitowskości operatora energii dochodzimy do wniosku, że jeśli prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni jest równe jeden dla t=0, to dla t≠0 gęstość znalezienia cząstki też jest równe jeden i nie zmienia się wcale w czasie.

Charakter falowy funkcji stanu

W wspomnianych rozdziałach o mechanice kwantowej dotychczas nie wspomnieliśmy jak wykorzystać aparat matematyczny dotyczący mechaniki kwantowej do konkretnych przypadków. Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór w bazie wektorów własnych Szablon:LinkWzór równania własnego iksowego operatora pędu Szablon:LinkWzór wyrażając przy tym energię cząstki poprzez wartość wektora falowego w postaci Szablon:LinkWzór przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór częstotliwość kołowa fali jako jednych z parametrów drań harmonicznych funkcji falowej cząstki średnio spoczywającej mającej liczbę falową k jest napisana jako: Szablon:CentrujWzór Współczynniki rozwinięcia a(k) w bazie pędowej funkcji całkowitej nie mogą zależeć od czasu, a więc je policzmy możemy dla t=0 według Szablon:LinkWzór funkcjach bazy w przestrzeni pędowej: Szablon:CentrujWzór

Policzmy teraz prędkość fazową naszej cząstki, którą definiujemy jako iloraz częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest Szablon:LinkWzór w zależności od liczby falowej k, przez liczbę falową. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt Szablon:LinkWzór, do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki. Szablon:CentrujWzór A zatem na podstawie Szablon:LinkWzór dostajemy wzór na prędkość fazową cząstki w zależności od prędkości cząstki w postaci: Szablon:CentrujWzór A zatem prędkość fazowa cząstki równa się połowie prędkości cząstki. Policzmy teraz prędkość grupową naszej cząstki, którą definiujemy jako pochodną częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest Szablon:LinkWzór w zależności od liczby falowej k, względem liczby falowej. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt Szablon:LinkWzór, do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki. Szablon:CentrujWzór A zatem na podstawie Szablon:LinkWzór dostajemy, że prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki, jak moglibyśmy przypuszczać: Szablon:CentrujWzór Według Szablon:LinkWzór prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki. Napiszmy paczkę falową dla t=0. A więc wystarczy przyjąć dla t=0 funkcję falową, dla której będziemy liczyli stałą normalizacyjną: Szablon:CentrujWzór W analizie matematycznej występuje całka niewłaściwa, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach. Szablon:CentrujWzór Jak każda funkcja falowa w mechanice kwantowej powinna być unormowana do jedynki, czyli norma funkcji falowej Szablon:LinkWzór powinna wynosić jeden, co można wykorzystać tą całkę niewłaściwą Szablon:LinkWzór przy wyznaczaniu stałej N w naszej funkcji falowej, która jest słuszna dla t=0. Szablon:CentrujWzór Z warunku normalizacyjnego Szablon:LinkWzór funkcji falowej Szablon:LinkWzór wynika, że jego stałą normalizacyjną przedstawiamy wedle wzoru: Szablon:CentrujWzór Policzmy naszą całkę, która jest jakoby wersją całki Szablon:LinkWzór, tylko że bardziej utrudnioną. Szablon:CentrujWzór Teraz policzmy współczynniki a(k) rozwinięcia w bazie pędowej znając już unormowaną funkcję falową dla t=0, tzn. Szablon:LinkWzór przy stałej normalizacyjnej Szablon:LinkWzór, te współczynniki wyznaczamy wedle wzoru, który jest pewną wersją wzoru Szablon:LinkWzór dla początkowego czasu. Oczywiste jest, że te współczynniki nie zależą w jakim czasie będziemy liczyć przy pomocy całkowitej funkcji falowej Szablon:LinkWzór opisującą naszą kwantową cząstkę: Szablon:CentrujWzór Teraz pozostało nam policzyć funkcję falową zależną od współrzędnej iksowej i dowolnego czasu, tzn.Szablon:Formuła według Szablon:LinkWzór, napisanej w przestrzeni pędowej znając już jego współczynniki rozwinięcia, które wyliczyliśmy dla t=0, czyli Szablon:LinkWzór, wtedy tą funkcję możemy policzyć w sposób zwarty: Szablon:CentrujWzór

Następnym krokiem jest policzenie gęstości prawdopodobienstwa znalezienia cząstki w przestrzeni jednowymiarowej, w tym celu należy policzyć kwadrat modułu funkcji falowej, który jest w zwartej postaci Szablon:LinkWzór, liczymy je tak by po jego prawej stronie wyszła liczba rzeczywista, bo gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją o wartościach rzeczywistych. Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór otrzymujemy, że gęstość prawdopodobieństwa cząstki zmienia się w czasie według: Szablon:CentrujWzór Wedle przedstawionego wzoru Szablon:LinkWzór, że po bardzo dużym czasie cząstkę można znaleźć gdzieś na osi iksowej, w niekreślonym punkcie, bo gęstość prawdopodobieństwa napisanej wspomnianym wzorem rozpływa się w czasie i po nieskończenie dużym czasie jest w przybliżeniu równa zero.

Szablon:SkomplikowanaStronaKoniec

Źródło: „https://pl.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Mechanika_kwantowa/Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej&oldid=296”