Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Zasady zachowania wynikające z zasad niezmienniczości

Przedstawimy tutaj różnego rodzaju symetrię równań opisujących dany układ równań. Rozpatrywać będziemy transformacje dyskretne, a także i ciągłe.

Wprowadzenie do operatorów translacji

Gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, to pęd i energia całkowita nie zmieniają się w czasie, zatem rozpatrzmy przesunięcie funkcji skalarnej ψ zależącej od wektora wodzącego Szablon:Formuła. Szablon:CentrujWzór Jeżeli układ będzie się składał z superpozycji nieskończenie małych superpozycjii, to całkowite przesunięcie przesuniemy poprzez wzór Szablon:Formuła, wtedy całkowity operator przesunięcia piszemy poprzez: Szablon:CentrujWzór

Wprowadzenie do operatorów obrotów

Operator obrotu przy infinitezymalnym obrocie, tzn. skończony obrót jest sumą poszczególnych infitezymalnych obrotów Szablon:Formuła, co na tej podstawie otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór I wiedząc coś o operatorze momentu pędu Szablon:LinkWzór całkowity operator obrotu o skończony kąt jest to iloczyn poszczególnych infinitezymalnych przesunięć, wtedy możemy pisać: Szablon:CentrujWzór

Parzystość funkcji falowych (inwersja)

Transformacja dyskretna, którą jest inwersja przestrzeni mamy przekształcenia Szablon:Formuła. Z tą operacją wiąże się operator parzystości, którego działanie na funkcję Szablon:Formuła, piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Wartość własna operatora parzystości odpowiada wartość bezwzględna z jedynki, czyli P=±1. W układzie kulistym transformacji Szablon:Formuła jest równoważna transforfmacji θ→π+θ i φ→π-θ, co daje nam w rezultacie Szablon:Formuła, ale dalej funkcję Szablon:Formuła możemy napisać w sposób: Szablon:Formuła. Zatem po działaniu operatorem parzystości na harmoniki sferyczne, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Harmoniki sferyczne mają parzystość (-1)Szablon:Sup, co na to wychodzi, że stany s, d, g, ... mają parzystość dodatnią, a stany p, f, h, ... mają parzystość ujemną. Przy przejściach elektrycznych dipolowych zmiana parzystości podlega regule Δl=±1. Aby parzystość układu atom plus foton była zachowana to parzystość fotonu powinna być równa -1. Parzystość jest liczbą kwantową multiplikatywną, tzn. spełnia parzystość ψ=θSzablon:SubθSzablon:Sub.... W przypadku oddziaływań oddziaływania silnego i elektromagnetycznego liczba kwantowa parzystości jest zachowana. Przykładem reakcji z oddziaływaniem silnym jest p+p→πSzablon:Sup+p+n, aby parzystość takiego układu reakcyjnego była spełniona pionowi przepisuje się parzystość wewnętrzną i jest ona równa -1, czyli PSzablon:Sub=-1. Parzystość protonu i neutronu przepisuje się liczbę PSzablon:Sub=-1. Przykładem reakcji, w których produkowane są cząstki dziwne zawierające kwark dziwny i antydziwny, które są w reakcji produkowane stowarzyszono, tzn. w reakcji p+p→KSzablon:Sup+Λ+p produkowane są cząstki oczywiście o dziwności S=-1, a także o dziwności S=-1. Względna zmiana parzystości w stosunku do nukleonu jest równa minus jeden.

Właściwości pionu (spin i parzystość) naładowanego πSzablon:Sup i obojętnego πSzablon:Sup

Będziemy tutaj badali spin i parzystość i przekroje czynne, w której występują piony naładowane i obojętne w różnego rodzaju typu reakcjach.

Spin pionów naładowanych w reakcjach

Weźmy reakcję, która jest odwracalna, w których spin pionu wyznaczono z pomiaru przekroju czynnego reakcji: Szablon:CentrujWzór Jeśli będziemy rozważać reakcję Szablon:LinkWzór z reakcją w wprost i reakcją odwrotną przy tej samej energii w układzie środka masy, wtedy elementy macierzowe naszej reakcji |MSzablon:Sub|Szablon:Sup=|MSzablon:Sub|Szablon:Sup, co na tej podstawie przekrój czynny na zachodzenie reakcji wprost i odwrotnej w układzie środka masy jest: Szablon:ElastycznyWiersz W reakcji odwrotnej Szablon:LinkWzór, którego przekrój czynny jest Szablon:LinkWzór występuje czynnyk Szablon:Formuła, bo dwa protony w układzie środka masy są nierozróżnialne. Na podstawie tego okazało się, że spin dla pionu naładowanego jest równy zero sSzablon:Sub=0. Jeżeli będziemy rozpatrywać piony obojętne , wtedy rozpad tego pionu następuje na dwa fotonu γ jest: Szablon:CentrujWzór Całkowity spin reakcji Szablon:LinkWzór pozostaje niezmieniony.

Parzystość pionów naładowanych w reakcjach

Rozpatrzmy reakcję z pionem naładowanym ujemnie z jądrem tarczą deuteronu d, w której powstają dwa neutrony, tzn.: Szablon:CentrujWzór Spin deuteronu wynosi sSzablon:Sub wynosi jeden, a pionu sSzablon:Sub=0, to całkowity moment pędu tej reakcji Szablon:LinkWzór w stanie początkowym dla substratów wynosi jeden. Funkcją falową stanu danej cząstki piszemy w jako ψ=φ(x,y,z)α(spin). I oznaczmy zetową współrzędną skierowaną do góry lub do dołu całkowitego momentu pędu, wtedy jednocząstkowe kombinacje stanów neutronów zetowe określamy: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Spin całkowity w reakcji w Szablon:LinkWzór jest równy S=0,1, zatem z kombinacji Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zetowe współrzędne spinów wynoszą SSzablon:Sub=-1,0,+1. Stan Szablon:LinkWzór jest singletem, tzn. ona zmienia znak przy zamianie funkcji falowych, czyli jest antysymetryczny.

Parzystości pionów obojętnych w reakcjach

Aby wyznaczyć parzystość pionu obojętnego rozpatrzmy reakcję πSzablon:Sup→2γ. Niech Szablon:Formuła, to będą wektory pędu fotonów, a niech Szablon:Formuła, to będą wektory polaryzacji, czyli wektorami natężenia pola elektrycznego. Liczba kwantowa moment pędu w reacji napisanej na poczatku tego rozdziału jest równa J=0, a stan końcowy przedstawia dwa identyczne bozony. Funkcje falowe tych bozonów możemy przedstawić w dwojaki sposób: Szablon:Formuła, Szablon:Formuła, gdzie A i B są opewnymi stałym i, a φ jest to wielkość skalarna, która jest parzysta względem inwersji przestrzennej. Prawdopodobieństwa dla kąta pomiędzy płaszczyznami polaryzacji przedstawiamy jako funkcję proporcjonalną do kwadratu sinusa z φ, czyli I(φ)~sinSzablon:Supφ. Czasami rozpatruje się reakcje, w których następuje wewnętrzna konwersja każdego fotonu, typu: Szablon:CentrujWzór Częstość takich polaryzacji jest w reakcji rozpadu pionu nienaładowanego πSzablon:Sup→2γ jest z oczywistych względów jest αSzablon:Sup≈10Szablon:Sup.

Spin i parzystość cząstek zapisujemy w sposób: JSzablon:Sup, i jeśli 0Szablon:Sup mówimy, że cząstki są cząstkami opisujących funkcjami psełdoskalarnymi, bo jest opisywana funkcją o właściwościach transfomacyjnych, które mają właściwości psełdoskalara. Natomiast cząstki o spinie i parzystości J=0Szablon:Sup jest cząstką skalarną, a JSzablon:Sup=1Szablon:Sup opisuje cząstki wektorowe, a JSzablon:Sup=1Szablon:Sup opisuje cząstki o funkcjach falowych psełdowektorowych.

Doświadczenia sprawdzające parzystość cząstek i ich antycząstek

Wewnętrzna parzystość fermionu jest kwestą umowy, a jego względna wartość jest ściśle określona. Produkcja fermion-antyfermion jest dobrze określona, zatem wewnętrzna parzystość fermion-antyfermion powinna być dobrze określona i być wielkością, którą można dobrze zmierzyć. Według kwantowej teorii Diraca fermion i antyfermion powinny mieć dobrze określone przeciwne parzystości, co zostało potwierdzone przez Wu i Shaknowa dla przypadku pozytonium eSzablon:SupeSzablon:Sup. Odległość pomiędzy tymi dwoma cząstkami powinna być dwukrotnie mniejsza niż w stanie elektronowym opisywanych według modelu Bohra, ze względu na czynnik 2 występujący w masie zredukowanej. Stan podstawowy naszego układu Szablon:SupSSzablon:Sub jest singletem spinowym, ten stan ulega rozpadowi na dwa fotony γ. Szablon:Rysunek Doświadczenie jakie przeprowadzili Wu i Shaknow w 1950 jest taki, że z S1 i S2, w którym znajduje się licznik antracenowy, są tam mierzone częstości koincydencji kwantów γ, które są rozpraszane w blokach glinu względem kąta azymutalnego φ. Z teorii przewidywana anizotropia jest funkcją kąta biegunowego rozpraszania i dochodzi do maksimum dla kąta φ=81Szablon:Sup. Pomiary dały wartości jako stosunek częstości dla kąta 90 stopni przez współczynnik częstości dla kąta zerowego i dały wyniki doświadczeń dały wartość 2,04±0,08. Co jest bliskie przewidywaniu teoretycznym, który wynosi 2,00, co dowodzi prostopadłe ustawienie polaryzacji kwantów γ, co stąd wynika, że fermiony i antyfermiony mają przeciwnie ustawienia parzystości.

Złamanie zasady zachowania parzystości w doświadczeniach

Szablon:Rysunek Oddziaływania silne i elektromagnetyczne zachowują parzystość, natomiast słabe już nie. Złamanie symetrii w oddziaływaniach słabych można pokazać na przykładzie neutrina,. który ma spin 1/2. Weźmy sobie neutrino, który ma skrętność lewoskrętną, jeżeli przy odbiciu aksjalnym wektor pędu neutrina zmienia się na przeciwny, a σ już nie, co otrzymujemy neutrino lewoskrętne, co w przyrodzie nie znajduje się. W doświadczeniach, w których bada się oddziaływania silne i elektromagnetyczne również obserwuje się efekty naruszenia parzystości, ale to występowanie w skali jest niezwykle małe. Hamiltonian układu dla danego przypadku piszemy jako: Szablon:CentrujWzór W oddziaływaniach jądrowych stosunek oddziaływań słabych do silnych jest 10Szablon:Sup, co można zilustrować na przykładzie Szablon:SupF*→Szablon:SupF+γ(110keV), co w stanie początkowym parzystość jest ujemna, a w stanie końcowym parzystość jest dodatnia, ale spin pozostaje ten sam, w którym następuje mieszanie stanów o różnej parzystości. Asymetria co do wektora polaryzacji jest w naszym przypadku Δ=-(18±9)⋅10Szablon:Sup. Innym przykładem złamania parzystości jest rozpad α stanu Szablon:SupOSzablon:Sup o energii 8,87 MeV (Szablon:SupOSzablon:Sup→Szablon:SupC+α). Spin w tym rozpadzie pozostaje zachowany, a parzystość już nie, ona zmienia się z wielkości ujemnej do dodatniej. Szerokość dla tego rozpadu jest ΓSzablon:Sub=(1,0±0,3)⋅10Szablon:SupeV, co jest zgodne z przewidywaniami, jeśli będziemy to porównywać z rozpadem elektromagnetycznym Szablon:SupOSzablon:Sup→Szablon:SupO+γ, jest rzędu 3⋅10Szablon:Sup eV.

Zasada zachowania w przypadku sprzężenia ładunkowego

Sprzężenie ładunkowe zmienia znak ładunku i momentu magnetycznego na przeciwny mając te same współrzędne (bez inwersji). W elektrodynamice Maxwella sprzężenie ładunkowe wiąże się zmienianiem ładunku (gęstości objętościowej ładunku), natężenia prądu (gęstości natężenia prądu). W relatywistycznej mechanice kwantowej zmiana ładunku wiąże się, ze zmianą cząstki w antycząstkę, tzn. np. ESzablon:Sup→eSzablon:Sup. Dla biarionów i leptonów zmiana ładunku na przeciwny wiąże się ze zmianą liczby leptonowej i barionowej. W oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych są niezmiennicze względem transformacji sprzężenia ładunkowego. Dla przypadku, gdy mamy zderzenia protonu i antyprotonu przekroje czynne na produkcję dodatnio i ujemnie naładowanych mezonów w reakcjach: Szablon:CentrujWzór zauważono mniej niż 1% naruszenia sprzężenia ładunkowego. Operatorem sprzężenia ładunkowego możemy działać tylko na obojętne bozony, jeśli dokonalibyśmy sprzężenia ładunkowego na funkcję falową dodatniego pionu to w takim razie otrzymalibyśmy by: C|πSzablon:Sup>→|πSzablon:Sup>≠±|πSzablon:Sup>, Stąd dochodzimy do wniosku, że stanu naładowanych pionów nie mogą być funkcjami własnymi sprzężenia ładunkowego, natomiast stan własny pionu obojętnego już tak, bo zachodzi: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Aby ustalić znak w ostatnim działaniu musimy stwierdzić, że ładunki zmieniają znak pod wpływem sprzężenia ładunkowego C, zatem foton ma własność sprzężenia ładunkowego równej C=-1. Podobnie jak parzystość, sprężenie ładunkowe jest wielkością multiplikatywną, zatem dla n fotonów parzystość ładunkowa jest: Szablon:CentrujWzór Pion ujemny rozpada się na dwa fotony, tzn. πSzablon:Sup→2γ, zatem w naszym przypadku dodatnie sprzężenie ładunkowe równe jest C=1, stąd rozpad na trzy fotony jest zabroniony, ze względu na sprtzężenie ładunkowe, doświadczalnie stosunek, na rozpady na trzy fotony i na dwa fotony jest mniejszy niż 3⋅10Szablon:Sup. Weźmy sobie rozpad mezonu η: Szablon:CentrujWzór to wtedy taki rozpad, w stosunku, gdy η rozpadnie się na cokolwiek jest mniejsze niż 4⋅10Szablon:Sup. Działanie sprzężenia ładunkowego przeprowadza neutrino lewoskrętne ν na prawoskrętne, które jest nieobserwowalne w przyrodzie, bo mamy wtedy do czynienia z oddziaływaniami słabymi. Jeśli jednak to ostanie neutrino podziałamy jeszcze sprzężeniem ładunkowym to otrzymamy neutrino prawoskrętne obserwowalne w przyrodzie, natomiast gdy podziałamy neutrino lewoskrętne jednocześnie operatorem parzystości i sprzężenia ładunkowego, to otrzymamy potem antyneutrino obserwowalne w przyrodzie, co na tej podstawie możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór

Niezmienniczość względem zachowania, a zachowalność ładunku elektrycznego

Przyjmuje się, że zasada zachowania ładunku jest ściśle zachowana, ale przyjmijmy taki proces, w którym nie jest spełniona, wtedy ograniczenie na stosunek Szablon:Formuła przez Szablon:Formuła jest mniejszy niż 9⋅10Szablon:Sup. Stąd wniosek, że zasada zachowania ładunku prawdopodobnie jest spełniona. Załóżmy proces, w którym jest stwarzany ładunek, potrzeba na to energii W, i wtedy energia potencjalna tego ładunku w tym potencjale jest równa Qφ. Jeśli przeniesiemy ten ładunek w inne miejsce, co za tym idzie zmiana energii potencjalnej o wartość Q(φ-φSzablon:Sup). Jeżeli ten ładunek unicestwiamy, trzeba oddać oddać pracę W, zatem z zasady zachowania energii mamy W-W+Q(φ-φSzablon:Sup), stąd na podstawie zasady zachowania energii ładunek nie może powstać z niczego dostarczając punktowi energię W. Liczba falowa opisująca falę o pędzie Szablon:Formuła i energii E wiedząc, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, jest równa: Szablon:CentrujWzór Uwzględniając czteropotencjał A funkcję Szablon:LinkWzór piszemy jako funkcję eksponencjalną zależną od pędu i czteropotencjału: Szablon:CentrujWzór Ale jeszcze na dodatek, jeśli dokonamy transformacji Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy funkcję falową Szablon:LinkWzór, która nie zależy od θ, piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie pochodną kowariantną, która zależy od czteropoptencjału wiedząc, że zachodzi A=(A,icρ), wtedy możemy zdefiniować pochodną kowariantną zależną od czteropotencjału, w sposób: Szablon:CentrujWzór

Kwantowa liczba izospinowa, a symetria izospinowa

W roku 1932 Heisenberg zauważył, że neutron i proton, to jest w zasadzie jedna cząstka, różniące się stanem. Istnieją dwa różne stany tej samej cząstki dla omawianego nukleonu, dla protonu izospin wynosi 1/2, a dla neutronu -1/2. Ładunek nukleonu jest pisany poprzez: Szablon:CentrujWzór Izospin jest liczbą kwantową, która jest wielkością zachowalną. Oddziaływania silne zależą od spinu cząstki, a od izospinu już nie. Izospin I można sobie wyobrazić jako wektor w przestrzeni trójwymiarowej o składowych ISzablon:Sub, ISzablon:Sub, ISzablon:Sub. Oddziaływania elektromagnetyczne nie jest zachowany izospin I. Przestawmy sobie przykład: Szablon:CentrujWzór w którym izospin wynosi ISzablon:Sub=+1, ale już dla Szablon:CentrujWzór w którym izospin jest napisany liczbą ISzablon:Sub=-1, dla dla pionu obojętnego: Szablon:CentrujWzór w którym izospin wynosi ISzablon:Sub=0. Masa pionu dodatnio naładowanego wynosi 140 MeV, a według symetrii względem sprzężenia ładunkowego C mamy taką samą masę dla pionu ujemnie naładowanego. Dla pionu obojętnego masa jego jest równa 135 MeV. Trzem stanom pionów (naładowanego,obojętnego) można przyporządkować tryplet I=1, co odpowiadają im zetowe współrzędne izospinów ISzablon:Sub=+1,0,-1.

Układ dwóch nukleonów oraz układ pion i nukleon, a zasada zachowania izospinu

Stany izospinowe opisujemy tym samym sposobem, co w przypadku funkcji falowych zależnych od współrzędnych przestrzennych, w n naszym przypadku funkcja falowa izospinu jest zapisywana: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Stany Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to stanu trypletu I=1, a Szablon:LinkWzór jest to stan singletu I=0 asymetrycznym ze względu na zamianę miejsc 1↔2. Całkowitą funkcję falową układu cząstek piszemy jako funkcję falową przestrzenną, spinową i izospinową, który zapisujemy mając na celu, że orbitalny i spinowy moment pędu możemy skwantować niezależnie, ale w sposób nierelatywistyczny. Szablon:CentrujWzór Funkcja falowa φ(przestrzen) odpowiedzialna za symetrie ma symetrię (-1)Szablon:Sup. W deuteronie funkcja φ znajduje się w stanie l=0 z niewielką domieszką l=2, stąd wynika, że φ(przestrzen) jest funkcją asymetryczną, stąd aby zapewnić asymetrię funkcji ψ to funkcja izospinowa musi być asymetryczna. Możemy rozpatrywać reakcje p+p→d+πSzablon:Sup i p+n→d+πSzablon:Sup. W tej pierwszej reakcji izospin w stanie początkowym wynosi I=1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a naładowany pion powinien mieć izospin równy I=1, czyli izospin jest zachowany. Rozpatrzmy tą drugą reakcję, wtedy izospin w stanie początkowym jest I=0 lub 1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a obojętny pion ma izospin równy zero. w tej reakcji stan I=0 występuje z 50%, a stan I=1 też z 50% nastawieniem. Zatem iloraz przekroju czynnego drugiej reakcji przez przez przekrój czynny pierwszej reakcji jest równy połowie jedynki. Zasada zachowania izospinu z oczywistych względów dla cząstek rozróżnialnych w oddziaływaniach silnych. Rozpatrzmy reakcje πSzablon:Sup+p→πSzablon:Sup+p oraz πSzablon:Sup+n→πSzablon:Sup+n. Mają trzecią składową izospinu ISzablon:Sub równą ±3/2, który jest opisywany z amplitudą I=3/2. Rozpatrzmy dodatkowo procesy, które przepiszemy πSzablon:Sup+p→πSzablon:Sup+p, πSzablon:Sup+p→πSzablon:Sup+n, πSzablon:Sup+n→πSzablon:Sup+n, πSzablon:Sup+n→πSzablon:Sup+p mają izospin ISzablon:Sub=±1/2, i je można opisywać za pomocą amplitud I=1/2 lub I=3/2. Wagi z jakimi występują te dwa typy amplitud jest dany przez współczynniki Clebscha-Gordona: Szablon:Tabelka Dalej rozważmy sytuację rozpraszania elastycznego (i) πSzablon:Sup+p→πSzablon:Sup+p, (ii) πSzablon:Sup+p→πSzablon:Sup+p i reakcję wymiany ładunkowej (iii) πSzablon:Sup+p→πSzablon:Sup+n, wiemy, że przekrój czynny jest równy kwadratowi modułu elemntu macierzowego reprezentującego stan początkowy (oznaczenie i) i stan końcowy (oznaczenie f), gdzie H jest operatorem izospinowym równym HSzablon:Sub, co on reprezentuje stan poczatkowy i końcowy z izospinem I=1/2, a HSzablon:Sub, gdy reprezentuje stan I=3/2. Na podstawie zasady zachowania izospinu wnioskujemy, że nie istnieje operator przechodzący stan początkowy ze stanem końcowym o innym izospinie. Połóżmy: Szablon:ElastycznyWiersz W pierwszym stanie (i) stan występuje ze spinem I=3/2 i ISzablon:Sub=+3/2, czyli σSzablon:Sub=K|MSzablon:Sub|Szablon:Sup, którym w tym naszym przypadku K jest pewną stałą. W przypadku (ii) mamy: Szablon:CentrujWzór wtedy Szablon:Formuła. Dla stanu (iii) możemy napisać funkcje falowe reprezentujące stan początkowy i końcowy: Szablon:ElastycznyWiersz wtedy przekrój czynny na zajście (iii) jest Szablon:Formuła.

Zasada zachowania izospinu, dziwności i hiperładunku

Mając Q jako ładunek cząstki Q, wtedy go możemy przedstawić w zależności od izospinu, liczby barionowej i dziwności, wiedząc, że Y=B+S jest hiperładunkiem, w sposób: Szablon:CentrujWzór Przedstawimy teraz tablekę przedstawiającą, czy są spełnione zasady zachowania poszczególnych wielkości w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych: Szablon:Tabelka Szablon:SkomplikowanaStronaKoniec