Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Teoria oddziaływań i pól kwantowych

W teorii oddziaływania przyjmuje się, że oddziaływania są wynikiem wymiany między sobą bozonów, to musi odbywać się w czasie krótszym niż Δt określonym przez równanie Szablon:Formuła, takie cząstki nazywamy wirtualnymi. Kwantowa teoria oddziaływania w oddziaływaniu elektromagnetycznym, to ciągła wymiana fotonów pomiędzy cząstkami naładowanymi. Pola, ani kwanty nie są obserwowalne bezpośrednio.

Teoria pól kwantowych Yukawy

Poszukując krótkozasięgowe oddziaływanie pomiędzy protonami, a neutronami w jądrach, można opisywać bezpośrednio za pomocą równania kwantowego Kleina-Gordona: Szablon:CentrujWzór Gdy będziemy rozpatrywać będziemy pola bez udziału czasu, i zakładając, że funkcja jest zależna tylko od od "r": Szablon:CentrujWzór Pamiętając, że zachodzi Szablon:LinkWzór, a także Szablon:LinkWzór, to wtedy na podstawie tego zależność potencjału od "r" i od stałej gSzablon:Sub, jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia Szablon:LinkWzór względem "r" w zależności od parametru gSzablon:Sub, mSzablon:Sub i $\hslash$ i stałej R zależnej od stałej kreślonej Planka, masy spoczynkowej bozonu i prędkości światła: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest policzenie pochodnej względem "r" podzielonej przez rSzablon:Sup iloczynu kwadratu "r" i pochodnej cząstkowej wielkości U(r) względem "r": Szablon:CentrujWzór wtedy równanie Szablon:LinkWzór dla przypadku stacjonarnego po działaniu operatorem Δ funkcję U(r), czyli Szablon:LinkWzór, stąd rozwiązaniem Szablon:LinkWzór jest Szablon:LinkWzór.

Transformata pędu cząstki

Napiszmy ile wynosi transformata Fouriera cząstki potencjału Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, którą napiszemy po całkowitej przestrzeni względem przekazu pędu Szablon:Strong. Ją piszemy jako w układzie współrzędnych kulistych, zakładając przy okazji, że pęd Szablon:Strong jest równoległy z osią zetową: Szablon:CentrujWzór Powyższa dyskusja dotyczy rozpraszania cząstki o stałej sprzężenia g opisanej równaniem Szablon:LinkWzór dla potencjału U(r) zależnej tylko od promienia położenia cząstki na danym potencjale i niezależnej od współrzędnych cząstkowych. U(r) jest to pole statyczne. Propagacja bozonu opisuje rozpraszanie elastyczne na danym potencjale. Proces wymiany dwóch bozonów dla przypadków opisujących cząstkę rozpraszającą a cząstką rozpraszaną propagator bozonu jest iloczynem stałych sprzężenia g i gSzablon:Sub przez sumę kwadratów mSzablon:Subc i q.

Opis podstawowych oddziaływań w przyrodzie

Oddziaływania elektromagnetyczne

Stała sprzężenia, która charakteryzuje cząstki ze sobą oddziaływających piszemy w zależności od ładunku elektronu, stałej prędkości światła, stałej Planka i nazwiemy ją stała struktury subtelnej: Szablon:CentrujWzór Ona określa rozszczepienie widm atomowych oddziaływań spin-orbita. Pola elektromagnetyczne mogą być transformowane jak wektory i dlatego foton. który jest przekaźnikiem oddziaływania jest cząstką wektorową. Jeśli będziemy definiować moment magnetyczny jako: Szablon:CentrujWzór gdzie s=1/2, w teorii Diraca (mechanice kwantowej) otrzymujemy g=2. Weźmy ile jest równa wielkość g w elektrodynamice kwantowej jako wielkość odchylenia od liczby g. Szablon:CentrujWzór Bardzo ważną teorią jest elektrodynamika kwantowa QED. Ta owa teoria opisuje właściwości zwane renormalizowalnością i niezmienniczością względem cechowania. Szablon:Rysunek Rysunek obok przedstawia pojedynczy elektron, który oddziaływuje sam ze sobą poprzez fotony wirtualne lub ona przedstawia wirtualną parę cząstek elektron-pozyton. Linie elektronowe dla diagramach Feymanna reprezentuje sam "goły" elektron ubrany w procesy, które stanowią procesy wirtualne poprzez wymianę fotonów wirtualnych. Ograniczenia na pęd "k" nie ma. W teorii QED występują rozbieżne całki, które można zastąpić predyfiniując ładunek i masę, który zawsze występuje w obliczeniach z czynnikiem multiplikatywnym, która posiada całkę rozbieżną. Zatem te dwa ładunki można zastąpić przez wielkości mierzone doświadczalnie, tzn. e i m. Taki stan postępowania nazywamy renormalizacją. Okazuje się, że QED stała sprzężenia wcale nie jest stałą, tylko zależy w skali logarytmicznie od energii w dokonywanym procesie. Bardzo ważnym elementem jest niezmienniczość względem cechowania, co jest ważne do teorii renormalizowalności. Dla rzędu skali energii ZSzablon:Sup współczynnik sprzężenia wynosi 1/128, a nie 1/127.

Oddziaływanie silne

Rozpatrzmy cząstkę ΣSzablon:Sup(uds), która rozpadać się może na cząstki Λ i γ, a silne rozpady tej cząstki są zabronione, ze względu na zasadę zachowania izospinu, a Λ jest stanem singletowym i ma spin 1/2, natomiast na rozkład Λ i πSzablon:Sup zachodzi z oddziaływaniem silnym, dalej cząstka ΣSzablon:Sup są barionami o spinie 1/2 i jej rozkład może zachodzić z użyciem oddziaływania silnego. Szablon:Tabelka

Szablon:Rysunek Oddziaływanie silnie spotykamy w oddziaływaniach pomiędzy neutronami i protonami, a także pomiędzy kwarkami. Stosunek stałej sprzężenia oddziaływania silnego przez stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego jak udowodnimy jest równy w przybliżeniu sto, czyli: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ stała sprzężenia w oddziaływaniu elektromagnetycznym jest równa Szablon:LinkWzór, zatem stała sprzężenia oddziaływania silnego jest równa w przybliżeniu jeden (αSzablon:Sub≈1). Oddziaływania pomiędzy kwarkami w oddziaływaniu silnym zachodzi poprzez wymianę gluonu, który jest obojętny elektrycznie, jest ona cząstką wektorową o parzystości JSzablon:Sup=1Szablon:Sup. W teorii oddziaływania między kwarkami istnieje 6 typów silnych ładunków kolorowych, przy czym każdy kwark niesie jeden ładunek kolorowy, czyli czerwony, zielony i niebieski, a antykwark odpowiednio antykolory. Sam gluon jest również obdarzony ładunkiem kolorowym, i dlatego one mogą bezpośrednio oddziaływać. W teorii QED istnieją sprzężenia pomiędzy bozonami przenoszących oddziaływanie, co jest charakterystyczne dla teorii nieabelowych, a elektrodynamika kwantowa jest teorią abelową. Gluony przenoszą jednocześnie ładunek kolorowy i antykolorowy, a tych kombinacji jest 3Szablon:Sup=9. Istnieje osiem stanów gluonowych, tzn. Szablon:Formuła.

Oddziaływanie silne (człon przyciągający i odpychający)

Oszacowaliśmy że αSzablon:Sub, które odpowiadają wymianie jednego gluonu, a za wymiany wielogluonowe odpowiedzialne są kolejne człony potęgi stałych sprzężenia oddziaływania silnego. Potencjał pola silnego zależny od "r", a także od "k" i od stałej sprzężenia αSzablon:Sub piszemy: Szablon:CentrujWzór Pierwszy człon jest dominujący przy małych odległościach, a w przypadku drugim dla dużych odległości. Czynnik 4/3 w Szablon:LinkWzór jest uzasadniany tym, że mamy osiem stanów kolorowych, które uśredniamy po trzech stanach gluonowych. Drugi wyraz w Szablon:LinkWzór odpowiada z uwięzieniem kwarków w cząstkach elementarnych. Próby oderwania kwarku z cząstki elementarnej powoduje produkowanie nowych mezonów, za co jest odpowiedzialny drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne. Podczas anihilacji elektronu i pozytonu, co wyniku której powstaje hadron, antyhadron, który jest fragmentacją kwarków.

Oddziaływanie słabe i elektrosłabe

Można zauważyć porównując rozpad zmieniający dziwność Szablon:Formuła, a także rozpad elektromagnetyczny Szablon:Formuła zauważamy, że stała oddziaływań słabych jest mniejsza stałej oddziaływań elektromagnetycznych α o czynnik Szablon:Formuła. Pomiędzy kwarkami i leptonami te oddziaływania zachodzą, z której z każdej tych oddziaływań przepisujemy ładunek "g". Oddziaływania słabe są całkowite przesłonięte przez znacznie silne oddziaływanie elektromagnetyczne i silne, chyba że zostaje wykluczone z których z tych oddziaływań przez jakąś zasadę zachowania. Obserwowane słabe oddziaływanie wiąże się z neutrinami lub z procesami zmiany zapachu kwarku, czyli ΔS=1, ΔC=1, co jest nie możliwe w oddziaływaniu silnym. Szablon:Rysunek Przykładami oddziaływań z namiastką oddziaływania stałego są Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Oddziaływania słabe są związane z wymianą naładowanych i obojętnych bozonów zwanych bozonami wektorowymi WSzablon:Sup,ZSzablon:Sup, których masy są MSzablon:Sub=80GeV i MSzablon:Sub=91GeV, stąd mamy oddziaływania słabe mają krótko zasięgowy zakres. W oddziaływaniu słabym wymiana WSzablon:Sup jest związana ze zmianą ładunku leptonu lub kwarka, ale już z ZSzablon:Sup już nie. Propagator bozonu dla oddziaływania słabego określmy przez: Szablon:CentrujWzór Dla q<<MSzablon:Subc propagator oddziaływania słabego piszemy przy takim założeniu poprzez: Szablon:CentrujWzór

Oddziaływania grawitacyjne

Oddziaływania grawitacyjne nie grają żadnej roli w fizyce cząstek elementarnych. Jeżeli za jednostkę masy będziemy przyjmować mcSzablon:Sup=1 GeV, to stała sprzężenia piszemy poprzez stałą grawitacji GSzablon:Sub, stałą Planka kreśloną i prędkość światła, a także w zależności od masy źródła pola grawitacyjnego M, co w takowej sytuacji: Szablon:CentrujWzór co porównując z stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór. Dla mas zbliżonych do masy Planka Szablon:Formuła. Dwie punktowe masy o masach Plancka oddalone od siebie o długość Plancka będą miały energię Szablon:Formuła równą energii spoczynkowej ciała o masie spoczynkowej MSzablon:Sub.

Parametry oddziaływań w przyrodzie (McSzablon:Sup=1 GeV)

W naszej tabeli przedstawimy wszystkie oddziaływania w przyrodzie grawitacyjne, elektromagnetyczne, słabe, silne. A także przedstawimy bozony pośredniczące w tych oddziaływaniach, spin i parzystość, zasięg, stałe sprzężenia, przekrój czynny, czas życia. Szablon:Tabelka

Przekroje czynne na zachodzące reakcje

Rozważmy reakcję, w której współuczestniczą dwa substraty a i b, wyniku której powstają dwa produkty c i d: Szablon:CentrujWzór Miarą intensywności z jaką zachodzi dana reakcja jest przekrój czynny zachodzącej reakcji Szablon:LinkWzór. Wiązka cząstek pocisku uderza w cząstki, które stanowią tarcze, czyli b, którego grubość jest dx, i koncentracja tych cząstek jest nSzablon:Sub. Strumień, która przechodzi przez tarczę definiujemy jako iloczyn koncentracji cząstek a i prędkości vSzablon:Sub, na jednostkę czasu: Szablon:CentrujWzór Jeżeli przekrój czynny na zachodzenie reakcji jest σ, to prawdopodobieństwo zachodzenia reakcji jest σnSzablon:Subdx. A ilość reakcji zachodzącej w przekroju dx jest: φσnSzablon:Subdx. Prawdopodobieństwo, że reakcja będzie zachodziła jest W=φσ. Jednostką przekroju czynnego jest 1b=10Szablon:SupmSzablon:Sup. Prawdopodobieństwo zajścia reakcji W wiedząc, że MSzablon:Sub jest to element macierzowy zachodzenia reakcji pomiędzy stanem początkowym, a końcowym stanem reakcji, co można otrzymać z rachunku zaburzeń (jest to całka Szablon:Formuła mając funkcje falowe w stanie początkowym i końcowym zachodzenia reakcji z potencjałem zachodzenia reakcji), piszemy przez: Szablon:CentrujWzór Jeżeli ρSzablon:Sub przedstawia ilość stanów końcowych, co można zapisać ją jako pochodną dN/dE, tą wielkość zapiszmy w zależności od pędu i objętości danego układu badanego, w której zachodzi reakcja: Szablon:CentrujWzór Będziemy przyjmować, że przekrój czynny liczony jest dla objętości V=1 i jednostkowej koncentracji cząstek nSzablon:Sub, wtedy pochodna przekroju czynnego czynnego względem kąta bryłowego w układzie środka masy jest: Szablon:CentrujWzór Z definicji energii całkowitej dwóch produktów reakcji Szablon:LinkWzór mamy $\sqrt{(p_{f}c{)}^2+(m_c{c}^2{)}^2}+\sqrt{(p_{f}c{)}^2+(m_d{c}^2{)}^2}=E_0$, wtedy piszemy pochodną wielkości ESzablon:Sub względem wielkości pSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Przekrój czynny różniczkowy zachodzącej reakcji Szablon:LinkWzór piszemy na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór w sposób: Szablon:CentrujWzór Jeżeli cząstki w stanie początkowym mają spiny sSzablon:Sub i sSzablon:Sub, a w stanie końcowym spiny sSzablon:Sub i sSzablon:Sub, wtedy liczba stanów dostępnych w stanie początkowym i końcowym jest: Szablon:ElastycznyWiersz

Rezonanse podczas zderzenia cząstek i ich rozpady

Średni czas zycia danej cząstki niestabilnej określamy jako odwrotność wielkości W Szablon:LinkWzór. Gdy mamy doczynienia z rozpadami silnymi to τ jest niemierzalnie krótkie, i pod tym względem posługujemy się wielkością Γ, która jest szerokością (rozmyciem energii stanu podstawowego): Szablon:CentrujWzór Rozmycie stanu podstawowego definiujemy jako pochodna liczby cząstek A względem czasu przez liczbę cząstek NSzablon:Sub pomnożonej ze znakiem ujemnej przez stałą kreśloną Plancka, z którego obliczymy liczbę cząstek A w zależności od czasu: Szablon:CentrujWzór Jeżeli mamy kilka kanałów rozpadów, to szerokość energii rozmycia energii stanu podstawowego jest sumą rozmycia poszczególnych energii stanu podstawowych poszczególnych kanałów reakcji. Γ=ΣSzablon:SubΓSzablon:Sub. Stanu o dużej szerokości są to stany zwane rezonansami. Równość Szablon:LinkWzór określa kształt rezonansu. Funkcja falowa stanu niestabilnego, którego częstotliwość kołowa jest Szablon:Formuła, gdzie ESzablon:Sub jest to energia rezonansu o czasie życia Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz transfcrmatę funkcji Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór Prawdopodobieństwo rezonansu utworzenia stanu z cząstek a i b jest wprost proporcjonalne do χSzablon:Sup(E)χ(E), zatem na tej podstawie Szablon:LinkWzór określamy wzorami: Szablon:CentrujWzór Jak można zauważyć, przekrój czynny maleje do połowy swej wartości w przypadku wzoru Szablon:LinkWzór, gdy zachodzi E-ESzablon:Sub=±Γ/2. Fala płaska jest sumą poszczególnych fal o różnych orbitalnych liczbach kwantowych Szablon:Formuła, a b jest parametrem zderzenia, a "p" jest to pęd cząstki. Cząstki o liczbach kwantowych l do l+1 jest o kształcie pierścienia (przy założeniu, że Szablon:Formuła jest to kreślona długość fali równej Szablon:Formuła, który piszemy: Szablon:CentrujWzór Amplituda na rozpraszanie elastyczne maksymalne jest dwukrotne większe niż Szablon:LinkWzór, zatem na podstawie wcześniejszych rozważań i Szablon:LinkWzór uwzględniając krotność wynikająca ze stanów spinowych ,mamy: Szablon:CentrujWzór

Rezonanse ΔSzablon:Sup w układzie zderzeniowym πSzablon:Sup (pion) i p (proton)

Utworzenie cząstki ΔSzablon:Sup w wyniku zderzenia pionu i protonu, która po pewnej chwili rozpada się na takie same cząstki z jakich został utworzony, ono zachodzi według: Szablon:CentrujWzór Cząstka ΔSzablon:Sup ma spin J=3/2, szerokość Γ=120 MeV, a także spiny sSzablon:Sub=sSzablon:Sub=1/2 i sSzablon:Sub=sSzablon:Sub=0. Przekrój czynny na utworzenie tego stanu dla przypadku rozpraszania elastycznego jest Szablon:Formuła dla tego J, wiedząc Szablon:LinkWzór, mając pod uwagę przekrój czynny dla stanu rozproszeniowego.

Rezonans na utworzenie stanu ZSzablon:Sup

Jest to bozon pośredniczący w oddziaływaniu słabym, jego wartość centralna masy jest 91 GeV, a jego szerokość rezonansu jest Γ=2,5 GeV. Bozon ZSzablon:Sup może się rozpaść na hadrony tworząc parę Szablon:Formuła, a także mogą być to naładowane leptony: Szablon:ElastycznyWiersz a także również na parę leptonów obojętnych: Szablon:ElastycznyWiersz