Topologia ogólna/Aksjomaty oddzielania

Aksjomaty oddzielania

W rozdziale tym omówimy pewne warunki, zwane aksjomatami oddzielania, jakie można nakładać na badane przestrzenie topologiczne. Dotyczą one możliwości "oddzielania od siebie" w pewien sposób niektórych podzbiorów przestrzeni. Przedstawimy aksjomaty $T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3,5},T_4,T_5,T_6$ wraz z przykładami i podstawowymi własnościami przestrzeni je spełniających.

Przestrzenie T₀

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna $X$ spełnia aksjomat $T_0$ (lub: $X$ jest przestrzenią Kołmogorowa), o ile dla każdych $x,y\in X$ takich, że $x=y$, istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,y\in ̸U$ lub $y\in U,x\in ̸U$.

Zamiast pisać "$X$ spełnia aksjomat $T_i$" będziemy również pisali: "$X$ jest przestrzenią $T_i$" lub krócej "$X$ jest $T_i$".

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_0$ jest własnością topologiczną.
2. Przestrzeń $X$ jest $T_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów $x,y\in X$ takich, że $x=y$, zachodzi $\mathrm{Cl}\{x\}=\mathrm{Cl}\{y\}$.

   Dowód:

   [$\to$] Weźmy $x,y\in X$ takie, że $x=y$. Z założenia istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,y\in ̸U$ lub $y\in U,x\in ̸U$. Przypomnijmy, że dla dowolnych $a\in X$, $A\subseteq X$ warunek $a\in \mathrm{Cl}A$ jest równoważny warunkowi ${\mathrm{\forall }}_{U\in {𝒪}_X}(a\in U\Rightarrow U\cap A=\mathrm{\varnothing })$. W pierwszym przypadku mamy zatem $y\in ̸\mathrm{Cl}\{x\}$, zaś w drugim $x\in ̸\mathrm{Cl}\{y\}$. Ponieważ $x\in \mathrm{Cl}\{x\},y\in \mathrm{Cl}\{y\}$, otrzymujemy tezę.

   [$\leftarrow$] Jeśli $\mathrm{Cl}\{x\}=\mathrm{Cl}\{y\}$, to istnieje punkt $z\in X$ taki, że $z\in \mathrm{Cl}\{x\},z\in ̸\mathrm{Cl}\{y\}$ lub $z\in \mathrm{Cl}\{y\},z\in ̸\mathrm{Cl}\{x\}$. Z przypomnianej w dowodzie implikacji w drugą stronę charakteryzacji domknięcia wynika, że istnieje otwarte otoczenie $U\subseteq X$ punktu $z$ takie, że $U\cap \{x\}=\mathrm{\varnothing }=U\cap \{y\}$ lub $U\cap \{y\}=\mathrm{\varnothing }=U\cap \{x\}$, co kończy dowód twierdzenia. $◻$

3. Podprzestrzeń przestrzeni $T_0$ jest przestrzenią $T_0$.

   Dowód:

   Niech $X$ będzie $T_0$ i $A\subseteq X$. Przypuśćmy, że $x,y\in A$ są takie, że $x=y$. Wówczas, ponieważ $X$ jest $T_0$ istnieje $U\subseteq X$ otwarty i taki, że należy do niego dokładnie jeden spośród punktów $x,y$. Wówczas $A\cap U$ jest otwarty w $A$ i również należy do niego dokładnie jeden spośród punktów $x,y$. $◻$

4. Produkt rodziny $\{X_i{\}}_{i\in I}$ niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i\in I$ przestrzeń $X_i$ jest $T_0$.

   Dowód:

   [$\leftarrow$] Przypuśćmy, że $(x_i{)}_{i\in I},(y_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{X}_i$ oraz $(x_i{)}_{i\in I}=(y_i{)}_{i\in I}$. Istnieje zatem $i_0\in X_i$ takie, że $x_{i_0}=y_{i_0}$. Ponieważ $X_{i_0}$ jest przestrzenią $T_0$ istnieje otwarte $U\subseteq X_{i_0}$ takie, że do $U$ należy dokładnie jeden z punktów $x_{i_0},y_{i_0}$. Stąd $\prod _{i\in I}{Y}_i$, gdzie $Y_i=\{\begin{array}{cc}{X}_i& \text{dla }i=i_0\\ U& \text{dla }i=i_0\end{array}$, jest otwartym otoczeniem dokładnie jednego z punktów $(x_i{)}_{i\in I},(y_i{)}_{i\in I}$.

   [$\to$] Ustalmy $i_0\in I$ oraz dla każdego $i\in I,i=i_0$ wybierzmy element $x_i\in X_i$. Wówczas przestrzeń $\prod _{i\in I}{Y}_i$, gdzie $Y_i=\{\begin{array}{cc}\{x_i\}& \text{dla }i=i_0\\ X_{i_0}& \text{dla }i=i_0\end{array}$ jest, co nietrudno sprawdzić, homeomorficzna z $X_{i_0}$. Ponadto przestrzeń ta jest $T_0$ jako podprzestrzeń $\prod _{i\in I}{X}_i$. Fakt, że własność $T_0$ jest topologiczna kończy dowód. $◻$

Przykłady

Przykłady przestrzeni, które są $T_0$ pojawią się w dalszej części tekstu. Tu podamy przykłady przestrzeni, które aksjomatu $T_0$ nie spełniają. Podobna zasada obowiązywać będzie również w dalszych sekcjach z przykładami w tym rozdziale.

Przestrzeniami $T_0$ nie są:

1. co najmniej dwuelementowa przestrzeń antydyskretna;
2. zbiór $\mathbb{Z}$ liczb całkowitych z topologią $\{\mathrm{\varnothing },\mathbb{Z}\}\cup \{\{z\in \mathbb{Z}:-n\le z\le n\}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$;
3. zbiór liczb rzeczywistych z topologią generowaną przez bazę $\{[n,n+1]{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$.

• Ćwiczenie: Sprawdzić, że wymienione wyżej przestrzenie faktycznie nie są $T_0$.

Przestrzenie T₁

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią $T_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary punktów $x,y\in X$ takich, że $x=y$, istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U,y\in ̸U$.

Przestrzenie $T_1$ bywają nazywane przestrzeniami Frécheta. Nazwa ta jest jednak zdecydowanie częściej używana w zupełnie innym znaczeniu, wobec czego bezpieczniej pozostać przy określeniu "przestrzeń $T_1$".

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_1$ jest własnością topologiczną.
2. Podprzestrzeń przestrzeni $T_1$ jest przestrzenią $T_1$.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_1$.
4. Każda przestrzeń $T_1$ jest przestrzenią $T_0$.
5. Przestrzeń $X$ jest $T_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{x\}=\mathrm{Cl}\{x\}$ dla każdego punktu $\{x\}\in X$.

   Dowód:

   [$\to$] Przypuśćmy, że $X$ jest przestrzenią $T_1$ i $x\in X$. Dla każdego punktu $y=x$ istnieje zbiór otwarty $U_y\subseteq X$ taki, że $y\in U_y,x\in ̸U_y$. Określmy $F_y=X\setminus U_y$. Zbiór $F_y$ jest domknięty oraz $\{x\}\subseteq F_y$. Mamy $\{x\}\subseteq \mathrm{Cl}\{x\}\subseteq \bigcap _{y=x}{F}_y=\{x\}$.

   [$\leftarrow$] Przypuśćmy, że w przestrzeni $X$ wszystkie zbiory jednoelementowe są domknięte oraz $x,y\in X$, $x=y$. Ponieważ zbiór $\{y\}$ jest domknięty, zbiór $X\setminus \{y\}$ jest otwartym otoczeniem $x$ nie zawierającym $y$. $◻$

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.
• Ćwiczenie: Wykazać, że przestrzeń topologiczna jest $T_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej skończony podzbiór jest domknięty. Jako wniosek wykazać, że każda skończona przestrzeń $T_1$ jest dyskretna.

Przykłady

Podamy teraz przykłady przestrzeni $T_0$ nie będących przestrzeniami $T_1$:

1. przestrzeń Sierpińskiego (patrz: rozdział 3., podrozdział "topologia Tichonowa", [[../Przekształcenia ciągłe#Przykłady_4|przykład 4.]]);
2. odcinek $[-1,1]$ z topologią generowaną przez podbazę $\{[-1,b):0<b<1\}\cup \{(a,1]:-1<a<0\}$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są $T_0$ i nie są $T_1$.

Przestrzenie T₂

Definicja

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy przestrzenią $T_2$ (lub przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów $x,y\in X$ takiej, że $x=y$, istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $x\in U,y\in V$.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_2$ jest własnością topologiczną.
2. Spełnianie aksjomatu $T_2$ jest własnością dziedziczną.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_2$.
4. Każda przestrzeń $T_2$ jest przestrzenią $T_1$.
5. Przestrzeń $X$ jest $T_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna $\mathrm{\Delta }(X)=\{(x,x)\in X\times X:x\in X\}$ jest domkniętym podzbiorem przestrzeni $X\times X$.

   Dowód:

   Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Zauważmy, że $\mathrm{\Delta }(X)$ jest domknięty w $X\times X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$ jest otwarty w $X\times X$.

   [$\to$] Załóżmy, że $X$ jest $T_2$. Niech $(x,y)\in X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$ będzie dowolne. Pokażemy, że istnieje otoczenie otwarte $(x,y)$ zawarte w $X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$ (stąd wynika już otwartość $X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$). Istotnie, istnieją otwarte, rozłączne podzbiory $U,V$ przestrzeni $X$ takie, że $x\in U,y\in V$. Stąd $U\times V$ jest otwartym podzbiorem $X\times X$ zawierającym punkt $(x,y)$, a ponieważ $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$, to $U\times V\cap \mathrm{\Delta }(X)=\mathrm{\varnothing }$.

   [$\leftarrow$] Załóżmy, że $\mathrm{\Delta }(X)$ jest zbiorem domkniętym i weźmy $x,y\in X$ takie, że $x=y$. Wówczas $(x,y)\in X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$. Ale $X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$ jest zbiorem otwartym. Wobec tego istnieje zbiór bazowy $U\times V$ (gdzie $U,V$ są otwartymi podzbiorami $X$) taki, że $(x,y)\in U\times V\subseteq X\times X\setminus \mathrm{\Delta }(X)$. Stąd zbiory $U,V$ są rozłącznymi, otwartymi otoczeniami odpowiednio $x$ i $y$. $◻$

6. Przestrzeń $X$ jest $T_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x\in X$ przekrój domknięć wszystkich zbiorów otwartych zawierających $x$ jest zbiorem jednoelementowym $\{x\}$.

   Dowód:

   Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Dla $x\in X$ przez $𝒰(x)$ oznaczmy rodzinę domknięć zbiorów otwartych zawierających $x$, tzn. $𝒰(x)=\{\mathrm{Cl}(U):U\in {𝒪}_X,x\in U\}$.

   [$\to$] Niech $X$ będzie $T_2$ i $x\in X$. Oczywiście $x\in \bigcap 𝒰(x)$. Z drugiej strony, dla każdego $y\in X\setminus \{x\}$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V$ takie, że $x\in U,y\in V$. Gdyby $y\in \mathrm{Cl}U$, to $V\cap U=\mathrm{\varnothing }$, zatem $y\in ̸\mathrm{Cl}U$ i w konsekwencji $y\in ̸\bigcap 𝒰(x)$.

   [$\leftarrow$] Rozważmy dowolne $x,y\in X$ takie, że $x=y$. Ponieważ $y\in ̸\{x\}=\bigcap 𝒰(x)$, to istnieje otoczenie otwarte $U$ punktu $x$ takie, że $y\in ̸\mathrm{Cl}U$. To z kolei oznacza, że istnieje otoczenie otwarte $V$ punktu $y$ takie, że $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$. $◻$

7. Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią $T_2$, to dla dowolnych funkcji ciągłych $f,g:X\to Y$ zbiór $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ jest domknięty w $X$.

   Dowód:

   Pokażemy, że dopełnienie zbioru $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ jest otwarte w $X$. Weźmy $y\in X$ takie, że $f(y)=g(y)$. Ponieważ $Y$ jest $T_2$, istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq Y$ takie, że $f(y)\in U,g(y)\in V$. Niech $A=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$. Oczywiście, $A$ jest otwartym otoczeniem $y$. Ponadto, $A\subseteq X\setminus \{x\in X:f(x)=g(x)\}$, gdyż $f(A)\cap g(A)\subseteq U\cap V=\mathrm{\varnothing }$. $◻$

8. Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią $T_2$, to dla dowolnej funkcji ciągłej $f:X\to Y$ jej wykres $\mathrm{\Gamma }(f)=\{(x,f(x))\in X\times Y:x\in X\}$ jest domknięty w $X\times Y$.

   Dowód:

   Niech odwzorowania ciągłe $f_1,f_2:X\times Y\to Y$ będą zadane wzorami: $f_1(x,y)=x$, $f_2(x,y)=f(y)$. Zauważmy, że $\mathrm{\Gamma }(f)=\{(x,y)\in X\times Y:f_1(x)=f_2(x)\}$, zatem z Własności 7. zbiór $\mathrm{\Gamma }(f)$ jest domknięty. $◻$

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przykłady

Niżej podane przestrzenie są $T_1$ i nie są $T_2$:

1. dowolny zbiór nieskończony z topologią dopełnień zbiorów skończonych (patrz: rozdział 1., podrozdział "Przestrzeń topologiczna", [[../Podstawowe pojęcia#Przykłady|przykład 4.]]);
2. zbiór mocy $\lambda$ z topologią dopełnień zbiorów mocy ostro mniejszej niż $\kappa$, gdzie $\kappa ,\lambda$ są liczbami kardynalnymi takimi, że $\kappa \le \lambda$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są $T_1$ i nie są $T_2$.

Przestrzenie T₃

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią $T_3$ (lub przestrzenią regularną) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią $T_1$ oraz dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ oraz punktu $x\in X\setminus F$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $F\subseteq U$, $x\in V$.

Część autorów rozróżnia pojęcia "przestrzeń regularna" i "przestrzeń $T_3$". Przestrzeniami regularnymi nazywa się czasem przestrzenie, w których można oddzielać zbiorami otwartymi punkty od zbiorów domkniętych, ale które nie muszą być $T_1$ (przykład takiej przestrzeni podamy poniżej), zaś przestrzeniami $T_3$ przestrzenie zdefiniowane powyżej. Zdarza się też sytuacja odwrotna.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_3$ jest własnością topologiczną.
2. Spełnianie aksjomatu $T_3$ jest własnością dziedziczną.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_3$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_3$.
4. Każda przestrzeń $T_3$ jest przestrzenią $T_2$.
5. Przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca warunek $T_1$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x\in X$ i jego otoczenia otwartego $U\subseteq X$ istnieje otoczenie otwarte $V\subseteq X$ punktu $x$ takie, że $\mathrm{Cl}(V)\subseteq U$.

   Dowód:

   [$\to$] Ustalmy $x\in X$ i otwarte otoczenie $U$ punktu $x$. Zbiór $F=X\setminus U$ jest domknięty oraz $x\in ̸F$, wobec czego istnieją rozłączne zbiory otwarte $A,B\subseteq X$ takie, że $x\in A$, $F\subseteq B$. Przyjmijmy $V=A$. Zauważmy, że $V\subseteq X\setminus B$, ale $X\setminus B$ jest domknięty, wobec czego $\mathrm{Cl}(V)\subseteq X\setminus B\subseteq X\setminus F=U$.

   [$\leftarrow$] Ustalmy zbiór domknięty $F\subseteq X$ oraz punkt $x\in X\setminus F$. Zbiór $X\setminus F$ jest otwartym otoczeniem $x$, wobec czego istnieje zbiór otwarty $V\subseteq X$ taki, że $x\in V\subseteq \mathrm{Cl}(V)\subseteq X\setminus F$. Wobec tego $U=X\setminus \mathrm{Cl}(V)$ jest otwarty, rozłączny z $V$ oraz $F\subseteq U$. $◻$

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przykłady

(dopisać)

Przestrzenie T_3,5

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią $T_{3,5}$ (lub przestrzenią całkowicie regularną, przestrzenią Tichonowa) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią $T_1$ oraz dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ oraz punktu $x\in X\setminus F$ istnieje funkcja ciągła $f:X\to 𝐈$ taka, że $f(x)=0$ i ${\mathrm{\forall }}_{y\in F}f(y)=1$.

Mówimy, że funkcja $f$ z powyższej definicji oddziela zbiór $F$ od punktu $x$.

Część autorów rozróżnia pojęcia "przestrzeń całkowicie regularna" i "przestrzeń $T_{3,5}$". Przestrzeniami całkowicie regularnymi nazywa się czasem przestrzenie, w których można oddzielać funkcjami punkty od zbiorów domkniętych, ale które nie muszą być $T_1$ (przykład takiej przestrzeni podamy poniżej), zaś przestrzeniami $T_3,5$ przestrzenie zdefiniowane powyżej. Zdarza się też sytuacja odwrotna.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu $T_{3,5}$ jest własnością topologiczną.
2. Spełnianie aksjomatu $T_{3,5}$ jest własnością dziedziczną.
3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią $T_{3,5}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest $T_{3,5}$.
4. Każda przestrzeń $T_{3,5}$ jest przestrzenią $T_3$.
5. (dopisać)

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przestrzenie T₄

• Definicja
• Przykłady
• Własności

Przestrzenie T₅

• Definicja
• Przykłady
• Własności

Przestrzenie T₆

• Definicja
• Przykłady
• Własności

Aksjomaty oddzielania a przestrzenie ilorazowe

>> Zadania Szablon:Nawigacja