Szczególna teoria względności/Własności czasoprzestrzeni

Tutaj zajmować się będziemy wnioskami wynikającymi z własności czasoprzestrzeni.

Dylatacja czasu

Zakładamy, że prędkość nowego układu współrzędnych jest stała i wynosi Szablon:Formuła, zatem zakładając, że czas początkowy, który liczymy w starym i nowym układzie współrzędnych tak by był równy zero, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór jest napisane: Szablon:CentrujWzór Połóżmy sobie w nowym układzie odniesienia, że mamy spoczywający sobie zegar, czyli w tym przypadku jest na pewno Szablon:Formuła, zatem w takiej sytuacji różnica pomiędzy dwoma zdarzeniami zwana czasem własnym wynosi: Δt=τSzablon:Sub, oraz czas w starym układzie współrzędnych jest dany przez wzór Δ t'=τ, a zatem na podstawie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór A zatem dylatacja czasu wedle dyskusji Szablon:LinkWzór, której to przepisujemy jego końcowy wynik poniżej, który wyraża się jako transformacja czasu τ, w układzie w którym obserwator porusza się z prędkością u względem układu spoczywającego τSzablon:Sub, w którym dany obserwator spoczywa. Szablon:CentrujWzór A więc czas się wydłuża w układzie K' względem ciała spoczywającego w układzie K. Gdy prędkość ciała jest równa prędkości światła, to przy skończonym czasie τ w nowym układzie współrzędnych poruszających się V=c, wtedy jego czas własny wynosi zero, zatem w tym przypadku w nim wcale nie ma upływu czasu.

Skrócenie długości

Zakładając, że prędkość układu jest stała. Ciało w układzie K spoczywa. Będziemy wykorzystywać wzór Szablon:LinkWzór. Niech mamy pręt, który jest pod pewnym kątem względem prędkości nowego układu współrzędnych względem nowego Szablon:Formuła, napiszmy wektor, który jest równoległy do tego pręta Szablon:Formuła o wartości, którego jest to długość tego pręta, wtedy po rozłożeniu tego wektora na składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych Szablon:Formuła względem starego, wtedy otrzymujemy wektor Szablon:Formuła, który ma długość Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Ponieważ długość Szablon:Formuła liczymy w tym samym czasie a wiec ona jest równa długości własnej lSzablon:Sub w układzie K, w którym ciało spoczywa, podobnie liczmy też ten wektor ale w nowym układzie współrzędnych. Liczona różnica Szablon:Formuła odpowiada różnicy czasów w K', tzn. Szablon:Formuła, wiedząc że w starym układzie odniesienia mamy Δ t=0, zatem według wzoru Szablon:LinkWzór różnica czasów pomiędzy dwoma końcami pręta poruszającego się w nowym układzie odniesienia: Szablon:CentrujWzór Długość l, który jest długością składowej wektora równoległego do Szablon:Formuła. Jego prawy koniec znajduje się w przeszłości o różnicę czasu Δ t, zatem do długości Szablon:LinkWzór musimy dodać do niego wielkość V'Δ t', tak aby prawy i lewy koniec naszego rozważanego pręta były liczone w tym samym czasach w obydwu jego końcach. Układ K jest dla niego układem własnym nieporuszających się, a K' jest układem poruszającym się z prędkością o wartości V'=V jak udowodniono w Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Możemy przepisać wynik z punktu Szablon:LinkWzór, wtedy długość danej składowej równoległej do Szablon:Formuła w układzie, w którym pręt porusza się z prędkością V jest równa Szablon:Formuła, a jest ona wyrażona w zależności od długości Szablon:Formuła w układzie w którym pręt spoczywa: Szablon:CentrujWzór Stąd wychodzi, że ciało spoczywające w układzie spoczynkowym K ma największą długość, w innych układach różnych niż K długość układu jest mniejsza, czyli zawsze zachodzi l<lSzablon:Sub.

Transformacja częstotliwości fali elektromagnetycznej dla względnej prędkości źródła i odbiornika

Będziemy tutaj rozpatrywać, gdy odbiornik spoczywa i źródło się porusza, a także gdy odbiornik jest w ruchu, a źródło spoczywa.

Odbiornik spoczywa, a źródło się porusza

Załóżmy, że mamy oś OX, w którym źródło fali elektromagnetycznej (układ K'), porusza się zgodnie z kierunkiem wzrostu osi OX. Odbiornik fali elektromagnetycznej znajduje się w punkcje xSzablon:Sub, czyli dla naszego przypadku, gdy fala zostanie wysłana odwrotnie do kierunku ruchu nadajnika z pewnym maksimum (zakładamy, że źródło oddala się od odbiornika i odbiornik znajduje się przed źródłem), to ona dojdzie w czasie tSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór Po czasie T'Szablon:Sub względem naszego układu , źródło fali elektromagnetycznej ponownie wysyła np. maksimum drań, zatem on dopłynie do odbiornika w czasie tSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór Przyrównując oba wzory na xSzablon:Sub, czyli w tym przypadku Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, i wiedząc, że mamy T=tSzablon:Sub-tSzablon:Sub, w takim przypadku można powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu Szablon:LinkWzór i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym nadajnika TSzablon:Sub (w układzie, w którym nadajnik spoczywa), i w starym układzie odniesienia (w układzie, w której nadajnik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T'Szablon:Sub, to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się: Szablon:CentrujWzór Idąc dalej podstawiając Szablon:LinkWzór do końcowego wynikowego wzoru Szablon:LinkWzór, bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia TSzablon:SupSzablon:Sub i względem nowego TSzablon:Sub, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik TSzablon:Sub i odbieranych przez odbiornik T: Szablon:CentrujWzór Wiedząc, że częstość fali jest wyrażona wzorem Szablon:Formuła, czyli jest odwrotnością okresu drań fali elektromagnetycznego w próżni, to wtedy transformacja częstości fali odbieranej w zależności częstości wysyłanej jest napisana: Szablon:CentrujWzór Możemy wyrazić długość fali λ przez częstość w sposób Szablon:Formuła, czyli jest to odwrotność częstości fali elektromagnetycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a długość fali transformuje się: Szablon:CentrujWzór Przy założeniach, że jeśli V>0, to wtedy źródło oddala się od odbiornika, oraz gdy V<0, to źródło przybliża się do odbiornika. Gdy prędkość źródła znajduje się pod kątem α względem linii odbiornik i źródło, co on znajduje się daleko od odbiornika, to wtedy on oddala się od niego z prędkością (tzn. składowa równoległa prędkości źródła do linii łączący odbiornik ze źródłem): Szablon:CentrujWzór a dalej do wzoru na okres drgań Szablon:LinkWzór stosujemy wzór Szablon:LinkWzór i później tożsamość na dylatacje czasu Szablon:LinkWzór, tzn. na wydłużenie czasu Szablon:Formuła na czas Szablon:Formuła, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali, wtedy: Szablon:ElastycznyWiersz

Odbiornik się porusza, a źródło spoczywa

Załóżmy, że odbiornik oddala się od źródła i zakładamy, że odbiornik znajduje się za źródłem, wtedy równanie na położenie odbiornika w chwili Szablon:Formuła przedstawia się wzorem na Szablon:Formuła, tzn. początkowe położenie źródła jest Szablon:Formuła, a po czasie Szablon:Formuła po jakim doszła do odbiornika fala elektromagnetyczna jest położeniem Szablon:Formuła, tzn. zachodzi: Szablon:CentrujWzór a równanie na położenie odbiornika w chwili Szablon:Formuła piszemy wzorem poniżej, przy czym zachodzi Szablon:Formuła dla spoczywającego źródła, który jest źródłem wysyłających fal elektromagnetycznych, co wtedy: Szablon:CentrujWzór Podstawiając wzór Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, co na tej podstawie otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu Szablon:LinkWzór i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym odbiornika T (w układzie, w którym odbiornik spoczywa) i w starym układzie odniesienia (w układzie, w którym odbiornik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T', to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się: Szablon:CentrujWzór Idąc dalej podstawiając Szablon:LinkWzór do końcowego wynikowego wzoru Szablon:LinkWzór, bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia TSzablon:Sup i względem nowego T, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik TSzablon:Sub i odbieranych przez odbiornik T: Szablon:CentrujWzór A dalsze wzory wynikające z Szablon:LinkWzór na długość i częstość fali dla naszego rozważanego przypadku są takie same jak w punktach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. A te wzory są spełnione dla przypadku Szablon:Formuła, gdy odbiornik oddala się od źródła, a Szablon:Formuła, gdy jest odwrotnie. Gdy odbiornik znajduje się daleko od źródła i on oddala się z prędkością od niej o wartości (tzn. składowa równoległa prędkości odbiornika do linii łączący odbiornik ze źródłem): Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór stosujemy do wzoru Szablon:LinkWzór na okres drgań i dalej tożsamość na dylatację czasu Szablon:LinkWzór wydłużenia czasu spoczynkowego Szablon:Formuła na czas Szablon:Formuła, wtedy otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali elektromagnetycznej: Szablon:ElastycznyWiersz