Szczególna teoria względności/Transformacje prędkości - równania końcowe

Transformacje prędkości przy pierwszym rozwiązaniu mSzablon:SupSzablon:Sub w szczególnej teorii względności

Transformacja prędkości względem nowego układu współrzędnych do prędkości względem starego układu współrzędnych wygląda tak jak poniżej, do której później podstawialiśmy wzór Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wykorzystując przy tym pierwsze rozwiązania na mSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, wtedy w ten sposób otrzymujemy transformację tej samej prędkości na tą samą w starym układzie współrzędnych: Szablon:CentrujWzór Mamy sobie wektor Szablon:Formuła, dalej rozłóżmy sobie go na wektor równoległy i prostopadły do prędkości nowego układu odniesienia Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Pozłóżmy prędkość względem nowego układu współrzędnych na część jego prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu odniesienia, wtedy możemy napisać: Szablon:ElastycznyWiersz Macierz Szablon:Formuła możemy rozłożyć na składową równoległą i prostopadłą: Szablon:CentrujWzór Ale zachodzi podstawie definicji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór oraz iloczynów macierzy Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór stąd: Szablon:CentrujWzór Macierze MSzablon:Sub, MSzablon:Sub mają takie własności, że spełniają warunki na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli do wzoru na całkowitą prędkość ciała względem starego układu współrzędnych Szablon:LinkWzór podstawić wyrażenie Szablon:LinkWzór, a na podstawie tego możemy napisać wyrażenie Szablon:LinkWzór opisujące prędkość prostopadłą i równoległą prędkości w starym układzie współrzędnych względem Szablon:Formuła w jednym równaniu: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy rozłożyć na dwa niezależne równania transformujące dla prędkości równoległej, czy to dla prostopadłej prędkości, względem prędkości nowego układu odniesienia w starym układzie odniesienia. Szablon:ElastycznyWiersz Równość Szablon:LinkWzór dzielimy obustronnie przez Szablon:Formuła, która jest w ogólności wielkością niezerową: Szablon:CentrujWzór A teraz mnożymy obie strony końcowego równania Szablon:LinkWzór przez kwadrat wartości prędkości nowego układu współrzędnych, czyli przez VSzablon:Sup i mając Szablon:LinkWzór (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości Szablon:Formuła), w końcu otrzymamy rozwiązanie wiedząc, że parametr Szablon:Formuła przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, ponieważ przy Szablon:Formuła poniższe twierdzenie jest prawdziwe: Szablon:CentrujWzór W końcu możemy wykorzystać równość Szablon:LinkWzór i otrzymamy własność na macierz Szablon:Formuła wiedząc że zachodzi Szablon:LinkWzór (wzór na Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości Szablon:Formuła), a więc tą równość przekształcamy do wzoru: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ zachodzi Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, stąd lemat Szablon:LinkWzór jest na pewno spełniony i nie jest sprzeczny. Mając już określone MSzablon:Sub i MSzablon:Sub, możemy transformować prędkość równoległą i prostopadłą względem prędkości nowego układu współrzędnych w starym układzie współrzędnym.

Korzystając ze wzoru transformacyjnego prędkości ciała z układu K na K', dla wielkości Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, możemy napisać wzory dla jego składowych równoległej i prostopadłej w nowym układzie współrzędnych względem prędkości nowego układu współrzędnych K': Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Przy Szablon:LinkWzór przy definicji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór obraliśmy ze znakiem plus i Szablon:Formuła dla Szablon:Formuła, bo jak udowodniliśmy wcześniej Szablon:Formuła nie może być, bo gdy było Szablon:Formuła nie było by spełnione transformacje Galileusza dla prędkości prostopadłej do prędkości nowego układu odniesienia Szablon:Formuła względem starego układu odniesienia Szablon:Formuła przy prędkości Szablon:Formuła bardzo małych w porównaniu z prędkością światła. Ostatecznie można powiedzieć, że transformacja prędkości Szablon:Formuła, Szablon:Formuła ze starego układu współrzędnych K do nowego K' jest napisana według transformacji Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które to zbierając to wszystko razem: Szablon:CentrujWzór Do tego samego wniosku możemy dojść dzieląc równość obustronnie Szablon:LinkWzór przez Szablon:LinkWzór licząc Szablon:Formuła. Gdy Szablon:Formuła jest małe w porównaniu z prędkością światła, to mamy: Szablon:Formuła, czyli przechodzimy do transformacji Galileusza Szablon:LinkWzór, czyli Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu K do K', czyli taką samą jak przy transformacji nierelatywistycznej w przestrzeni ogólnie nieprostokątnej.