Szczególna teoria względności/Teoria funkcji lagrangianu

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:SkomplikowanaStronaStart

Przedstawimy tutaj teorię Lagrangianu, wektora pędu uogólnionego i funkcji hamiltonianu (i ich gęstości) oraz równania ruchu. Tutaj przedstawimy lagrangian, wektor pędu i funkcję hamiltonianu (i ich gęstości), równania ruchu dla ciał punktowych (i rozciągłych).

Układy fizyczne punktowe

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał punktowych o stałych masach spoczynkowych oznaczone ogólnie Szablon:Formuła.

Lagrangian

Będziemy tutaj pisać o lagrangianie.

Szczególna teoria względności (lagrangian relatywistyczny)

Napiszemy tu lagrangianu szczególnej teorii względności w wersji wektorowej, a później tensorowej.

Wersja wektorowa

Napiszmy wzór na lagrangian Szablon:Formuła potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a w wersji wektorowej Szablon:LinkWzór, ale w wersji wektorowej dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego, gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym: Szablon:CentrujWzór

Wersja tensorowa

Napiszmy lagrangian, korzystając z wersji wektorowej, doprowadzając do wersji tensorowej tego elementu, który jest potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a tensorowej w postaci Szablon:LinkWzór, do lagrangianu kinematycznego pisanego, wychodząc od lagrangianu wektorowego kinematycznego mechaniki Newtona dla prędkości dążących do zera w postaci Szablon:LinkWzór, wtedy wykorzystując z definicji tensora prędkości teorii Newtona Szablon:LinkWzór, wtedy z dokładnością do stałego składnika, dla tego przypadku, wychodząc od całkowitego lagranganu mechanki Newtona, czyli Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie teorii transformacji (dla dowolnych prędkości) piszemy go: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że lagrangian w wersji tensorowej Szablon:LinkWzór ogólnie różni się od jego wersji wektorowej Szablon:LinkWzór, tylko dla prędkości dążącej do zera z dokładnością do stałego składnika są tożsame, a to wynika z tego, że drugą zasadę Lagrange'a wyprowadziliśmy z mechaniki Newtona, a nie szczególnej teorii względności, przy niezmienniczym lagrangianie przechodząc do dowolnych współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

Stosując Szablon:LinkWzór (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni Szablon:LinkWzór, co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej Szablon:LinkWzór mamy tożsmość przybliżoną Szablon:LinkWzór, wtedy mamy lagrangian w przybliżeniu nierelatywistycznym: Szablon:CentrujWzór Co na podstawie Szablon:LinkWzór z dokładnością do stałego składnika wychodzi: Szablon:CentrujWzór Otrzymaliśmy z lagrangianu relatywistycznego Szablon:LinkWzór lagrangian nierelatywistyczny Szablon:LinkWzór.

Lagrangian, a pęd uogólniony

Będziemy tutaj pisali o lagrangianie i pędzie uogólnionym z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na uogólniony pęd Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór (wersja wektorowa lagrangianu) oraz Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na uogólniony pęd Szablon:LinkWzór w mechanice Newtona wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór oraz Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się stosując Szablon:LinkWzór (transformacja masy relatywistycznej z masy spoczynkowej), stąd: Szablon:CentrujWzór

Hamiltonian, a energia całkowita (szczególna teoria względności) i mechaniczna (mechanika Newtona)

Bęziemy tutaj opisywali o hamiltonanie.

Szczególna teoria względności

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na pęd uogólniony Szablon:LinkWzór (wynikający z definicji lagrangianu w wersji wektorowej) i wzór na na lagrangian całkowity Szablon:LinkWzór, ale w wersji wektorowej, wtedy: Szablon:CentrujWzór Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu Szablon:Formuła jest równa energii całkowitej Szablon:Formuła punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na energię relatywistyczną w Szablon:LinkWzór dla prędkości wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, zatem: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próźni energia relatywistyczna Szablon:Formuła jest sumą energii spoczynkowej Szablon:Formuła i energii kinetycznej Szablon:Formuła.

Mechanika Newtona

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując Szablon:LinkWzór (transformacja masy z masy spoczynkowej, stosując wzór na pęd uogólniony Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu Szablon:Formuła jest równa energii mechanicznej Szablon:Formuła punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do energii spoczynkowej Szablon:Formuła w przybliżeniu do Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Układy fizyczne rozciągłe

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał rozciągłych o gęstościach spoczynkowych oznaczone ogólnie Szablon:Formuła zależącą od prędkości i położenia danej cząstki tych ciał w czasoprzestrzeni.

Gęstość lagrangianu

Będziemy tutaj pisać o gęstości lagrangianu.

Szczególna teoria względności (gęstość lagrangianu relatywistycznego)

Będziemy się tutaj zajmowali gęstością lagrangianu dla układów rozciągłych. Według tej teorii istnieją dwie wersje lagrangianu, tzn. wersji wektorowej i tensorowej.

Elektromagnetostatyka

Wyprowadzimy tutaj lagrangian szczególnej teorii względności w wersji wektorowej i tensorowej, jako:

Wersja wektorowa

Napiszmy wzór na lagrangian Szablon:Formuła dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym, wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy: Szablon:CentrujWzór według Szablon:LinkWzór, który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego Szablon:Formuła (współrzędna czasowa potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego Szablon:Formuła (współrzędna przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu zdefiniowany za pomocą gęstości ładunku pomnożonej przez prędkość światła w próżni jako współrzędna czasowa i gęstości prądu jako współrzędna przestrzenna, która jest równa iloczynowi Szablon:Formuła, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego prędkości, co to wszystko jest równe iloczynowi prędkości światła w próżni, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego tensora prędkości: Szablon:CentrujWzór czyli jest Szablon:LinkWzór (pierwsze przedstawienie Szablon:LinkWzór) i Szablon:LinkWzór (ostatnie przedstawienie Szablon:LinkWzór), wtedy stosując wzór na skrócenie długości Szablon:LinkWzór, co: Szablon:CentrujWzór

Wersja tensorowa

Wykorzystajmy tutaj lagrangian dla układów punktowych szczególnej teorii względności dla układów punktowych Szablon:LinkWzór i napiszmy jego gęstość dla układów rozciągłych w postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wzór na gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór dla wersji tensorowej różni się od jego wersji wektorowej Szablon:LinkWzór, co do wyrazu kinematycznego i oddziaływań, one są tam inne, bo wersję tensorową wyprowadziliśmy z tego lagrangianu, ale w wersji Newtonowskiej, do układu o różnych współrzędnych uogólnionych (tensorowych) i korzystaliśmy z definicji tensora prędkości, ale dla mechaniki Newtona, by przejść do dowolnych prędkości na podstawie prawa transformacji w rachunku tensorowym.

Elektromagnetodynamika

Całkowita gęstość lagrangianu masowego, ale wersji wektorowej, jest sumą lagrangianu mechanicznego Szablon:LinkWzór, ale w wersji wektorowej, i elektromagnetycznego dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu): Szablon:CentrujWzór

Szablon:CentrujWzór Widzimy, że tutaj pojawił się dodatkowy człon Szablon:Formuła w porównaniu z gęstością lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w Szablon:LinkWzór. Przecałkujmy obie strony gęstości lagrangianu Szablon:LinkWzór względem przestrzeni n-wymiarowej przestrzennej, co: Szablon:CentrujWzór W polu elektromagnetostatycznym ostatni człon w Szablon:LinkWzór jest stały i można go pominąć, wtedy lagrangian tego pola z dokładnością do stałej przepisujemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór (dla pola elektromagnetostatycznego) z Szablon:LinkWzór (dla pola elektromagnetodynamicznego) widzimy, że gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór przechodzi w Szablon:LinkWzór.

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

Do gęstości lagrangianu Szablon:LinkWzór zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: Szablon:Formuła (dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni), stosując Szablon:LinkWzór, co wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy Szablon:LinkWzór, który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego Szablon:Formuła (z dokładnością do odwrotności prędkości światła w próżni to część czasowa tensora potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego Szablon:Formuła (część przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu Szablon:LinkWzór, w którym Szablon:Formuła, wiedząc, że: Szablon:CentrujWzór wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i Szablon:LinkWzór (transformacja masy z masy spoczynkowej) w układach, gdzie cząstki materii poruszają się z prędkościami o wiele mniejszymi od prędkości światła w próżni, i warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni Szablon:LinkWzór dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu): Szablon:CentrujWzór Co na podstawie Szablon:LinkWzór (niezmienniczość masy) i Szablon:LinkWzór (niezmienniczość objętości) z dokładnością do stałego składnika Szablon:Formuła (gdzie Szablon:Formuła to stała masa całego układu) w lagrangianie Szablon:LinkWzór, wtedy gęstość lagrangianu wychodzi: Szablon:CentrujWzór Otrzymaliśmy z gęstości lagrangianu relatywistycznego Szablon:LinkWzór gęstość lagrangianu nierelatywistycznego Szablon:LinkWzór.

Gęstość lagrangianu, a gęstość pędu uogólnionego

Będziemy tutaj pisali o gęstości lagrangianu i gęstości pędu uogólnionego z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej) oraz Szablon:Formuła, czyli wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się: Szablon:CentrujWzór

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór oraz Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, stąd na podstawie Szablon:LinkWzór (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i Szablon:LinkWzór (transformacja masy z masy spoczynkowej), a także warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni Szablon:LinkWzór, zatem wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się: Szablon:CentrujWzór

Gęstość hamiltonianu, a gęstość energii całkowitej (szczególna teoria względności) i mechanicznej (mechanika Newtona)

Bęziemy tutaj opisywali o gęstości hamiltonanu.

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj pisali gęstość hamiltonianu dla pola elektromagnetostatycznego i elektrodynamicznego w elektromagnetyzmie.

Elektromagnetostatyka

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie Szablon:LinkWzór pamiętając, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego Szablon:LinkWzór, ale wynikającej z gęstości lagrangianu wektorowego, i wzór na gęstość lagrangianu, ale podanej w wersji wektorowej, w Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Doszliśmy do wniosku, że funkcja gęstości hamiltonianu Szablon:Formuła jest równa gęstości energii całkowitej Szablon:Formuła w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na gęstość energii relatywistycznej w Szablon:LinkWzór wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, czyli stosując Szablon:LinkWzór (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próżni gęstość energii relatywistycznej Szablon:Formuła jest sumą gęstości energii spoczynkowej Szablon:Formuła i gęstości energii kinetycznej Szablon:Formuła.

Elektromagnetodynamika

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie Szablon:LinkWzór, znając gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w Szablon:LinkWzór i gęstość pędu Szablon:LinkWzór, też wychodząca z tej samej gęstości lagrangianu, zatem: Szablon:CentrujWzór Hamiltonian Szablon:LinkWzór jest to hamiltonian w elektromagnetodynamice. Przecałkujmy obie strony równania Szablon:LinkWzór, licząc hamiltonian, wtedy: Szablon:CentrujWzór Dla pola elektromagnetostatycznego ostatni człon we wzorze Szablon:LinkWzór jest stały, zatem wzór na hamiltonian z dokładnością do stałej piszemy Szablon:CentrujWzór Zatem wzór Szablon:LinkWzór (dla pola elektromagnetostatycznego) z Szablon:LinkWzór (dla pola elektromagnetodynamicznego) przechodzi w gęstość hamiltonianu Szablon:LinkWzór. Widzimy, że hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego jest jednocześnie energią mechaniczną, już tak nie jest w elektromagnetodynamice, wtedy dochodzi energia pola elektromagnetycznego.

Mechanika Newtona

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny na podstawie Szablon:LinkWzór (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i Szablon:LinkWzór (transformacja masy z masy spoczynkowej) stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu Szablon:Formuła jest równa gęstości energii mechanicznej Szablon:Formuła w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do gęstości energii spoczynkowej Szablon:Formuła w przybliżeniu do Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Równanie ruchu dla układów ogólnie nieprostokątnych dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj wyprowadzać równania ruchu ciał (cząstek materii) w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich z teorii lagrangianu (gęstości lagrangianu).

Wersja wektorowa

Będziemy tutaj wyprowadząc wersję wektorową szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

Nierelatywistyczny (relatywistyczny) lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy przez wzór Szablon:LinkWzór (szczególna teoria względności, ale w wersji wektorowej) i Szablon:LinkWzór) (mechanika Newtona). W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony według Szablon:LinkWzór (szczególna teoria względności) i Szablon:LinkWzór (mechanika Newtona) równy: Szablon:CentrujWzór W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki nierelatywistycznej (relawilistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami z mechaniki Newtona (szczególnej teorii względności): Szablon:CentrujWzór Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu Szablon:LinkWzór do wzoru Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, to dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu: Szablon:CentrujWzór Obliczenia Szablon:LinkWzór na podstawie udowodnionej tożsamości Szablon:LinkWzór wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić: Szablon:CentrujWzór Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇: Szablon:CentrujWzór Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie Szablon:LinkWzór, ale tym razem dla układów prostokątnych, to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity εijk i symboli Kroneckera δij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach zakładaliśmy, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła to są zmienne niezależne. Dla układów prostokątnych tożsamość Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór jest udowodniona, ale na podstawie transformacji ten wzór okazuje się również słuszny dla układów ogólnie nieprostokątnych. Przy obliczeniach Szablon:LinkWzór założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności: Szablon:ElastycznyWiersz Wyrażenie Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór (definicji natężenia pola elektrycznego Szablon:Formuła w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego Szablon:Formuła i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego Szablon:Formuła i to wszystko wzięte z minusem) i Szablon:LinkWzór (definicji indukcji pola magnetycznego Szablon:Formuła jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego Szablon:Formuła) przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki relawilistycznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem Lagrangian Szablon:LinkWzór jest poprawnym Lagrangianem dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c.

Układy rozciągłe

Nierelatywistyczna (relatywistyczna) gęstość lagrangianu cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasza opisywana gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, wyrażamy przez wzór Szablon:LinkWzór w elektromagnetostatyce i Szablon:LinkWzór w elektromagnetodynamice, czyli dla obu tych przypadków w szczególnej teorii względności z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego lub elektromagnetodynamicznego, i Szablon:LinkWzór, czyli mechanika Newtona z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego. W formalizmie Lagrange'a współrzędne prędkości, położenia oraz potencjału tensorowego elektrycznego i ich pochodnych cząstkowych względem tensora prędkości są niezależne. Znając już gęstość lagrangianu wyznaczmy jaką cząstka posiada gęstość pędu uogólnionego według Szablon:LinkWzór (szczególna teoria względności) i Szablon:LinkWzór (mechanika Newtona) równą: Szablon:CentrujWzór W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki relatywistycznej (nierelatywistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie na siłę (gęstość siły) działające na cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami ruchu z szczególnej teorii względności (mechaniki Newtona): Szablon:CentrujWzór

Szczególna teoria względności

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu Szablon:LinkWzór do wzoru Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, to dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: Szablon:LinkWzór, stąd na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i indukcję pola magnetycznego Szablon:LinkWzór znane z elektrodynamiki klasycznej: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór tak zapiszemy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równaia ruchu, a po prawej wyrazy przyszłego cechowania: Szablon:CentrujWzór A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w Szablon:LinkWzór mamy, że prawa strona jest równa zeru, wtedy stąd wynikające cechowanie wynikający z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie równości zapisaną w Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest równaniem ruchu w szczególnej teorii względności z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Mechanika Newtona

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu Szablon:LinkWzór do wzoru Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, to dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: Szablon:LinkWzór, stąd na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i indukcję pola magnetycznego Szablon:LinkWzór znane z elektrodynamiki klasycznej: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór w takiej stronie zapiszmy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równania ruchu, a po prawej stronie cechowania, wtedy po przenoszeniu: Szablon:CentrujWzór A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w Szablon:LinkWzór mamy, że obie strony są równe zero, wtedy cechowanie wynikające z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie cechowania zapisaną w Szablon:LinkWzór wzór na równanie ruchu Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest równaniem ruchu w mechanice Newtona z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Wersja tensorowa

Wyznaczać tutaj będziemy wersję tensorową równań wynikających z teorii lagrangianu i wyjdą równania ruchu kolejno dla układów punktowych i rozciągłych szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną lagrangianu tensorowego Szablon:LinkWzór względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego Szablon:Formuła wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości Szablon:LinkWzór, by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach: Szablon:CentrujWzór Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia: Szablon:CentrujWzór Połączmy obliczenia Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór w jedno równanie według równania na drugą zasadę lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego Szablon:Formuła, by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz Szablon:LinkWzór dla wskaźnika równego Szablon:Formuła, by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn Szablon:Formuła jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego Szablon:LinkWzór, weźmy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór formuła Szablon:LinkWzór przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego: Szablon:CentrujWzór

  • Wyrażenie po prawej stronie wzoru Szablon:LinkWzór jest to nic innego jak tensor siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły Szablon:LinkWzór.

Końcowy wynik w Szablon:LinkWzór wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.

Układy rozciągłe

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną gęstości lagrangianu tensorowego Szablon:LinkWzór względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego Szablon:Formuła wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości Szablon:LinkWzór, by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach: Szablon:CentrujWzór Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia: Szablon:CentrujWzór Połączmy obliczenia Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór w jedno równanie według równania na drugą zasadę Lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy równanie Szablon:LinkWzór przez Szablon:Formuła, zatem: Szablon:CentrujWzór Napiszmy wyrazy przyszłego prawa ruchu po jego lewej stronie, a wyrazy cechowania po prawej stronie, w równości tensorowej Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór

  • W prawej stronie równości Szablon:LinkWzór pochodne mogą być równe zero, stąd obie strony naszego równania w takim przypadku są równe zero.

Napiszmy cechowanie wychodząc z Szablon:LinkWzór zerując prawą stronę równości w formule Szablon:LinkWzór, aby wyszły poprawne później równania ruchu dla układu rozciągłego: Szablon:CentrujWzór

Napiszmy wzór Szablon:LinkWzór na podstawie cechowania Szablon:LinkWzór, co sprowadza się do równości różniczkowej: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego Szablon:Formuła, by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy, wykorzystując tutaj obliczenia w Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz Szablon:LinkWzór dla wskaźnika równego Szablon:Formuła, by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn Szablon:Formuła jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego Szablon:LinkWzór, weźmy, wykorzystując tutaj obliczenia w Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór formuła Szablon:LinkWzór przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego: Szablon:CentrujWzór

  • Wyrażenie po prawej stronie wzoru Szablon:LinkWzór jest to nic innego jak gęstość tensora siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły Szablon:LinkWzór.

Końcowy wynik Szablon:LinkWzór wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.

Szablon:SkomplikowanaStronaKoniec

Źródło: „https://pl.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Szczególna_teoria_względności/Teoria_funkcji_lagrangianu&oldid=568”