Szczególna teoria względności/Przechodniość macierzy transformacji

Tutaj będziemy się zajmować przechodniością macierzy transformacji w teorii transformacji Lorenzta i Galileusza.

Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Lorentza

Będziemy tutaj badali przechodniość macierzy transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, jakie są relacje pomiędzy prędkościami w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. Powiemy też o macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. A także udowodnimy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich prędkości cząstek, a więc ich tensory prędkości, są globalnie (lokalnie) stałe, i za przyśpieszenie ciał (cząstek materii) odpowiada zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Przechodniość transformacji piszemy pamiętając, że układy Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są układami inercjalnymi oraz Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, a Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, policzmy iloczyn macierzy Szablon:Formuła i Szablon:Formuła i dowiemy się, że on jest macierzą Szablon:Formuła dla układów odniesienia równolegle się poruszających, zatem: Szablon:CentrujWzór Teraz policzmy poszczególne wyrazy macierzy końcowej Szablon:LinkWzór wykorzystując Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a zatem policzmy wyraz 11 macierzy Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy wyraz 12 macierzy Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy wyraz 21 macierzy Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy wyraz 22 macierzy Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że Szablon:Formuła, wtedy wyraz w nawiasie w Szablon:LinkWzór pomóżmy przez Szablon:Formuła, co dostajemy: Szablon:CentrujWzór Dostajemy na podstawie Szablon:LinkWzór, który w ogólności nie jest równy zero, to wyraz pod nawiasem w Szablon:LinkWzór nie jest równy w ogólności zero. Załóżmy następnie, że Szablon:Formuła, wtedy Szablon:Formuła, co wyraz w nawiasie w Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór co stąd dla tego przypadku wyraz w nawiasie Szablon:LinkWzór jest równy zero. A teraz obierzmy w pierwszym wyrażeniu i drugim następująco: Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a także mając założenia Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A teraz poliżmy drugi wyraz: Szablon:CentrujWzór Policzone wyrazy Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do wyrazu w nawiasie w Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Gdy Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a także wyrażenie Szablon:LinkWzór by było równe zero, to musi zachodzić Szablon:Formuła, ale z definicji Szablon:Formuła, że Szablon:Formuła, i Szablon:Formuła, że Szablon:Formuła, a także Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, stąd Szablon:Formuła nie może być równoległe do Szablon:Formuła, a więc nasze założenia co do Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są błędne. Stąd jedynym rozwiązaniem, aby drugi wyraz Szablon:LinkWzór w nawiasie był równy zero, to musi zachodzić Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór gdy dowolne są Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, ale spełniające nasze założenia, a więc mamy Szablon:Formuła. Zatem Szablon:Formuła jest jedynym rozwiązaniem aby nawias był równy zero w Szablon:LinkWzór i była spełniona przechodność macierzy transformacji, co stąd na podstawie tego wynika, że układy inercjalne są równolegle się poruszające w tym przypadku. Co stąd na podstawie klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą na podstawie wniosków z Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i obliczeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Policzmy wyrażenie dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą zakładając, że $\overrightarrow{Y}$ jest dowolne, ale jest spełnione założenie Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że zachodzi Szablon:Formuła (gdzie Szablon:Formuła i Szablon:Formuła to są skalary dowolne), wtedy łącząc wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wykorzystując nasze założenie na Szablon:Formuła, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór co stąd wiedząc, że Szablon:Formuła jest dowolne, wtedy mamy toższamość udowodnioną dla naszych układów odniesienia: Szablon:CentrujWzór Zbierając wyniki z Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór mamy udowodnioną tożsamość dla naszej klasy układów odniesienia wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Czyli macierz Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jest macierzą transformacji. Jest ona przechodnia dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających, co jest jedynym rozwiązaniem przechodności macierzy transformacji. Z twierdzenia Szablon:LinkWzór wynika izotropowość przestrzeni. Co kończy dowód naszego twierdzenia.

Układy słabozakrzywione

Napiszmy dla układów słabozakrzywionych przechodniość macierzy transformacji z nadkreśleniami dla macierzy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór (gdzie ogólnie: Szablon:Formuła) będący odpowiednikiem przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich Szablon:LinkWzór (gdzie: Szablon:Formuła dla macierzy transformacji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór) korzystając z transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego Szablon:LinkWzór sformułowaną i wyprowadzoną wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór w sposób: Szablon:CentrujWzór Przechodniość macierzy transformacji Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych jest spełniona ogólnie, ponieważ wyraz podobny do wyrazu drugiego w Szablon:LinkWzór, tylko że z nadkreśleniami, wynikający z przechodniości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, który podamy w tych układach jest nietożsamościowo równy zero, tzn. z niezmienniczości iloczynu skalarnego i transformacji wektora przestrzennego, mamy: Szablon:CentrujWzór W układzie słabozakrzywionym prędkości Szablon:Formuła (prędkość pierwszego ciała odniesienia) i Szablon:Formuła (prędkość drugiego ciała odniesienia) są względem siebie równoległe w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, bo one w nim odpowiadają kolejno Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, ale nie w układzie słabozakrzywionym, ogólnie je możemy powiązać w sposób: Szablon:CentrujWzór Równość napisaną w punkcie w Szablon:LinkWzór stosujemy zawsze do układów słabozakrzywionych do pierwszej równości w Szablon:LinkWzór, aby tam wyszły zera, tzn. prędkości Szablon:Formuła (prędkość pierwszego układu odniesienia, gdzie się znajduje pierwsze ciało odniesienia) i Szablon:Formuła (prędkość drugiego układu odniesienia, gdzie się znajduje drugie ciało odniesienia) transformujemy z ogólnie różnych punktów w układzie słabozakrzywionym, tzn. oznaczone przez mecierze Szablon:Formuła i Szablon:Formuła na punkt oznaczoną macierzą Szablon:Formuła w nim, w której liczymy przechodniość macierzy transformacji, czyli: Szablon:CentrujWzór Stosując Szablon:LinkWzór do wyrażenia przed pierwszą równością, tzn. w Szablon:LinkWzór, a wiemy że wyjdzie tam zero na mocy wniosku Szablon:LinkWzór. Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jeżeli tam traktować ciała odniesienia jako ciała w punktach Szablon:Formuła układów odniesienia jako zwykłe ciała to różne elementy układu w układach słabozakrzywionych mają dowolną prędkość, na które z punktu widzenia kinematyki nie nałożona żadnych warunków. W Szablon:LinkWzór wyraz (po Szablon:Formuła w iloczynie) jest taki sam jak wyraz, który pozostał przy liczeniu wyrazu 2x2 w Szablon:LinkWzór w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, będący w tych układach zawsze równa zero, a ponieważ w tych układach to jest równa zero, i to zero nie zależy od żadnych zmiennych, po prostu zawsze jest równa zero w tych układach, więc po transformacji tego zero meciarzą transformacji Szablon:Formuła, która może być funkcją uogólnioną, cały wyraz w punkcie Szablon:LinkWzór jest równy zero w układach słabozakrzywionych, stąd Szablon:LinkWzór jest dokładnie spełnioną przechodniością macierzy transformacji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych. Dla układów słabozakrzywionych nie można stosować operacji Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór (one dla układów słabozakrzywionych są niespełnione, a w układach płaskich są za to spełnione, stąd w układach płaskich ciała poruszają się z prędkościami równoległymi względem siebie, aby drugi wyraz w Szablon:LinkWzór był równy zawsze zero), bo nie można wiązać dwóch różnych punktów w układach zakrzywionych, w tym przypadku słabozakrzywionych, bo w dwóch różnych punktach Szablon:Formuła jest różne w układach zakrzywionych (czasoprzestrzeń zakrzywiona), w tym przypadku słabozakrzywionych (czasoprzestrzeń słabozakrzywiona), można je tylko wiązać w układach płaskich, bo Szablon:Formuła jest stałe wszędzie w czasoprzestrzeni płaskiej.

Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza

Będzimy badali turaj przechodniość macierzy transformacji teorii transformacji Galileusza w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakzrywionych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Przechodność transformacji piszemy pamiętając, że układy Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są układami inercjalnymi oraz Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, a Szablon:Formuła jest to macierz transformacji z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, jako: Szablon:CentrujWzór Do wzoru ostatniego Szablon:LinkWzór wykorzystajmy wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Macierz Szablon:LinkWzór jest to taka sama macierz jak Szablon:LinkWzór, zatem w teorii transformacji Galileusza macierz Szablon:Formuła spełnia twierdzenie przechodniości macierzy transformacji, w postaci: Szablon:CentrujWzór Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich.

Układy słabozakrzywione

Weźmy przechodniość Szablon:LinkWzór, wtedy z definicji transformacji macierzy z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego Szablon:LinkWzór za pomocą macierzy transformacji prostej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i odwrotnej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów słabozakrzywionych.

Dalsze wnioski dotyczące układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych

Będziemy badać jakie wnioski dalsze zachodzą dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Równoległość prędkości układów odniesienia dla tego samego ciała odniesienia poruszające się wraz z ciałem w chwilach t i t+dt wynikające z twierdzenia przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich oraz ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych

Będziemy badać tutaj wnioski wynikające w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych z transformacji Lorentza i Galileusza dotyczące prędkości różnych ciał oraz związki pomiędzy nimi.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

Macierz transformacji M była pisana, a także udowodniana jego przechodniość z twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji. Załóżmy, że mamy pewien układ odniesienia, w którym ciało porusza się na samym początku z prędkością chwilową w czasie Szablon:Formuła, tzn. Szablon:Formuła, a później w chwili Szablon:Formuła, tzn. Szablon:Formuła. Obierzmy za każdym razem inercjalny układ odniesienia poruszającą się z tym ciałem w tych właśnie podanych wcześniej w chwilach, wtedy przechodniość macierzy transformacji Szablon:LinkWzór (szczególna teoria względności) i Szablon:LinkWzór (mechanika Newtona) względem układów w czasie Szablon:Formuła (Szablon:Formuła z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła) oraz Szablon:Formuła (Szablon:Formuła z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła i Szablon:Formuła z układu Szablon:Formuła do Szablon:Formuła) przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór i twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji w transformacjach Lorentza dochodzimy do wniosku, że Szablon:Formuła, stąd ciało porusza się po linii prostej, w transformacjach Galileusza zachodzi ogólnie Szablon:Formuła, ale my zakładamy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich jak w transformacjach Lorentza zachodzi też podobnie w transformacjach Galileusza (patrz: Szablon:LinkWzór). Transformacje Szablon:LinkWzór w teorii transformacji Lorentza i Galileusza dla układów globalnie (lokalnie) płaskich są spełnione przy zachodzącym w nich Szablon:LinkWzór.

Układy słabozakrzywione

Ale już tak nie wynika (tzn.: Szablon:Formuła) dla układów słabozakrzywionym w transformacjach Lorentza i już tak nie jest jako założenie w transformacjach Galileusza, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór (teoria transformacji Lorentza) i Szablon:LinkWzór (teoria transformacji Galileusza) oraz wynikających z nich wywodów zachodzi: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór w układach słabozakrzywionych wynika, że ciała mogą się poruszać w różnych chwilach z dowolnymi prędkościami.

Istnienie słabozakrzywionych układów współrzędnych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie, a także kinematyka w szczególnej teorii względności

Powiemy tutaj o kinematyce (szczególna teoria względności i też mechanika Newtona), a w ramach tego o transformacjach z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionych i powiemy, że ta transformacja jest funkcją uogólnioną. Powiemy również jak jest w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, a jak w słabozakrzywionym, z wektorem prędkości.

Dyskusja o układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych

Stąd szczególną teorię względności i mechanikę Newtona (na podstawie założenia, że jest co do prędkości podobnie jak w szczególnej teorii względności) da się udowodnić tylko w przybliżeniu, bo one są teoriami tylko przybliżonymi dla układów słabozakrzywionych, a nie globalnie (lokalnie) płaskich, a w układach słabozakrzywionych zachodzi tak, że Szablon:Formuła jest ogólnie nierównoległe do Szablon:Formuła, a w układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi Szablon:Formuła, i prędkość pierwszego ciała Szablon:Formuła jest ogólnie nierównoległa do prędkości drugiego ciała Szablon:Formuła w układach słabozakrzywionych , a zawsze te prędkości są równoległe w układach globalnie (lokalnie) płaskich, co wynika z twierdzenia przechodniości transformacji (szczególna teoria względności) albo założenia (mechanika Newtona). Po prostu nasze prawa fizyki dla układów słabozakrzywionych, nie globalnie (lokalnie) płaskich, są przybliżone, co dlatego tak zachodzi.

W przypadku układów globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii, że ciała (cząstki materii) poruszają się z globalnie (lokalnie) stałą prędkością, a za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii układu, że wszystkie ciała (cząstki materii) poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością równą Szablon:Formuła, a gdyby różnie się poruszały, to układ nie byłby symetryczny, a z istnienia dowolnego ciała, które potraktujemy jako ciało odniesienia, poruszającego się ze stałą dowolną prędkością, co jest matematycznie, dochodzimy do wniosku, że one poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością w układach globalnie (lokalnie) płaskich równą wszędzie globalnie (lokalnie): Szablon:CentrujWzór A Szablon:LinkWzór zachodzi tylko globalnie (lokalnie) w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Czyli na podstawie Szablon:LinkWzór wynika, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) w układach zakrzywionych jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni w szczególności słabozakrzywione.

• Warunek Szablon:LinkWzór zachodzi też z innego powodu globalnie (lokalnie) wynikający z istnienia matematycznego układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości.

Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim, gdy za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, do układu słabozakrzywionego

Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim zakładając, że za przyśpieszenie ciała jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc wtedy zachodzi w układach globalnie (lokalnie) płaskich Szablon:LinkWzór, z którego wynika, że Szablon:LinkWzór), czyli pomiędzy układem o lokalnie stałym tensorze prędkości, a słabozakrzywionym, mamy w postaci: Szablon:CentrujWzór Ta macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli Szablon:Formuła, może być funkcją uogólnioną (dystrybucją). Napiszmy różniczkę prędkości w układzie słabozakrzywionym (tutaj zachodzi Szablon:LinkWzór) względem różniczki prędkości w ściśle określonym układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości zakładając, że macierz Szablon:Formuła jest funkcją uogólnioną: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła to wymiar czasoprzestrzeni, Szablon:Formuła to tensor siły w układzie słabozakrzywionym i Szablon:Formuła to tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości globalnie (tylko lokalnie) równa zero.

Ma zachodzić, aby Szablon:LinkWzór przy macierzy transformacji Szablon:LinkWzór było spełnione przy tym układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorem prędkości: Szablon:CentrujWzór Czyli suma tensorów prędkości Szablon:Formuła w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości ma być równa zero na podstawie Szablon:LinkWzór, aby było spełnione Szablon:LinkWzór. Biorąc jeszcze jeszcze inny układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości przechodząc z ostatniego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli tutaj mamy Szablon:Formuła, stosując to do równości Szablon:LinkWzór (wzór na transformację tensora prędkości), wtedy: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór tam tensory prędkości piszemy przechodząc od tensorów prędkości układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą transformacji za pomocą funkcji niebędących funkcjami uogólnionymi, czyli przechodząc z Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór. Weźmy jeszcze lepszą postać macierzy transformacji niż przedtem, tzn.: Szablon:LinkWzór, transformująca z dowolnego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego: Szablon:CentrujWzór

• gdzie ta macierz transformacji w Szablon:LinkWzór jest macierzą transformacji w Szablon:LinkWzór.

I z oczywistych powodów musi też zachodzić na podstawie wniosku (ostatni wzór) Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W przypadku przejścia z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego według macierzy transformacji Szablon:LinkWzór ją przedstawiamy podobnie jak formułę Szablon:LinkWzór cały czas przy tym samym ciele odniesienia w formie: Szablon:CentrujWzór Gdzie Szablon:Formuła to wymiar przestrzeni zwykłej. Ale zachodzi dla Szablon:LinkWzór podobnie jak dla Szablon:LinkWzór jest Szablon:LinkWzór analogiczne równanie: Szablon:CentrujWzór Układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo przejście z nich do układów słabozakrzywionych, które istnieją fizycznie, o macierzy transformacji Szablon:LinkWzór jest funkcją uogólnioną przy zachodzącym Szablon:LinkWzór (szczególna teoria względności) i Szablon:LinkWzór (mechanika Newtona) spełnione dla układów co najwyżej słabozakrzywionych (co jest definicją tych układów), ale jak nie założymy już, że zachodzi to, to układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jednak istnieją fizycznie, a wtedy macierz transformacji nie jest wtedy w postaci Szablon:LinkWzór i nie jest funkcją uogólnioną, w takim razie wtedy nie rozpatrujemy zatem układów ani globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, tylko układy zakrzywione, bo w nich nie zachodzą omawiane warunki dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich dla tych teorii fizycznych rozpatrywanych tutaj. W układach słabozakrzywionych po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości macierz transformacji, gdyby nie była funkcją uogólnioną, to wszystkie pochodne wielkości fizycznych byłyby równe w przybliżeniu zero w układach słabozakrzywionych wynikające z globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a tak nie może być, a więc tam macierz jest funkcją uogólnioną, czyli możemy ją przedstawić w postaci Szablon:LinkWzór. Macierz odwrotna do macierzy transformacji Szablon:Formuła (Szablon:LinkWzór), czyli Szablon:Formuła, z definicji macierzy odwrotnej jest funkcją uogólnioną (dystrybucją).

Równoległość prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości a ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych

Tensor Szablon:Formuła jest dla układu słabozakrzywionego, a tensor Szablon:Formuła jest dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego, ale w układzie globalnie (lokalnie) płaskim zachodzą dla dwóch dowolnych prędkości Szablon:Formuła, gdzie na podstawie Szablon:LinkWzór są: Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, co tutaj jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a w układzie słabozakrzywionym już Szablon:Formuła ogólnie nie jest równoległe do Szablon:Formuła, gdzie na podstawie Szablon:LinkWzór i teorii układów słabozakrzywionych, tzn. Szablon:LinkWzór, mamy dokładnie: Szablon:Formuła i Szablon:Formuła.