Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych, a także słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych według procedury Szablon:LinkProcedura.

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania energii, pędu i energii-pędu dla szczególnej teorii względności.

Lokalna zasada zachowania energii dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości Szablon:Formuła dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor: Szablon:CentrujWzór Z definiujmy jako tensor prądu względem tensora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ₀: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy przechodniość przestawienia Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego): Szablon:CentrujWzór A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór dla elementów przestrzennych tensora prądu prądu j^0μ , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i: Szablon:CentrujWzór Ale elementy tensora według Szablon:LinkWzór (elementy czasowe) i Szablon:LinkWzór (elementy przestrzenne), czyli mamy wzór na definicję tensora prądu Szablon:LinkWzór, które doprawdzają z Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, co stąd na tej podstawie ogólnie mamy uwzględniając pochodne cząstkowe ciśnienia i elementy czasowe gęstości wielkości wskaźnikowej siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość prądu o współrzędnych j^0ν), Szablon:LinkWzór (pochodnej czasowej ciśnienia) i Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość tensora siły): Szablon:CentrujWzór

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania wielkości gęstości składowej pędu, tzn.: Szablon:Formuła dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor: Szablon:CentrujWzór Z definiujmy jako tensor prądu jako: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy przechodniość przestawienia Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego): Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy przechodniość przestawienia Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór dla ν=i tensora prądu kontrawariantnego przestrzennego (i-tego): Szablon:CentrujWzór Zatem lokalnie prawo zachowania pędu na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wynikające z Szablon:LinkWzór (w tym według dowodu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w których dochodzimy do Szablon:LinkWzór) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się w formie patrząc na Szablon:LinkWzór (tensor gęstości prądu) i Szablon:LinkWzór (gęstość tensora siły): Szablon:CentrujWzór

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych oraz słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątnych albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych według procedury Szablon:LinkProcedura.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Na podstawie definicji gęstości prądu Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór (dla lokalnego zachowania energii) i Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór (dla lokalnego zachowania współrzędnych pędu) mamy wzór na tensor prądu Szablon:Formuła, czyli: Szablon:CentrujWzór Łącząc wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość tensora prądu) i Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość tensora siły): Szablon:CentrujWzór Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak Szablon:LinkWzór w szczególnej teorii względności, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla einsteinowskich układów odniesienia

Wzór Szablon:LinkWzór na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy: Szablon:CentrujWzór Ostatni wzór w Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci Szablon:LinkWzór przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w Szablon:LinkWzór są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W Szablon:LinkWzór w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury Szablon:LinkProcedura otrzymując wzór Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie Szablon:LinkWzór): Szablon:ElastycznyWiersz Ostateczny wzór Szablon:LinkWzór przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła Szablon:LinkWzór przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania energii-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu przy działającej na dany punkt różniczce tensora siły dla einsteinowskich układów odniesienia

Uzupełnienie prawa Szablon:LinkWzór przy definicji tensora siły Szablon:LinkWzór stosując twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to Szablon:LinkWzór na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości Szablon:LinkWzór, globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej Szablon:LinkWzór i globalności (lokalności) stałego ciśnienia Szablon:LinkWzór, gdzie po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości do układów słabozakrzywionych daje nam wzór Szablon:LinkWzór, czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania energii-pędu Szablon:LinkWzór, i też w niego wynika równanie ruchu Szablon:LinkWzór.

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w szczególnej teori względności

Lokalne prawo zachowania energii-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe lub płaskie we współrzędnych uogólnionych, tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi Szablon:LinkWzór, jest równy zero, przedstawia się w formie: Szablon:ElastycznyWiersz Prawo dokładne Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie krzywoliniowe lub we współrzędnych krzywoliniowych przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu przy gęstości tensora sił Szablon:Formuła równej zero, a w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne to prawo jest z przecinkiem zamiast średnika i przedstawia się jako prawo Szablon:LinkWzór.

Mechanika Newtona

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania masy, pędu i masy-pędu dla mechaniki Newtona.

Lokalna zasada zachowania masy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości Szablon:Formuła dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzór na gęstość prądu Szablon:LinkWzór i formułę na lokalne prawo zachowania masy Szablon:LinkWzór patrząc na Szablon:LinkWzór (wzór na wielkość wskaźnikową siły), co: Szablon:CentrujWzór

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości spoczynkowej Szablon:Formuła dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzór na gęstość prądu Szablon:LinkWzór i formułę na lokalne prawo zachowania pędu Szablon:LinkWzór patrząc na Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły), co: Szablon:CentrujWzór

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu

Patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór mamy wzór na wielkość wskaźnikową gęstości prądu: Szablon:CentrujWzór Wielkość wskaźnikową gęstości prądu Szablon:LinkWzór jest iloczynem gęstości spoczynkowej i dwóch o ogólnie różnych wskaźnikach wielkości wskaźnikowej prędkości.

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. Łącząc wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na Szablon:LinkWzór (wzór na gęstość prądu) i Szablon:LinkWzór (wzór na wielkość wskaźnikową siły): Szablon:CentrujWzór Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak Szablon:LinkWzór w mechanice Newtona, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu

Wzór Szablon:LinkWzór na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy: Szablon:CentrujWzór Ostatni wzór w Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w Szablon:LinkWzór są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W Szablon:LinkWzór w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury Szablon:LinkProcedura otrzymując wzór Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie Szablon:LinkWzór): Szablon:ElastycznyWiersz Ostateczny wzór Szablon:LinkWzór przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła Szablon:LinkWzór przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według Szablon:LinkWzór jest: Szablon:CentrujWzór

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania masy-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu przy działającej na dany punkt różniczce wielkości wskaźnikowej siły dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych

Uzupełnienie prawa Szablon:LinkWzór przy definicji wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór stosując twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to Szablon:LinkWzór na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości Szablon:LinkWzór, globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej Szablon:LinkWzór i globalności (lokalności) stałego ciśnienia Szablon:LinkWzór, gdzie po przejściu do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości daje nam wzór Szablon:LinkWzór, czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania masy-pędu Szablon:LinkWzór, i też z niego wynika równanie ruchu Szablon:LinkWzór, co te formuły są dla układów słabozakrzywionych.

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w układach słabozakrzywionych

Lokalne prawo zachowania masy-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi Szablon:LinkWzór, jest równy zero, przedstawia się w formie dla układów uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych i płaskie ogólnie nieprostokątne: Szablon:ElastycznyWiersz Prawo przybliżone Szablon:LinkWzór (Szablon:LinkWzór) dla układów słabozakrzywionym przedstawia lokalną zasadę zachowania masy-pędu przy gęstości tensora sił Szablon:Formuła równej zero.

Dowód lokalnej zasady zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności z jej odpowiednika dla mechaniki Newtona

Weźmy lokalną zasadę zachowania masy-pędu mechaniki Newtona Szablon:LinkWzór i przedstawmy go wersji tensorowej według szczególnej teorii względności dla układów ogólnie nieprostokątnych i uogólnionych (krzywoliniowych), tutaj przecinek wtedy zamieniamy na średnik, a to równanie po takim przedstawieniu jest: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest słuszne w mechanice Newtona, ale według praw szczególnej teorii względności po przejściu do niej i po zastęponieniu z Szablon:Formuła na Szablon:Formuła ze skrócenia długości Szablon:LinkWzór jest również tam słuszne, zatem lokalna zasada zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności Szablon:LinkWzór jest ogólnie spełniona nie tylko w zakresie stosowalności mechaniki Newtona.

Tensor gęstości prądu, a różniczka wielkości wskaźnikowej siły w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Weźmy wzór z szczególnej teroii względności Szablon:LinkWzór i mechaniki Newtona Szablon:LinkWzór, i napiszmy je w wersji z wielkością wskaźnikową siły dla układów ortonormalnych, wtedy rózniczka tej siły jest napisana: Szablon:CentrujWzór Końcowy wzór w Szablon:LinkWzór jest wielkością wskaźnikową różniczki siły działająca na (n+1)-wymiarową (n - wymiar przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowskiego) nieskończenie małą powierzchnię w czesoprzestrzeni według szczególnej teorii względności. Pierwszy wzór w Szablon:LinkWzór przedstawia wzór na różniczkę siły zewnętrznej działającej na infinitezymalną objętość, a drugi na infinitezymalną powierzchnię, i dlatego one nie są równoważne, ale drugi tam wzór wynika z pierwszego. Końcowy wzór Szablon:LinkWzór jest odpowiednikiem różniczki wektora siły pochodzącej od ciśnienia Szablon:Formuła działającą na nieskończenie małą powierzchnię Szablon:Formuła, czyli wzoru Szablon:FormułaSzablon:Patrz. Porównując wniosek Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkPatrz, wtedy otrzymujemy, że: Szablon:CentrujWzór

• gdzie w Szablon:LinkWzór jest to μ-ty wersor Szablon:Formuła bazy układu współrzędnych czasoprzestrzeni tworzący wraz z Szablon:Formuła wektor w danym punkcie prostopadły, do powierzchni, w kierunku Szablon:Formuła na zewnątrz tej powierzchni o punkcie zaczepienia na niej, a liczba ogólna Szablon:Formuła to jest wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzestrzeni.

Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy wzór Szablon:LinkPatrz na prawo Pascala, przy czym w Szablon:LinkWzór wielkość na ciśnienie Szablon:Formuła jest inne niż występujące we ostatnim wzorze w Szablon:LinkWzór pod wielkości wskaźnikową różniczki siły Szablon:Formuła.