Szczególna teoria względności/Dyskretne i ciągłe równanie ruchu

Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości

Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór biorąc ją we wzorze ostatnim w Szablon:LinkWzór, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, gdzie tam zastosowano twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, co: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wykorzystując je we wzorze Szablon:LinkWzór, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, gdzie tam zastosowano twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, co: Szablon:CentrujWzór Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie: Szablon:CentrujWzór a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) na podstawie definicji gęstości tensora siły Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór Wzór tensorowy Szablon:LinkWzór to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły Szablon:LinkWzór i składowe gęstości tensora siły w równaniu Szablon:LinkWzór, tzn.: składowe Szablon:LinkWzór są zgodne z Szablon:LinkWzór, czyli równanie tensorowe Szablon:LinkWzór jest poprawne.

Mechanika Newtona

Wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór biorąc ją we wzorze ostatnim w Szablon:LinkWzór, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, gdzie tam zastosowano twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, co: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wykorzystując je we wzorze Szablon:LinkWzór, wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, gdzie tam zastosowano twierdzenie Szablon:LinkTwierdzenie, co: Szablon:CentrujWzór Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie: Szablon:CentrujWzór a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie: Szablon:CentrujWzór Wzór wskaźnikowy Szablon:LinkWzór to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór, tzn.: składowe jego Szablon:LinkWzór są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe Szablon:LinkWzór jest poprawne.

Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych

Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego

Równanie Szablon:LinkWzór z definicją gęstości tensora siły Szablon:LinkWzór zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły Szablon:LinkWzór przy definicji tensora siły Szablon:LinkWzór (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość Szablon:Formuła, tzn.: Szablon:LinkWzór z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego Szablon:LinkWzór, która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Zachodzi transformacja różniczki tensora siły z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór przy definicji macierzy transformacji Szablon:LinkWzór i transformacji tensora prędkości Szablon:LinkWzór, bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór Szablon:LinkWzór na gęstość tensora siły i wzór Szablon:LinkWzór na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór Szablon:LinkWzór pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów: Szablon:CentrujWzór Macierz transformacji Szablon:Formuła może być funkcją uogólnioną według Szablon:LinkWzór. Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu Szablon:LinkWzór wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu Szablon:LinkWzór, lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu Szablon:LinkWzór i lokalnym prawem zachowania tensora pędu Szablon:LinkWzór stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z Szablon:LinkWzór wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie Szablon:LinkWzór mając Szablon:LinkWzór, co udowodniając ten wzór według Szablon:LinkWzór przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór, a więc z niego wynika wzór na tensor siły Szablon:LinkWzór.

Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego

Weźmy równanie po pierwszym symbolu implikacji i przed drugim symbolem implikacji w Szablon:LinkWzór oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły Szablon:LinkWzór i tensora prędkości Szablon:LinkWzór, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Równanie końcowe Szablon:LinkWzór jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest Szablon:LinkWzór) z definicji tensorowości tensora prędkości Szablon:LinkWzór według Szablon:LinkWzór i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Szablon:CentrujWzór Z definicji pochodnej tensorowej równość Szablon:LinkWzór możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Szablon:CentrujWzór Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela Szablon:Formuła uważamy za równe zero z procedury Szablon:LinkProcedura, zatem równość Szablon:LinkWzór możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci Szablon:LinkWzór. Równanie Szablon:LinkWzór jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania Szablon:LinkWzór (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

Mechanika Newtona

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego

Równanie Szablon:LinkWzór z definicją gęstości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły Szablon:LinkWzór przy definicji wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość Szablon:Formuła, tzn.: Szablon:LinkWzór z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór wzór Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór przy definicji macierzy transformacji Szablon:LinkWzór i transformacji tensora prędkości Szablon:LinkWzór, bo układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór Szablon:LinkWzór na gęstość tensora siły i wzór Szablon:LinkWzór na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, jak udowodnimy, i wiedząc, że to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór Szablon:LinkWzór pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów: Szablon:CentrujWzór Macierz transformacji Szablon:Formuła może być funkcją uogólnioną według Szablon:LinkWzór. Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Dla układów słabozakrzywionych równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu Szablon:LinkWzór wraz z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu Szablon:LinkWzór, lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu Szablon:LinkWzór i lokalnym prawem zachowania tensora pędu Szablon:LinkWzór stanowią komplet równań różniczowych, które stosujemy dla układów rozciągłych. Z Szablon:LinkWzór wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie Szablon:LinkWzór mając Szablon:LinkWzór, co udowodniamy ten wzór w punkcie Szablon:LinkWzór przedstawia się jako prawo w Szablon:LinkWzór.

Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w Szablon:LinkWzór oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły Szablon:LinkWzór i tensora prędkości Szablon:LinkWzór, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Równanie końcowe Szablon:LinkWzór jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest Szablon:LinkWzór) z definicji tensorowości tensora prędkości Szablon:LinkWzór według Szablon:LinkWzór i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji: Szablon:CentrujWzór Z definicji pochodnej tensorowej równość Szablon:LinkWzór możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci: Szablon:CentrujWzór Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela Szablon:Formuła uważamy za równe zero według procedury Szablon:LinkProcedura, zatem równość Szablon:LinkWzór możemy napisać w sposób dokładny w postaci: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci Szablon:LinkWzór. Równanie Szablon:LinkWzór jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowe (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania Szablon:LinkWzór (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.