Szczególna teoria względności/Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

Będziemy się tutaj zajmowali macierzą bazy w starym i nowym układzie odniesienia w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Teoria transformacji bazy w transformachach Lorentza

Będziemy tutaj badać transformacje Lorenza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatnia

Napiszmy transformacje macierzy bazy z układu współrzędnych starego do nowego wiedząc, że zachodzi dla wersora czasowego Szablon:Formuła, którego długość musi być równa jeden z definicji tensora Minkowskiego Szablon:LinkWzór, i biorąc bazę w nowym układzie odniesienia Szablon:Formuła, w którym będziemy oznaczać macierz przejścia przez Szablon:Formuła, oraz wiedząc, że macierz bazy w przestrzeni absolutnej przedstawia się jako: Szablon:CentrujWzór Z macierzą transformacji zdefiniowaną według Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór możemy napisać wzór w przestrzeni absolutnej, co z niego otrzymamy transformację macierzy bazy ze starego układu odniesienia do nowego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór widzimy, że istnieje dwa rodzaje baz Szablon:Formuła ze względu na wersor czasowy, w których każdy ten rodzaj odpowiada nieskończeniu wiele takich baz Szablon:Formuła, przy ściśle określonym Szablon:Formuła, napisane według Szablon:LinkWzór. Wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór na transformacje bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego i macierz bazy w starym układzie odniesienia Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie tego możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór przestrzeń (n-wymiarową przestrzeń bez wymiaru czasowego) w nowym układzie odniesienia nie znajduje się dokładnie w przestrzeni starego układu odniesienia. Ale mamy w nowym układzie odniesienia Szablon:Formuła, które niech będą współrzędnymi bazy w układzie absolutnym o wersorach ortonormalnych. Przetransformujmy bazę absolutną starą w nową w taki sposób by wybrać nową bazę absolutną o wersorach ortonormalnych, wtedy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy transformację bazy współrzędnych absolutnych starych w nowe wykorzystując tożsamości Szablon:LinkWzór pisząc transformacje do bazy absolutnej podobnej do Szablon:LinkWzór w sposób: Szablon:CentrujWzór Napiszmy macierz na Szablon:Formuła na podstawie macierzy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór zamieniając skalary i macierze w wierszach i kolumnach w nim bez primów na primy i odwrotnie, co dalej będziemy przekształcać tą macierz wykorzystując Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór bo zachodzi tożsamość na podstawie twierdzeń Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Teraz sprawdźmy, czy macierz Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jest macierzą odwrotną do macierzy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Stąd rzeczywiście macierz Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jest macierzą odwrotną do macierzy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór na podstawie dowodu Szablon:LinkWzór. Ale można zauważyć na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, że zachodzi: Szablon:CentrujWzór co na tej podstawie dowiedliśmy, że zachodzi Szablon:LinkWzór. Stąd udowodniliśmy, że twierdzenie Szablon:LinkWzór nie jest wcale sprzeczne ze stwierdzeniem według Szablon:LinkWzór, Szablon:Formuła (bo dowód Szablon:LinkWzór) i Szablon:LinkWzór. Możemy również powiedzieć, że zachodzi: Szablon:CentrujWzór Stwierdzenie Szablon:LinkWzór jest prawdziwe na podstawie Szablon:LinkWzór. Dla transformacji Galileusza bazy Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, które również przyjmujemy w szczególnej teorii względności, mamy Szablon:Formuła, gdzie Szablon:Formuła jest to macierz dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, co stąd Szablon:Formuła, co stąd na tej podstawie otrzymujemy transformacje na wzór Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, czyli wzór na transformacje Galileusza bazy z jednego układu odniesienia do drugiego dla bazy podstawowej Szablon:Formuła. Dla Szablon:Formuła mamy macierz transformacji Szablon:Formuła na podstawie wniosków: Szablon:CentrujWzór A także policzmy iloczyn macierzy Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli: Szablon:CentrujWzór Stąd na podstawie Szablon:LinkWzór mamy Szablon:Formuła, czyli otrzymujemy taką samą transformację jak przy transformacji bazy Galileusza Szablon:LinkWzór jak powinno na pewno być. Napiszmy Szablon:LinkWzór wykorzystując własności macierzy: Szablon:CentrujWzór Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla Szablon:LinkWzór dostajemy: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy macierz transformacji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór a także policzmy dla Szablon:Formuła, Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, co: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy Szablon:LinkWzór podstawiając za Szablon:Formuła macierz Szablon:LinkWzór, wiedząc, że zachodzi Szablon:Formuła i Szablon:Formuła z definicji wersora czasowego, bo jego długość ma być równa jeden, czyli: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór zachodzi na podstawie Szablon:LinkWzór, bo to przejście da się tylko udowodnić przy założeniu, że jest spełniona zależność Szablon:LinkWzór, co kończy dowód zależności Szablon:Formuła. Policzmy transformację macierzy Szablon:Formuła do Szablon:Formuła, wiedząc, że ogólnie dla macierzy transformacji Szablon:Formuła zachodzi związek Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dla transformacji bazy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór w inną bazę podobną do niego według Szablon:LinkWzór tensor metryczny transformuje się według Szablon:LinkWzór, a w bazie Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór w podobną do niego w bazę dla Szablon:Formuła, Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła tensor metryczny transformuje się według Szablon:LinkWzór.

Sygnatura ujemna

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci: Szablon:CentrujWzór

• Gdzie Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jest dowolne.

Transformacja z bazy Szablon:LinkWzór ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie przedstawienia transformacji przedstawia się według wzoru Szablon:LinkWzór. Pomnóżmy macierz bazy Szablon:Formuła starego i nowego układu odniesienia, tzn. Szablon:LinkWzór przez jednostkę urojoną Szablon:Formuła we wzorze transformacyjnym tej bazy Szablon:LinkWzór, znając macierz Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz Szablon:Formuła, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według Szablon:Formuła, a tam minus weźmy pod macierze Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy otrzymamy transformację bazy Szablon:LinkWzór o takiej samej macierzy Szablon:Formuła jak dla sygnatury dodatniej, tzn. Szablon:LinkWzór. Napiszmy transformację tensora metrycznego ze starego układu odniesienia do nowego przy dowolnym Szablon:Formuła i Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, zatem: Szablon:CentrujWzór Weźmy Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest o postaci: Szablon:CentrujWzór W takim razie transformacja bazy starego układu współrzędnych do nowego układu przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Wtedy transformacja tensora metrycznego jest: Szablon:CentrujWzór Czyli w Szablon:LinkWzór udowodniliśmy transformację tensora metrycznego Minkowskiego w sygnaturze ujemnej.

Teoria bazy transformacji Galileusza

Będziemy tutaj badać transformacje Galileusza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatnia

Weźmy sobie bazę taką samą jak w szczególnej teorii względności Szablon:LinkWzór, wtedy jest spełnione Szablon:LinkWzór. Weźmy Galileuszowską macierz transformacji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, wtedy możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Weźmy inną bazę absolutną, której współrzędne przetransformujemy macierzą Szablon:Formuła, wtedy możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Wtedy macierz bazy Szablon:Formuła na podstawie obliczeń macierzowych Szablon:LinkWzór piszemy wynikającą z tego na podstawie tożsamości transformacji bazy przestrzennej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie analogii do macierzy Szablon:Formuła napiszmy macierz odwrotną do niego Szablon:Formuła zastępując wielkości primowane wielkościami bez primów i odwrotnie, dostajemy wzór na macierz Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Policzmy czy rzeczywiście macierz $T$ Szablon:LinkWzór jest macierzą odwrotną do macierzy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, tzn. czy właściwie obraliśmy tą macierz, wykorzystajmy wtedy wzór na transformacje bazy przestrzennej Galileusza Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zatem macierz Szablon:Formuła jest macierzą odwrotną do macierzy Szablon:Formuła jak przypuszczaliśmy. Napiszmy jaki wyjdzie wynik z wyrażenia macierzowego dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, zakładając, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór Dla teorii transformacji Galileusza iloczyn macierzy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór przez jego macierz transponowaną daje nam macierz w przybliżeniu jedynkową, czyli baza absolutna w nowym i starym układzie odniesienia jest w przybliżeniu ogólnie ortonormalna. Napiszmy tożsamość macierzową, którą przepiszemy jako transformację bazy Szablon:Formuła wymiarowej ze starego układu współrzędnych do nowego, to wtedy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła wykorzystując Szablon:Formuła wynikającego z Szablon:Formuła wyprowadzona w poprzednim rozdziale, czyli: Szablon:ElastycznyWiersz Macierz Szablon:Formuła przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Dokończy obliczenia z punktu Szablon:LinkWzór wyznaczając wzór na transformacje bazy z bazy w starym układzie współrzędnych dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła na bazę w nowym układzie współrzędnych dla Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, zatem: Szablon:CentrujWzór Transformacja bazy Szablon:Formuła wielowymiarowej w teorii transformacji Galileusza, czyli dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór i ona jest podobna bardzo do wzoru Szablon:LinkWzór, tylko tutaj dokładnie nie da się wyznaczyć transformacji tensora metrycznego Szablon:LinkWzór, jak w punkcie Szablon:LinkWzór, opisująca przestrzenie Szablon:Formuła wymiarowe.

Sygnatura ujemna

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci Szablon:LinkWzór w transformacji Galileusza, w którym Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są dowolne. Transformacja z bazy Szablon:LinkWzór ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie transformacji przedstawia się według wzoru Szablon:LinkWzór. Pomnóżmy macierz bazy Szablon:Formuła starego i nowego układu odniesienia, tzn. Szablon:LinkWzór przez jednostkę urojoną Szablon:Formuła we wzorze transformacyjnym tej bazy Szablon:LinkWzór znając macierz Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz Szablon:Formuła, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według Szablon:Formuła, a tam minus weźmy pod macierze Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy otrzymamy transformację bazy Szablon:LinkWzór o takiej samej macierzy Szablon:Formuła, jak dla sygnatury dodatniej, tzn. Szablon:LinkWzór. Weźmy Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest napisana formułą Szablon:LinkWzór. W takim razie transformacja jest dla bazy starego i nowego układu odniesienia napisana dla tego przypadku wzorem Szablon:LinkWzór.

Dlaczego czas nie może płynąć do tyłu

Według tego modułu, gdy Szablon:Formuła, to czas płynie do przodu, a gdy Szablon:Formuła, to czas płynie do tyłu, lub odwrotnie, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, na podstawie przedstawienia ogólnej bazy czasoprzestrzennej Szablon:LinkWzór, to świat według tych dwóch przypadków wygląda tak samo, jak by czas płynął tylko w jednym kierunku, bo przypadek Szablon:Formuła można przetransformować na Szablon:Formuła, lub odwrotnie. Stąd wniosek, rzucona filiżanka od kawy, która się potłukła, to taki proces nie może zajść w kierunku odwrotnym, czyli ona nie może się złożyć, a więc czas płynie tylko w jednym kierunku, w kierunku dodatnich czasów, gdy założymy, że zachodzi Szablon:Formuła, lub w kierunku ujemnych czasów, gdy mamy Szablon:Formuła.