Statystyka matematyczna/Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych
Szablon:SkomplikowanaStronaStart
Zauważmy, że w wyniku doświadczenia uzyskujemy n liczb, które podlegają pewnym rozkładom, na razie bliżej nieokreślone, ale dzięki którym możemy wyliczyć gęstość prawdopodobieństwa uzyskania tychże wyników.
Rozkłady statystyczne
Rozkłady statystyczne - są to rozkłady jakim podlegają pewne losowe wartości, nazywane kolejno Szablon:Formuła, gdzie i jest: numerem zmiennej k podlegającej temu rozkładowi - gdy rozkład jest dyskretny, lub k(x) - gdy rozkład jest ciągły względem argumentu x.
Każdej wartości losowej podlegają pewne momenty statystyczne, tj.: γSzablon:Sub, gdzie k jest numerem momentu statystycznego.
Szczególnym momentem statystycznym jest zerowy moment statystyczny, tj.: γSzablon:Sub=1, czyli normowanie funkcji do jedynki, a także jego moment statystyczny o numerze jeden γSzablon:Sub=0, z którego możemy wyznaczyć średnią E(x) dla rozkładu ciągłego lub dyskretnego. Wariancja jest momentem statystycznym rzędu drugiego V(x)=σSzablon:Sup.
Gdzie:
- σ jest to odchylenie standardowym danego zespołu pomiarów.
Ogólnie momenty statystyczne mogą być dyskretne lub ciągłe. W kolejnych rozdziałach omówiono ich wzory.
Prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa
Dla zmiennej skokowej (dyskretnej) A, prawdopodobieństwo określa się jako stosunek liczby zdarzeń tegoż zdarzenia przez liczbę wszystkich zdarzeń w zbiorze Ω, które są w pewnym układzie statystycznym, wzór na tą wielkość przedstawia się według: Szablon:CentrujWzór Gdzie:
- Szablon:Formuła jest to moc A, czyli liczba elementów w zbiorze A, inaczej zajście tego zdarzenia
- Szablon:Formuła jest to liczba wszystkich zdarzeń zachodzących w zbiorze Szablon:Formuła.
Dla zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo zajścia jakiegokolwiek zdarzenia dąży do zera, czyli Szablon:Formuła. Wówczas ze wzoru Szablon:LinkWzór wynika oczywiście: Szablon:Formuła, a więc w tym przypadku należy zamienić pojęcie prawdopodobieństwa przez pojęcie gęstości prawdopodobieństwa. Oczywiste jest, że gęstość prawdopodobieństwa ma właśnie wtedy sens dla zmiennej typu ciągłego. Definiujemy tą wielkość się jako stosunek prawdopodobieństwa zdarzenia z przedziału (x,x+dx) przez wielkość dx: Szablon:CentrujWzór
Natomiast dla funkcji wielu zmiennych, czyli gdy badamy jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania n zmiennych jednocześnie Szablon:Formuła, którą to elementy tegoż wektora są w postaci ciągłej, gdzie ogólnie:
- Szablon:Formuła jest to element w n wymiarowej przestrzeni zdarzeń,
to gęstość prawdopodobieństwa definiujemy jako iloraz nieskończenie małego prawdopodobieństwa zdarzenia z przedziału dla poszczególnej współrzędnej naszego wektora Szablon:Formuła, dla i=1,..,n przez infinitezymalną objętość w którym znajdują się ten nasz obiekt opisywanej przy pomocy podanego tutaj przedziału zmienności naszej zmiennej podanej wcześniej w tym tekście. Szablon:CentrujWzór Gdzie:
- Szablon:Formuła jest to objętość w przestrzeni n wymiarowej, w której liczymy infinitezymalne prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, które jest równe Szablon:Formuła.
Gęstość prawdopodobieństwa jest to pochodna dystrybuanty względem n-wymiarowej objętości, w której znajdują się te zdarzenia, jak się później przekonamy w późniejszych podrozdziałach.
Widzimy, że w przypadku dyskretnym jest sens stosować zwykłe prawdopodobieństwo zdarzenia Szablon:LinkWzór, ale w przypadku ciągłym już gęstość prawdopodobieństwa zdarzenia dla jednej zmiennej stosujemy wzór Szablon:LinkWzór (przestrzeń jednowymiarowa) lub wzór dla "n" zmiennych stosujemy tożsamość Szablon:LinkWzór (przestrzeń n-wymiarowa).
Rozkłady losowe jednej zmiennej
Będziemy zajmować się tutaj rozkładami losowymi, dyskretnymi lub ciągłymi, zależącymi od jednej zmiennej.
Dystrybuanta i prawdopodobieństwo uzyskania jednej zmiennej losowej
Prawdopodobieństwem uzyskania zmiennej losowej jednej zmiennej nazywamy możliwość uzyskania tejże zmiennej w doświadczeniu.
Dystrybuantą nazywamy prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej losowej w doświadczeniu z pewnego przedziału różnie określanego dla zmiennej losowej dyskretnej lub ciągłej, których definicje podamy poniżej.
Zmienna losowa dyskretna
Dla zmiennej losowej dyskretnej kolejne zdarzenia numerujemy od i=0 do i=n, zatem dystrybuantę dla zmiennej losowej dyskretnej definiujemy jako prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy elementy w naszym doświadczeniu o numerach Szablon:Formuła. Dystrybuantę określamy za pomocą sumy prawdopodobieństw uzyskania elementu xSzablon:Sub o numerach podanych wcześniej: Szablon:CentrujWzór
Dystrybuantę dla zmiennej losowej dyskretnej zdarzenia przeciwnego określamy, korzystając przy czym ze wzoru dystrybuantę zdarzeń o numerach i=0 do i=n Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór
Dystrybuanta dla zdarzenia przeciwnego - jest to prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych losowych przeciwnych do zdarzenia xSzablon:Sub o numerach w przedziału Szablon:Formuła, czyli dla zdarzeń o numerach Szablon:Formuła.
Należy zauważyć, że wielkość n może być zarówno skończona jak i nieskończona, dla zmiennej losowej jednej zmiennej.
Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej xSzablon:Sub o numerze "i" jest różnicą dystrybuant dla argumentu "i" oraz dla argumentu "i-1", definicja jego jest: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że ze wzoru Szablon:LinkWzór prawdopodobieństwo danego zdarzenia można określić za pomocą definicji dystrybuant.
Zmienna losowa ciągła
Dystrybuantę dla zmiennej losowej ciągłej jednowymiarowej x, definiujemy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór dla przedziału zmienności argumentu "x" z przedziału określonego (a,b), którą określa się: Szablon:CentrujWzór
Dystrybuanta dla parametru c - jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia z przedziału Szablon:Formuła.
Korzystając ze wzoru na dystrybuantę Szablon:LinkWzór dystrybuantę dla zdarzenia przeciwnego ciągłego określamy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń dla przedziału, gdy liczba "x" jest większa od liczby "c": Szablon:CentrujWzór
Zatem dystrybuanta dla zdarzenia przeciwnego określa prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do Szablon:Formuła, czyli dla zdarzenia Szablon:Formuła.
Gęstością prawdopodobieństwa nazywamy pochodną dystrybuanty względem argumentu zdarzenia "x": Szablon:CentrujWzór Widzimy, że w powyższym wzorze różnica dystrybuant dla x+dx i x, czyli F(x+dx)-F(x) jest nieskończenie małym prawdopodobieństwem zdarzenia "x", czyli dP(x). Iloraz różnicy dystrybuant określonych we wzorze Szablon:LinkWzór przez różniczkę dx jest to gęstość prawdopodobieństwa zdarzenia "x".
Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja
Normowanie rozkładu zmiennej losowej dyskretnej lub ciągłej nazywamy zdarzeniem pewnym uzyskania jakiejkolwiek zmiennej losowej. Wartość oczekiwana, to średnia arytmetyczna uzyskanych danych doświadczalnych dla dużej ilości doświadczeń. Wariancja jest to średnie odchylenie kwadratowe uzyskanych wyników pomiarów.
Zmienna losowa dyskretna
Normowanie funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej typu dyskretnego jest napisane wedle równania poniżej jako sumę prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń, o wszystkich możliwych "i" w zbiorze Ω. Szablon:CentrujWzór
Normowanie do jedynki określa prawdopodobieństwa zdarzeń jakichkolwiek możliwych w przestrzeni zdarzeń Szablon:Formuła, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia się jakiegokolwiek zdarzenia jest pewne (tzn. zdarzy się na pewno).
Wartość oczekiwana - jest to średnia wartość, jaką można uzyskać w doświadczeniu w skutek dużej ilości wykonanych doświadczeń, jest definiowana jako sumę iloczynu zdarzenia xSzablon:Sub przez prawdopodobieństwo jego uzyskania P(xSzablon:Sub). Szablon:CentrujWzór
Wariancją nazywamy średnim kwadratowym odchyleniem zmiennych pomiarów xSzablon:Sub, czyli jest to wartość oczekiwana Szablon:LinkWzór, ale dla zmiennej (xSzablon:Sub-E(x))Szablon:Sup. Szablon:CentrujWzór
Wariancja dla zmiennej losowej dyskretnej określa średnie kwadratowe odchylenie od wartości średniej dla bardzo dużej ilości pomiarów, podlegających rozważanemu rozkładowi.
Zmienna losowa ciągła
Normowanie funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej typu ciągłego jest napisane wedle równania poniżej jako całkę gęstości prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń ciągłych zachodzących w zbiorze Ω. Szablon:CentrujWzór
Normowanie do jedynki określa prawdopodobieństwa zdarzeń jakichkolwiek możliwych w przestrzeni zdarzeń Ω, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia się jakiegokolwiek zdarzenia jest pewne (tzn. zdarzy się na pewno). Wartość oczekiwana - jest to średnia wartość, jaką można uzyskać w doświadczeniu w skutek dużej ilości wykonanych doświadczeń, jest definiowana ona jako całka iloczynu zdarzenia "x" przez gęstość prawdopodobieństwa jego uzyskania ρ(x) liczona względem zmiennej x. Szablon:CentrujWzór Wariancją nazywamy średnim kwadratowym odchyleniem zmiennej pomiarów "x" podniesiony do kwadratu, czyli jest to wartość oczekiwana Szablon:LinkWzór, ale dla zmiennej (x-E(x))Szablon:Sup. Szablon:CentrujWzór
Wariancja dla zmiennej ciągłej losowej określa średnią kwadratową odchylenie od wartości średniej, jakie można uzyskać w doświadczeniu, podlegającej rozkładowi ρ(x).
Wartość modalna
W rozkładzie funkcji jednej zmiennej, wartość modalna, to wartość najbardziej prawdopodobna, zwana też modą. Gdy funkcja gęstości prawdopodobieństwa posiada jedno ekstremum, to rozkład nazywamy jedno modalnym.
Modę możemy wyznaczyć dla zmiennej typu ciągłego jednej zmiennej przy pomocy dwóch wzorów na warunek konieczny istnienia ekstremum i wystarczającym: Szablon:CentrujWzór
Dla zmiennej typu dyskretnego wyznaczamy wartość modalną przez sprawdzenie, dla jakiego Szablon:Formuła funkcja prawdopodobieństwa Szablon:Formuła przyjmuje wartość największą z możliwych ze wszystkich zdarzeń losowych.
Mediana, kwantyle i kwartyle
Mediana jest to wartość x w rozkładzie funkcji jednej zmiennej, dla której dystrybuanta Szablon:LinkWzór (rozkład zmiennej losowej dyskretnej) lub Szablon:LinkWzór (rozkład zmiennej losowej ciągłej) przyjmuje wartość połowy jedynki: Szablon:CentrujWzór
Kwartylami dystrybuanty nazywamy te wielkości xSzablon:Sub, xSzablon:Sub, dla których dystrybuanta kolejno przyjmuje wartości 0,25, 0,75: Szablon:CentrujWzór
Kwantylami nazywamy dystrybuanty nazywamy te wielkości xSzablon:Sub, dla których dystrybuanta przyjmuje wartość "r". Szablon:CentrujWzór
- gdzie xSzablon:Sub są to wielkości xSzablon:Sub, xSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub.
Rozkład jednostajny
Określmy rozkład zmiennej losowej typu ciągłego, dla którego gęstość prawdopodobieństwa przedstawia w zależności od parametru c przedstawia się: Szablon:CentrujWzór
Rozkład Szablon:LinkWzór nazywany jest rozkładem jednostajnym.
Uwzględniając warunek na unormowanie funkcji f(x) Szablon:LinkWzór, wtedy całkę normującą możemy napisać całkując tą naszą funkcję w przedziale (a,b), bo ona w tym przedziale przyjmuje wartość stałą niezerową. Dla pozostałych przedziałów wspomnianej funkcji gęstości prawdopodobieństwa nie wnosi nic do całki poniżej: Szablon:CentrujWzór
Ponieważ nasz rozkład w postaci unormowanej dla całki normującej (powyżej), która powinna przyjmować wartość jeden, zatem stąd można będzie wyznaczyć parametr "c", wtedy na podstawie tegoż parametru gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego Szablon:LinkWzór piszemy wedle postaci: Szablon:CentrujWzór
Dystrybuanta dla tego samego rozkładu wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór przy definicji gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór piszemy wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór
Policzmy teraz wartość średnią zmiennej ciągłej x wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór przy definicji gęstości prawdopodobieństwa f(x). Szablon:CentrujWzór
Wariancja zmiennej x, wychodząc najpierw od wzoru Szablon:LinkWzór przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle wzoru Szablon:LinkWzór jest: Szablon:CentrujWzór
Rozkład Cauchy'ego
Jest to rozkład jednorodny o niezerowej gęstości prawdopodobieństwa jedynie w przedziale kątowym: Szablon:CentrujWzór
Z jednorodności gęstości prawdopodobieństwa i długości przedziału Szablon:LinkWzór wynika postać tejże funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tymże przedziale: Szablon:Formuła.
Wybierzmy oś x, względem której możemy określać kąty θ i napiszemy go przeliczający z wielkości, która jest kątem θ na wartość "x", który mówi coś o położeniu cząstki, gdy odległość naszego punktu od osi iksowej według rysunku obok wynosi jeden. Szablon:CentrujWzór
Biorąc pochodną funkcji Szablon:LinkWzór względem argumentu ciągłęgo x: Szablon:CentrujWzór
Gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x przez jakąś cząstkę o promieniu wodzącym o wartości jeden względem jego gęstości prawdopodobienstwa względem kąta θ, czyli f(θ), którą to określamy: Szablon:CentrujWzór Sprawdźmy czy napisany rozkład zmiennej losowej "x" ciągłej Szablon:LinkWzór jest rozkładem unormowanym: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz wartość oczekiwaną funkcji gęstości prawdopodobieństwa g(x) Szablon:LinkWzór względem jej położenia iksowego: Szablon:CentrujWzór Uwzględniliśmy w obliczeniach Szablon:LinkWzór fakt, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta. zatem średnie położenie cząstki jest więc równe zero.
Teraz policzmy wariancję wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór względem gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Przy liczeniu wariancji skorzystaliśmy z zależności ze funkcja arctg(x) ma kres dolny oraz górny. Szablon:CentrujWzór
Szablon:Formuła posiada wartość skończoną w nieskończonościach, którą odejmujemy od nieskończonego x, stąd otrzymaliśmy nieskończoną wartość wariancji Szablon:LinkWzór.
Wariancja, a więc i odchylenie standardowe, funkcji Szablon:LinkWzór dąży do nieskończoności. Wtedy mówimy, że wariancja dla rozkładu Cauchy'ego nie istnieje. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór, w którym przyjmuje wartość maksymalną dla x=0 i wynosi Szablon:Formuła. Połowę swej wartości posiada w punktach x=-1 i x=1, zatem szerokość połówkowa jest napisana wedle: Szablon:CentrujWzór
Rozkład Lorentza (Breita-Wignera)
Rozkład Lorentza inaczej Breita-Wignera jako rozkład gęstości prawdopodobienstwa zmiennej losowej ciagłej zapisujemy wględem argumentu "a", która jest wartością średnią tegoż rozkładu, i względem parametru Γ, który jest szerokością połówkową tego rozważanego rozkładu. Szablon:CentrujWzór Rozkład Szablon:LinkWzór przechodzi w rozkład Cauchego Szablon:LinkWzór, gdy Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Sprawdźmy czy rozkład Breita-Wignera Szablon:LinkWzór jest unormowany wychodząc od wzoru normującego Szablon:LinkWzór przy gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Rozważana funkcja jak oczekiwaliśmy jest unormowana do jedynki.
Wyznaczmy średnią wartość zmiennej losowej "x" dla rozkładu Lorentza Szablon:LinkWzór wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Średnia wartość zmiennej losowej podlegającej wedle rozkładu Breita-Wignera jest równy liczbie "a" występującej we wzorze Szablon:LinkWzór, tak jak oczekiwaliśmy. Wyznaczmy wariancję wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór przy definicji rozkładu Lorentza wedle obliczeń poniżej: Szablon:CentrujWzór Wariancja wedle rozkładu Breita-Wignera jest równa nieskończoność, co oznacza, że w wyniku losowania zmienną losowej można znaleźć w całej nieskończonej przestrzeni, którego średni pomiar nieskończonej ilości pomiarów wynosi "a". Rozkład Breita-Wignera przyjmuje wartość maksymalną dla Szablon:Formuła, i wartość rozkładu Breita-Wignera dla tego punktu jest równa Szablon:Formuła, funkcja g(x) dla której przyjmuje wartość równą połowie jej wartości maksymalnej, gdy zachodzi warunek Szablon:Formuła, co udowodnimy poniżej: Szablon:CentrujWzór Co jest połówkową wartością wartości maksymalnej, zatem wtedy możemy policzyć szerokość połówkową naszego rozkładu: Szablon:CentrujWzór Udowodniliśmy, że szerokość połówkowa rozważanego rozkładu wynosi Γ, tak jak przypuszczaliśmy.
Rozkłady losowe dwóch zmiennych
Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa
Jeśli dolnym zakresem zmiennej x jest a, oraz dolnym zakresem zmiennej y jest c, to dystrybuantę zmiennych losowych ciągłych ze względu na oba parametry określamy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa ρ(x,y) dla argumentu "x" z przedziału (a,x) oraz dla argumentu y z przedziału (c,y) względem argumentu iksowego i igrekowego: Szablon:CentrujWzór
Zwykle przy naszych założeniach mamy, że wielkości a i c sa równe minus nieskończoność, ale nie zawsze tak jest. Wiemy jednak, że dystrybuanta wedle wzoru Szablon:LinkWzór dla argumentów x=a i y=c wynosi zero: Szablon:CentrujWzór
Dla dwóch zmiennych, gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jednocześnie zmiennych x i y jest podwójną pochodną względem zmiennych x i y funkcji F(x,y) (dystrybuanty), w którym w mianowniku jest to infinitezymalne prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej x i y w przedziale (prostokącie): Szablon:Formuła, Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór
Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych x i y w prostokącie Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, określa się jako podwójną całę względem gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór całkując względem argumentu x i y w określonym wcześniej przedziale. Szablon:CentrujWzór
Jeśli przecałkujemy po całkowitym obszarze zmiennej y, tzn. (c,d), otrzymamy wtedy gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x należącej do przedziału (a,b), tzn. Szablon:CentrujWzór
Podobnie uzyskujemy prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej y należących do przedziału (c,d), gdy przecałkujemy funkcję Szablon:LinkWzór po całym zmienności zmiennej x. Szablon:CentrujWzór
Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej x w podprzedziale (aSzablon:Sub,bSzablon:Sub) należących do przedziału całej zmienności tejże zmiennej (a,b) określa się dla dowolnego y z przedziału (c,d), całkując funkcję Szablon:LinkWzór po całym przebiegu zmienności zmiennej y i po określonym podprzedziale iksowym: Szablon:CentrujWzór
Podobnie określamy prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej y w przedziale (cSzablon:Sub,dSzablon:Sub).
Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja
Normowaniem rozkładu dwóch zmiennych nazywamy zdarzeniem pewnym, który jest równy na pewno jeden. Przepis normowania funkcji zapisujemy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa g(x,y) całkując względem argumentu x i y po całym ich przebiegu zmienności. Szablon:CentrujWzór Wartością oczekiwaną zmiennej x nazywamy przepis, który jest całką po całym przebiegu zmienności zmiennych x i y, w którym funkcją podcałkową jest równa iloczynowi zmiennej x i gęstości prawdopodobieństwa ρ(x,y). Tą całkę przestawmy względem gęstości prawdopodobieństwa zmiennej "x" określonym wzorem Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Wartością oczekiwaną zmiennej x nazywamy przepis, który jest całką po całym przebiegu zmienności zmienne x i y, w którym funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej y i gęstości prawdopodobienstwa ρ(x,y). Tą całkę przestawiamy względem gęstości prawdopodobieństwa zmiennej "y" określonym wzorem Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Wariancją zmiennej x nazywamy wartość oczekiwaną z funkcji Szablon:Formuła, jest to średnia kwadratowa zmiennej wielkości odchylenia od jego wartości oczekiwanej, w którym ta całka jest całkowaniem po całej przedziale zmienności zmiennej "x" i "y". Szablon:CentrujWzór Wariancją zmiennej y nazywamy wartość oczekiwaną z funkcji Szablon:Formuła, jest to średnia kwadratowa zmiennej wielkości odchylenia od jego wartości oczekiwanej, w której całka jest całkowaniem po całej przedziale zmienności zmiennej "x" i "y". Szablon:CentrujWzór
Rozkłady losowe n-zmiennych
Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa
Określmy n-wymiarowy wektor, którego składowymi jest n-zmiennych, i które są pomiarami losowymi zmiennych składowych ciągłych: Szablon:CentrujWzór
przy czym poszczególne elementy wektora Szablon:Formuła spełniają związek przynależności do zbioru liczb rzeczywistych: Szablon:Formuła. n-wymiarowy wektor Szablon:Formuła wchodzi w skład gęstości prawdopodobieństwa uzyskania n-składowych tego wspomnianego wektora.
Dystrybuantę określamy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa względem argumentu xSzablon:Sub, xSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub, całkując po przedziale zmienności xSzablon:Sub<cSzablon:Sub,xSzablon:Sub<cSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub<cSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór
Gęstością prawdopodobieństwa uzyskania n-zmiennych nazywamy funkcję, która jest pochodną cząstkową n zmiennych, tzn. względem argumentu xSzablon:Sub, xSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub, zatem: Szablon:CentrujWzór
Jak widzimy, wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są uogólnieniem wzorów kolejno Szablon:LinkWzór (dystrybuanta jednej zmiennej losowej ciągłej) oraz Szablon:LinkWzór (gęstość prawdopodobieństwa jednej zmiennej) dla dwóch zmiennych.
Gęstość uzyskania tylko zmiennej xSzablon:Sub określa się podobnie jak przy wzorach dla gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej "x", gdy mamy funkcję gęstości prawdopdobieństwa dwóch zmiennych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór
Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych Szablon:Formuła w wymiarowym prostokącie dla którego zachodzą warunki cSzablon:Sub≤ xSzablon:Sub≤ dSzablon:Sub wyraża się przez: Szablon:CentrujWzór
Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja
Normowanie funkcji nazywamy zdarzenie pewne uzyskania jakikolwiek zmiennej, która jest wektorem Szablon:LinkWzór i która jest równa jeden, i nazywamy całkę gęstości funkcji prawdopodobieństwa z funkcji f(xSzablon:Sub,xSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub) liczoną względem tychże argumentów po całym przedziale zmienności zmiennych xSzablon:Sub dla i=1,2,...,n. Szablon:CentrujWzór
Wartością oczekiwaną zmiennej xSzablon:Sub nazywamy liczoną po całym przedziale zmienności wektora Szablon:LinkWzór, w którym funkcją podcałkową jest iloczyn gęstości prawdopodobieństwa f(xSzablon:Sub,xSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub) i zmiennej xSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór Wariancją zmiennej losowej ciągłej xSzablon:Sub w przestrzeni n-wymiarowej nazywamy całkę po całej zmienności wektora Szablon:LinkWzór, w której funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji prawdopodobieństwa f(xSzablon:Sub,xSzablon:Sub,...,xSzablon:Sub) i zmiennej Szablon:Formuła, czyli jest to średnia tejże podanej funkcji: Szablon:CentrujWzór