Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym

Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym - jest to uogólnienie twierdzenia o rozkładzie normalnym jednej zmiennej. Ono określa, jeśli mamy n-wymiarowy wektor pomiaru: Szablon:Formuła oraz n-wymiarowy wektor wartości dokładnej: Szablon:Formuła, to jaka jest gęstość prawdopodobieństwo uzyskania n-wymiarowego wektora dla pomiarów wokół wartości dokładnej.

Wyprowadzenie twierdzenia o rozkładzie normalnym wielowymiarowym

Aby wprowadzić definicję gęstości prawdopodobieństwa uzyskania n wektorów, które symbolizują pomiary uzyskane w wyniku doświadczenia, a każde taki wektor z n jest m wymiarowy, które przedstawiają m pomiarów, różnych wielkości fizycznych uzyskanych jednocześnie. Każde takie m wielkości posiadają m wartości dokładnych. Mając wzór Szablon:LinkWzór, w nim można logarytm naturalny z liczby trafień w m-wymiarowy punkt przedstawić jako funkcję "g" z minusem, którego argumentem jest m-wymiarowy wektor przedstawiający n jednoczesnych pomiarów różnych wielkości fizycznych, dzięki której chcemy wyznaczyć m wartości dokładnych jednocześnie: Szablon:CentrujWzór

• gdzie m pomiarów jednoczesnych różnych wielkości fizycznych Szablon:Formuła i m wartości dokładnych Szablon:Formuła przedstawiamy:

Szablon:ElastycznyWiersz Rozwińmy funkcję Szablon:Formuła, którego argumentem jest m jednoczesnych pomiarów pomiarów i m wartości dokładnych, w szereg Taylora względem względem m wartości dokładnych, które są zapisane w postaci wektora Szablon:LinkWzór pomijając wyrazy trzeciego rzędu i wyższych w tym rozważanym szeregu: Szablon:CentrujWzór

Zbudujmy macierze B i A występujące w przedstawieniu przybliżonych funkcji g , czyli według Szablon:LinkWzór, gdzie macierz A jest wektorem poziomym pierwszych pochodnych cząstkowych względem wartości m pomiarów jednoczesnych xSzablon:Sub, a macierz B jest macierzą drugich pochodnych cząstkowych tej samej funkcji co poprzednio względem tych samych pomiarów: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie przedstawienia macierz A Szablon:LinkWzór i macierzy B Szablon:LinkWzór i definicji wektora m jednoczesnych pomiarów Szablon:LinkWzór i definicji wektora m wartości dokładnych tychże wspomnianych pomiarów Szablon:LinkWzór, funkcję g możemy napisać w sposób przybliżony wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Wedle wzoru Szablon:LinkWzór i przedstawienia funkcji g w szereg Taylora, który wektorowo zapisujemy wedle schematu Szablon:LinkWzór, zatem na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór dla n pomiarów m wartości prawdopodobieństwo tego zdarzenia zapisujemy wedle: Szablon:CentrujWzór Prawdpodobieństwo uzyskania n pomiarów m różnych wielkości fizycznych Szablon:LinkWzór powinno mieć największe prawdopodobieństwo, gdy we wspomnianym wzorze podstawimy, za każdy pomiar z n doświadczeń podstawimy jego wartość dokładną, w tym celu należy policzyć pierwszą pochodną względem jednego pomiaru z "n" m-wymiarowego wektora jednoczesnych pomiarów, który po dokonaniu wspomnianego podstawienia funkcją prawdopodobieństwa powinna przyjmować wartość ekstremalną, zatem dochodzimy do wniosku, że ta pierwsza pochodna powinna przyjmować wartość zero: Szablon:CentrujWzór Pierwsza pochodna Szablon:LinkWzór musi przyjmować wartość zerową, gdy za m-wymiarowe wyniki pomiarów Szablon:Formuła podstawimy jego wartości dokładne, zatem na podstawie tychże rozważań dostajemy we wspomnianym wzorze, że wektor poziomy A przyjmuje wartość zero w punkcie Szablon:Formuła. Wedle tychże rozważań prawdopodobieństwo uzyskania n m-wymiarowych pomiarów jest wyrażone przez: Szablon:CentrujWzór Dla pojedynczego pomiaru rozkład normalny prawdopodobieństwo uzyskania wektora jednoczesnych pomiarów, przy skorzystaniu ze wzoru Szablon:LinkWzór, który mówi coś o uzyskaniu m pomiarów jednoczesnych różnych wartości pomiarów, jest pisana: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór po podstawieniu za A wektora zerowego na podstawie powyższych rozważań przedstawia liczbę tych samych wektorów wyników pomiarowych z n niejednoczesnych pomiarów wektora wyników pomiarowych podzielonych przez n. Powyższy wzór jest spełniony, gdy mamy l poziomów, w którym te m-wymiarowe pomiary mogą posiadać składowe o pewnych wartościach. Gdy mamy m-wymiarową zmienne losowe ciągłe, to w tym przypadku gęstość prawdopodobieństwa jest opisywana tym samym wzorem co w przypadku dyskretnym, czyli równaniem Szablon:LinkWzór.

Wyznaczenie elementów macierzy B, wartość dokładna a wartość oczekiwana

Macierz Szablon:LinkWzór na podstawie przemienności różniczkowania jest macierzą przemienną względem dowolnego punktu, w którym ta macierz jest obliczona, zatem na podstawie tego można powiedzieć: Szablon:CentrujWzór

Dowód równości wartości oczekiwanej i dokładnej

Następnym krokiem jest policzenie wartości oczekiwanej funkcji wektorowej Szablon:Formuła, względem funkcji gęstości prawdopodobieństwa Szablon:Formuła przy m-wymiarowej przestrzeni. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór jest funkcją parzystą względem argumentu Szablon:Formuła, to wartość średnia względem wspomnianej funkcji jest równa zero ze względu na jej nieparzystość, co poniżej wykorzystano tą własność: Szablon:CentrujWzór Na podstawie powyższych rozważań, które zawierają obliczenia Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku, że m-wymiarowy wektor Szablon:Formuła jest wartością oczekiwaną Szablon:Formuła zmiennej Szablon:Formuła, bo jedynkowy moment μSzablon:Sub jest równy zero, tak jak powinno zachodzić zawsze dla tego obiektu statystycznego.

Definicja macierzy B poprzez macierz kowariancji

Korzystając z definicji funkcji prawdopodobieństwa dla pojedynczego m-wymiarowego pomiaru Szablon:LinkWzór, to wzór na wartość oczekiwaną Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony równania Szablon:LinkWzór względem wektora wartości dokładnej, która jest wektorem wartości najprawdopodobnych (oczekiwanych) Szablon:Formuła, oczywiste jest, że po tej operacji otrzymujemy bardziej skomplikowaną tożsamość, z którego będziemy wyprowadzać macierz B: Szablon:CentrujWzór Korzystając z symetryczności macierzy napisanej w punkcie Szablon:LinkWzór i omówionej dlaczego ta jest, to tożsamość napisana wedle Szablon:LinkWzór przyjmuje postać bardziej uproszczoną postać: Szablon:CentrujWzór Znów korzystamy z definicji funkcji prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór dla pojedynczego pomiaru, zatem możemy wyrazić tożsamość Szablon:LinkWzór w bardziej prostej postaci: Szablon:CentrujWzór Wykorzystujemy definicję normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór, która jest zapisana przy pomocy m-wymiarowej całki gęstości prawdopodobieństwa względem infinitezymalnej objętości należącej do tej przestrzeni przy całkowaniu po wszystkich punktach należących do tej przestrzeni: Szablon:CentrujWzór Korzystajmy ze wzoru na wartość oczekiwaną pewnej funkcji według wzoru Szablon:LinkWzór przy tutaj panującej gęstości funkcji prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór, wtedy można wartość oczekiwaną uzyskania m-wymiarowego wektora jednoczesnych pomiarów napisać sposobem: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór i warunek normowania gęstości funkcji prawdopodobieństwa względem m-wymiarowej przestrzeni Szablon:LinkWzór, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór można zapisać wedle równoważnej do poprzedniego wzoru w postaci: Szablon:CentrujWzór Z końcowego równania wynikowego Szablon:LinkWzór wyznaczmy macierz B, korzystając przy tym z wiadomości o macierzach z algebry: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że macierz BSzablon:Sup jest macierzą kowariancji zdefiniowanej w punkcie według definicji Szablon:LinkWzór przy jego dowodzie przeprowadzonego powyżej: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tych rozważań końcowych Szablon:LinkWzór macierz B jest odwrotnością macierzy kowariancji C.