Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie χ²

Twierdzenie o rozkładzie Szablon:Formuła - jest to rozkład statystyczny zmiennej Szablon:Formuła, która opisuje n doświadczeń statystycznych, w którym xSzablon:Sub są to wyniki uzyskane w pojedynczym doświadczeniu. Rozkład Szablon:Formuła można napisać, gdy ilość doświadczeń jest co najmniej skończona (policzalna).

Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden

Rozkład, który rządzi pojedynczą próbą jest to rozkład normalny, wyrażamy wzorem Szablon:LinkWzór. Napiszmy czemu jest równe prawdopodobieństwo uzyskania wyniku z przedziału (xSzablon:Sub-χxSzablon:Sub+χ), zatem na podstawie definicji gęstości prawdopodobieństwa wspomnianego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo uzyskania wyniku w tym przedziale wyrażamy wzorem poniżej. W jego kolejnych krokach przekształcamy go, tak by wyrazić go jako całkę obliczonej w (0,χ) wiedząc, że ta wspomniana gęstość jest funkcją parzystą względem parametru xSzablon:Sub-xSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór

Dokonajmy podstawienia zależnego od t, który jest ilorazem kwadratu zmiennej losowej s=xSzablon:Sub-xSzablon:Sub przez kwadrat odchylenia standardowego zmiennej x: Szablon:CentrujWzór Możemy zróżniczkować podstawienie określane wzorem Szablon:LinkWzór, dalej korzystając jeszcze raz ze wspomnianego podstawienia, mamy: Szablon:CentrujWzór

Wykorzystajmy podstawienie Szablon:LinkWzór oraz definicję różniczki Szablon:Formuła według Szablon:LinkWzór, to znając wszystkie te formuły, zatem podstawmy je do wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania wyniku wyżej określanym przedziale Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystajmy definicję Γ(λ) dla λ=1/2n=1/2, a także znając tożsamość Szablon:Formuła, to wtedy wzór na prawdopodobieństwo Szablon:LinkWzór uzyskania pomiaru w przedziale (-χ,χ) jest określone wzorem wynikających z obliczeń, którego wzór dla n=1, jest wyżej określaną formułą. Szablon:CentrujWzór A więc jego gęstość prawdopodobieństwa według wzoru na dystrybuantę zdarzenia Szablon:LinkWzór można napisać poprzez różniczkowanie go względem zmiennej losowej χSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Wiemy jednak, że wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony dla jednego przeprowadzonego doświadczenia, ale można udowodnić, że ten nasz wzór jest spełniony dla dowolnej ilości prób, tzn. n≥ 1.

Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki

Policzmy funkcję charakterystyczną przy podanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór, z definicji tejże funkcji charakterystycznej określanej jako wartość oczekiwaną funkcji eksponencjalnej exp(itx), co wedle definicji Szablon:LinkWzór możemy go napisać w postaci nieobliczonej jeszcze, co dokonamy w późniejszych etapach, dalej przedstawimy go w postaci pewnej całki: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawienia, która będzie nam potrzebna we wzorze na funkcję charakterystyczną względem zmiennej losowej χSzablon:Sup, które to podstawienie oznaczymy jako zmienną ν zdefiniowanej poprzez parametr t: Szablon:CentrujWzór Podstawienie Szablon:LinkWzór wykorzystujemy do wzoru na funkcję charakterystyczną Szablon:LinkWzór, stąd mamy: Szablon:CentrujWzór Funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej χSzablon:Sup jest funkcją napisaną w Szablon:LinkWzór. Funkcja charakterystyczna powiedziana jest w punkcie Szablon:LinkWzór przy parametrze λ, udowodnimy, że ona jest spełniona dla dowolnego n naturalnego większego od zera. Dla dowolnego n zmienną losową χSzablon:Sup określamy jako sumę po n doświadczeniach przeprowadzonych nad statystycznym układem poszczególnych wyników pomiarów podniesionych do kwadratu. Szablon:CentrujWzór Dla λ=1/2n, gdy oczywiście zachodzi n=1, to wtedy możemy określić z funkcji charakterystycznej Szablon:LinkWzór ściśle określoną gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnego "n". Jeśli λ=1/2, to z funkcji Szablon:LinkWzór na postawie twierdzenia Szablon:LinkWzór otrzymujemy przypadek n>1 poprzez wymnożenie funkcji charakterystycznych Szablon:LinkWzór dla n=1 przez siebie charakteryzują różne ale pojedyncze doświadczenia, stąd otrzymujemy funkcję charakterystyczną dla n≥1, wtedy zmienną losową jest Szablon:LinkWzór, tzn.: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że funkcją charakterystyczną Szablon:LinkWzór opisująca badany rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej Szablon:LinkWzór jest Szablon:LinkWzór, stąd rozkład gęstości prawdopodobieństwa Szablon:LinkWzór jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej χSzablon:SupSzablon:LinkWzór o dystrybuancie Szablon:LinkWzór dla n≥1.