Statystyka matematyczna/Metoda najmniejszych kwadratów

Matematyczny opis metody - jest to metoda aproksymacyjna dla punktów x∈(xSzablon:Sub,xSzablon:Sub,xSzablon:Sub,xSzablon:Sub,..,xSzablon:Sub), dla których wartości powinny wynosić: y∈(ySzablon:Sub,ySzablon:Sub,ySzablon:Sub,ySzablon:Sub,...,ySzablon:Sub).

Zbudujmy funkcję S(x), taką, że: Szablon:CentrujWzór Funkcja S jest taką funkcją, która jest najmniejsza przy wyborze funkcji należących do zbioru F przy parze (xSzablon:Sub,ySzablon:Sub).

Aproksymacja wielomianami WSzablon:Sub(x)

Obierzmy funkcję f(x) jako pewien wielomian w celu aproksymacji zbioru punktów Szablon:Formuła ze współczynnikami aSzablon:Sub w bazie n+1 wymiarowej, którego elementami bazy są wyrazy xSzablon:Sup, które tworzą funkcję y: Szablon:CentrujWzór Napiszmy wielomian Szablon:Formuła znając już obraną funkcję f(x), wedle definicji wielomianu Szablon:LinkWzór, wtedy zbudujmy nasz funkcjonał: Szablon:CentrujWzór

Zbadajmy przy jakich parametrach aSzablon:Sub funkcja S(x) Szablon:LinkWzór przyjmuje wartość najmniejszą, zatem przy tych warunkach Szablon:LinkWzór przyjmuje wartość ekstremalną, zatem wtedy z definicji ekstremum możemy policzyć pierwszą pochodną naszego wyrażenia i przyrównać ją do zera. Szablon:CentrujWzór Mamy już funkcję S(x) Szablon:LinkWzór oraz warunek ekstremum Szablon:LinkWzór, dalej wyznaczmy pewien wielomian, tzn. jego współczynniki o numerach aSzablon:Sub w celu wyznaczenia pełnej postaci wielomianu stopnia "r" Szablon:LinkWzór, które później przekształcimy go do bardziej zgrabnej postaci: Szablon:CentrujWzór

Na podstawie końcowych obliczeń zachodzących w punkcie Szablon:LinkWzór możemy stworzyć odpowiednią macierz B, a także wektor pionowy Szablon:Formuła, również wektor pionowy współczynników liniowych Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie wynikające z końcowego wniosku Szablon:LinkWzór można zapisać, na postawie definicji macierzy B Szablon:LinkWzór, a także z definicji wektora pionowego Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, a także Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, jako równanie macierzowe w postaci macierzowej: Szablon:CentrujWzór Z końcowego wzoru Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć współczynniki liniowe występujące w definicji wielomianu Szablon:LinkWzór.

• Jednakże musi zachodzić zawsze Szablon:Formuła, aby istniała jego macierz odwrotna. Również zachodzi z przedstawienia macierzy Szablon:LinkWzór właściwość:

Szablon:CentrujWzór Zatem macierz B na podstawie warunku Szablon:LinkWzór jest macierzą samą do siebie symetryczną.