Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne

Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego

Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając zakrzywienie czasoprzestrzeni uwzględniając jego człony przestrzenne.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór jest słuszna, bo udowodniliśmy, że Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór, a jeżeli Szablon:Formuła, to Szablon:LinkWzór przyjmuje wartość nieskończoną z dokładnością do znaku w mechanice Newtona (jest ona spełniona przy Szablon:Formuła, bo układy słabozakrzywione) przy przejściu Szablon:Formuła, a więc wtedy Szablon:LinkWzór jest niespełnione, stąd Szablon:Formuła w gęstości lagrangianu Szablon:LinkWzór, zatem postać gęstości lagrangianu rozważana w tym punkcie jest spełniona, a ona posłuży do wyliczenia jednego tylko tensora gęstości energii-pędu odpowiedzialnej tylko za oddziaływanie elektromagnetyczne. Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór Szablon:LinkWzór, zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu: Szablon:CentrujWzór Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór wykorzystując wyliczony fakt Szablon:LinkWzór, zatem wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Tensor energii-pędu Szablon:LinkWzór, jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu: Szablon:CentrujWzór A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według Szablon:LinkWzór ślad tensora gęstości energii pędu Szablon:LinkWzór jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy Szablon:Formuła.

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru Szablon:LinkWzór wedle następującego sposobu: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem Szablon:LinkWzór względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku: Szablon:CentrujWzór Następnie należy skorzystać ze wzoru Szablon:LinkWzór i ze wzoru Szablon:LinkWzór, czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella Szablon:LinkWzór i tożsamości Szablon:LinkWzór i w ten sposób korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze Szablon:LinkWzór, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość: Szablon:CentrujWzór Dlatego Szablon:Formuła, bo mamy układ lokalnie płaski o glokalnie stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością lokalnie stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest lokalnie stały, czyli zachodzi: Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie Szablon:LinkWzór jest w tych układach spełniona i zachodzi: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ z definicji tensora gęstości siły dla ładunku w polu elektromagnetycznym przedstawiamy wzorem Szablon:LinkWzór, stąd zachowawczość tensora energii-pędu tego pola jest równa: Szablon:CentrujWzór Łącząc wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz przechodząc od układów lokalnie płaskich do zakrzywionych mamy: Szablon:CentrujWzór Ostatnie równanie w Szablon:LinkWzór jest równaniem na cechowanie w polu elektromagnetycznym w układach zakrzywionych. To cechowanie dla układów zakrzywionych jest bardzo podobne do cechowania Szablon:LinkWzór dla układów słabozakrzywionych, tylko zamiast średnika tam są przecinki.

Całkowita gęstość lagrangianu i pędu

Wyznaczymy tutaj całkowitą gęstość lagrangianu i pędu znając gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego.

Całkowita gęstość lagrangianu masowego

Całkowity lagrangian masowy jest sumą lagrangianu mechanicznego Szablon:LinkWzór i elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Całkowita gęstość lagrangianu

Całkowita gęstość lagrangianu jest sumą lagrangianu przestrzennego i masowego, stąd: Szablon:CentrujWzór

Całkowita gęstość pędu

Wyznaczmy gęstość tensora pędu uogólnionego, wiedząc, że mamy Szablon:LinkWzór, znając wzór na całkowitą gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Całkowity lagrangian i pęd

Wyznaczymy tutaj całkowity lagrangian i pęd z ich odpowiedników, które są całkowitymi gęstościami lagrangianu i pędu.

Całkowity lagrangian masowy

We wzorze Szablon:LinkWzór aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu należy go scałkować w sposób: Szablon:CentrujWzór

Całkowity lagrangian

We wzorze Szablon:LinkWzór aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób: Szablon:CentrujWzór

Pęd uogólniony ładunku punktowego

A pęd uogólniony można otrzymać całkując gęstość pędu uogólnionego Szablon:LinkWzór zakładając, że ładunek jest punktowy: Szablon:CentrujWzór

Gęstość hamiltonianu masowego

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie Szablon:LinkWzór, znając gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór i gęstość pędu Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Hamiltonian Szablon:LinkWzór jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.

Całkowita gęstość hamiltonianu

Widzimy, gdy we wzorze Szablon:LinkWzór na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu Szablon:LinkWzór piszemy w formie: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że w Szablon:LinkWzór hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór.

Całkowity tensor gęstości energii-pędu

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego Szablon:LinkWzór i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu Szablon:LinkWzór piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych po zamienieniu przecinka średnikiem.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

Jeżeli jest spełniona własność Szablon:LinkWzór (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu Szablon:LinkWzór dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych: Szablon:CentrujWzór jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego: Szablon:CentrujWzór Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór i tensorze dualnym Szablon:LinkWzór według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są: Szablon:ElastycznyWiersz Jest również spełnione cechowanie Lorentza na podstawie cechowania Lorentza Szablon:LinkWzór w układach lokalnie płaskich: Szablon:CentrujWzór A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości Szablon:LinkWzór w układach lokalnie płaskich: Szablon:CentrujWzór Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.