Ogólna teoria względności/Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności jest współczesną teorią, która opisuje grawitację w sposób bardziej dokładny niż teoria grawitacji Newtona, która jest on opisana przez: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła siła grawitacji działa wzdłuż wektora Szablon:Formuła (jest to różnica położenia ciała B i ciała A), która charakteryzuje oddziaływanie ciała A na ciało B, ale o zwrocie przeciwnym niż wektor położenia ciała B względem ciała A.

Postulaty teorii względności

Postulat pierwszy - jest uogólnienie zasady Galileusza, ale też i Einsteina ze szczególnej teorii względności, że układy poruszające się z przyspieszeniem zerowym lub mającym pewną wartość, to w tych układach spełnione są prawa fizyki.

Postulat drugi - prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, nawet w tych układach poruszających się z pewnym niezerowym przyspieszeniem.

Elementy ogólnej teorii względności

Szczególna teoria względności wyróżnia pewne klasy układów odniesienia zwanych układami inercjalnymi. Szczególna teoria nie ma grawitacji, więc należy sformułować tak nową teorię (OTW), by wszystkie układy odniesienia były równoprawne i zawierały grawitację.

Zasady równoważności

Przedstawimy tutaj słabą i silną zasadę równoważności.

Słaba zasada równoważności

Obserwator znajduje na Ziemi, i zauważa, że na niego działa jakaś siła grawitacji, która wywołuje siła ciężkości działająca na nasze ciało. Innym razem obserwator znajduje się w kosmosie w rakiecie, która porusza się z przyspieszeniem Szablon:Formuła w sposób płynny, on nie zauważa żadnej różnicy, między układem na Ziemi czy w rakiecie, czyli który układ jest inercjalny? A zatem jeśli założymy, że nasz układ jest inercjalny, to pochodne cząstkowe elementów tensora metrycznego są równe zero. Ale w myśl tej zasady również układy nieinercjalne są nierozróżnialne od inercjalnych. A zatem prawa wyprowadzone dla układów inercjalnym powinny być słuszne też w nieinercjalnych układach odniesienia. Tzn.: pochodną cząstkową zwykłą zastępujemy pochodną tensorową, bo symbole Christoffela są równe zero, a następnie w myśl tej zasady można uogólnić otrzymane prawa na układy również nieinercjalne, w których symbole Christoffela nie muszą się zerować.

Silna zasada równoważności

Każde prawo fizyczne w sformułowane w szczególnej teorii względności w postaci tensorowej w układzie lokalnie płaskim (inercjalnym) ma taką samą postać w ogólnej teorii względności, czyli w czasoprzestrzeni zakrzywionej.

Czasoprzestrzeń w ogólnej teorii względności

Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią absolutną z trójwymiarową przestrzenią znanej z mechaniki Newtona i czwartą współrzędną zwanej współrzędną czasową.

Metryka w czasoprzestrzeni może przybierać postać lorentzowską, przez obranie układu inercjalnego, który jest układem lokalnie płaskim w danym punkcie przestrzeni.

Kontrawariantny czterowektor położenia

Kontrawariantnym czterowektorem położenia w ogólnej teorii względności nazywamy wektor: Szablon:CentrujWzór

Sygnatura dodatnia i ujemna

Sygnatura (1,-1,-1,-1) tensora metrycznego Minkowskiego jest w lokalnej płaskości czasoprzestrzeni zakrzywionej, o tej sygnaturze jest tensor metryczny przedstawiony w równaniu Szablon:LinkWzór, tą sygnaturę nazywamy dodatnią, a sygnaturę (-1,1,1,1), czyli nazywamy ją ujemną, która występuje w równaniu Szablon:LinkWzór.

Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności przedstawiamy w analogii do interwału szczególnej teorii względności, w której zastąpujemy tensory metryczne Minkowskiego innymi tensorami metrycznymi, które w ogólności nie są diagonalne, a kwadrat interwału czasoprzestrzennego przy sygnaturze tensora metrycznego Minkowskiego dodatniej i ujemnej przedstawiają się kolejno: Szablon:ElastycznyWiersz

• gdzie: Szablon:Formuła, to tensor metryczny.

Udowodnimy, że jeśli w jednym układzie współrzędnym metrykę przedstawiamy wedle sposobu Szablon:LinkWzór, to w innym w układzie współrzędnym kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego pozostaje niezmienny, zatem to udowodnijmy, stosując tym razem konwencję Einsteina: Szablon:CentrujWzór

• Wzgledem sygnatury (drugiej) przedstawionej w Szablon:LinkWzór dowód przedbiega podobnie jak dla pierwszej sygnatury według Szablon:LinkWzór.

Na podstawie dowodu Szablon:LinkWzór kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest niezmiennikiem, tzn. jego infinitezymalna wartość nie zależy od wyboru układu współrzędnych, tzn. nie zależy względem jakich współrzędnych liczymy naszą metrykę.

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego Szablon:LinkWzór jest większy od zera, gdy mamy do czynienia z cząstką o masie spoczynkowej różnej od zera, natomiast dla fotonów lub dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero, to kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest równy zero.

Przykładem tensora metrycznego jest tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni Einsteina w czterowymiarowej czasoprzestrzeni) znany w płaskiej przestrzeni, w której nie ma pola grawitacyjnego, którego postać można napisać dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia - Szablon:LinkWzór, sygnatura ujemna - Szablon:LinkWzór): Szablon:ElastycznyWiersz Dla tensora metrycznego Szablon:LinkWzór (sygnatura dodatnia) i Szablon:LinkWzór (sygnatura ujemna) interwał czasoprzestrzenny obliczony według Szablon:LinkWzór, tzn. w szczególnej teorii względności, jest napisany: Szablon:CentrujWzór Interwał Szablon:LinkWzór jest podstawą szczególnej teorii względności. Widzimy, że w powyższym interwale współrzędne przestrzenne są na równi sobie, niezależne z jakimi mamy do czynienia współrzędnymi przestrzennymi, współrzędna czasowa w tym interwale jest wyróżniona, czas w metrach (ct) jest iloczynem prędkości światła i czasu w sekundach.

Czterowektor prędkości

Czterowektorem prędkości zdefiniowanej jako pochodną kontrawariantnego czterowektora położenia względem interwału czasoprzestrzennego Szablon:LinkWzór nazywamy wielkość zdefiniowaną: Szablon:CentrujWzór Wielkość Szablon:Formuła jest to jest interwał czasoprzestrzenny dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera i dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero.

Czterowektor pędu

Czterowektorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowaną: Szablon:CentrujWzór

Czterowektor pędu a masa spoczynkowa cząstki

Jeśli będziemy korzystali ze wzoru Szablon:LinkWzór (sygnatura dodatnia) i Szablon:LinkWzór (sygnatura ujemna), to je można równoważnie razem zapisać w sposób najpierw dzieląc obustronnie przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera) dla obu sygnatur, tzn.: dla sygnatury dodatniej (znak u góry) i ujemnej (znak u dołu): Szablon:CentrujWzór Gdy mamy cząstkę o masie spoczynkową równej zero, wtedy musimy podzielić równanie Szablon:LinkWzór obustronnie przez kwadrat różniczki dowolnego parametru λ, wtedy czterowektor prędkości definiujemy podobnie jak dla cząstki masowej, wtedy otrzymujemy równanie inne niż Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór wymnażamy obustronnie przez wyrażenie (mSzablon:Subc)Szablon:Sup, korzystając z definicji czterowektora pędu Szablon:LinkWzór, dostajemy inne równoważne do Szablon:LinkWzór równanie w postaci dla sygnatury dodatniej (znak u góry) i ujemnej (znak u dołu): Szablon:CentrujWzór Jak udowodniliśmy równanie Szablon:LinkWzór jest słuszne tylko dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera, ale równanie Szablon:LinkWzór możemy uogólnić dla cząstek o wszystkich masach spoczynkowych. Równość Szablon:LinkWzór możemy napisać dla układów rozciągłych w postaci: Szablon:CentrujWzór

Infinitezymalny czas własny i infinitezymalna długość własna

Infinitezymalnym czasem własnym mierzoną przez zegary w ogólnej teorii względności nazywamy wielkość, który dany obserwator doświadczający dwóch zdarzeń bliskich w czasie doświadcza w układzie własnym, że dla niego czas w układzie w którym cząstka spoczywa (układ własny) jest mierzony w zależności od czasu w układzie, w którym cząstka porusza się: Szablon:CentrujWzór Infinitezymalną długością własną mierzoną przez pręty między dwoma sąsiednimi punktami nazywamy długość zdefiniowaną: Szablon:CentrujWzór Długość własna w układzie własnym spoczywającym jest równa długości pręta w układzie spoczywającym, tzn. w układzie współrzędnym. gdy długość pręta między oba jego końcami mierzymy w tym samym czasie współrzędnościowym, czyli dla spoczywającego pręta względem układu dla pręta poruszającego się. Odpowiednie infinitezymalne czasy własne między dwoma zdarzeniami i infinitezymalne długości własne dwóch sąsiednich zdarzeń istnieją, jeśli pod pierwiastki są wielkości infinitezymalne, ale dodatnie.

Niezmienniczość Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które można je liczyć w dowolnym układzie współrzędnym, można tak samo udowodnić, jak przy dowodzie na niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego (dowód Szablon:LinkWzór).

Nieinercjalne układy odniesienia a czasoprzestrzeń

Przykład - układ rotujący ze stałą prędkością kątową ω

Teraz przedstawmy układ rotujący ze stałą prędkością z częstotliwością kołową: Szablon:Formuła, to jego wartość prędkości w zależności od częstotliwości kołowej i promienia od pewnego punktu względem którego następuje obrót ma się jako według wzoru Szablon:Formuła, to jego interwał czasoprzestrzenny w zależności od interwału czasoprzestrzennego w układzie inercjalnym przestawiam się: Szablon:CentrujWzór W układzie nieinercjalnym ciało rotujące jest w spoczynku, jeśli na układ działa siła odśrodkowa, to: Szablon:Formuła, to można powiedzieć, że ta siła równoważy siła grawitacji, według teorii równoważności. To energia kinetyczna ciała obracającego ma się jako: Szablon:Formuła, a energia potencjalna w układzie nieinercjalnym ma się jako:Szablon:Formuła Można przyjąć, że w takim układzie całkowita energia mechaniczna, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się zero lub z dokładnością do stałej, ale w naszym przypadku lepiej przyjąć za tą stała jest liczbą zero, zatem: Szablon:Formuła, to Szablon:Formuła. A zatem nasz interwał czasoprzestrzenny przedstawia się względem ostatnich rozważań i wzoru na interwał czasoprzestrzenny Szablon:LinkWzór dla obu sygnatur (znak plus u góry to sygnatura dodatnia, w przeciwnym przypadku ujemna): Szablon:CentrujWzór Dochodzimy więc do wniosku, że wedle wzoru Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, że element tensora metrycznego, a mianowicie element o współczynnikach dolnych zerowych przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że ona zależy od potencjału skalarnego pola grawitacyjnego słabego, a więc można powiedzieć, że w układzie nieinercjalnym siły bezwładności zastępują siły grawitacji. Według zasady równoważności nie rozróżnia się sił grawitacji od sił pochodzenia nieinercjalnego (siły bezwładności), a zatem można powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy układ zwykły oznaczony współrzędnymi: Szablon:Formuła, to w układzie rotującym układ jest względem współrzędnych: Szablon:Formuła, czyli obracającym się ze stałą prędkością kątową ω, to transformacje z układu obracającego się do układu nieobracającego mają się jak: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Można policzyć różniczki zupełne wyrażeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które są takowymi transformacjami z jednego układu współrzędnych do drugiego: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Obliczenia na liczbach ogólnych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawiamy w uproszczeniu jako kombinacje różniczek współrzędnych i czasu: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Interwał czasoprzestrzenny w układzie inercjalnym przedstawia wedle sposobu Szablon:LinkWzór. Mając transformacje różniczek, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wyznaczmy wedle jakiego sposobu przedstawia się on w układzie nieinercjalnym i w ten sposób możemy wyznaczyć elementy tensora metrycznego w nieinercjalnym układzie odniesienia względem układu czysto inercjalnego, który porusza się względem innych układów inercjalnym ze stałą prędkością kątową: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które są potrzebne do obliczeń interwału w układzie nieinercjalnych w Szablon:LinkWzór wedle współrzędnych w układzie nieinercjalnym: Szablon:CentrujWzór a także drugie pomocnicze obliczenia: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy, że interwał czasoprzestrzenny na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór i obliczeń pomocniczych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawia się względem współrzędnych nieinercjalnych: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór grupujemy wyrazy względem tych samych różniczek względem nieinercjalnego układu współrzędnych, wtedy dostajemy wzór na interwał czasoprzestrzenny w naszym rozważanym układzie współrzędnym: Szablon:CentrujWzór Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie współrzędnych możemy napisać na podstawie definicji interwału znanej ze szczególnej teorii względności przy definicji kwadratu infinitezymalnego interwału Szablon:LinkWzór dla sygnatury dodatniej i ujemnej (wiedząc, że elementy w tej sygnaturze względem sygnatury dodatniej mają przeciwne parametry): Szablon:ElastycznyWiersz Warto zauważyć, że elementy pozadiagonalne tensora metrycznego, wskazują na jakiś rodzaj rotacji wedle naszego przedstawienia interwału Szablon:LinkWzór układu nieinercjalnego względem inercjalnego.

Wprowadzenie do tensorów Einsteina w postaci tensorowej

Tensor Einsteina

Wyprowadzimy tutaj tensor Einsteina i wyznaczmy pochodną tensorową tego tensora i przekonamy się, że ona wynosi zero. Tożsamość Bianchiego, które podamy tutaj bez dowodu, ale jego dowód znajduje się w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach na tensorach będziemy korzystać, z własności na tensorze Ricciego: gSzablon:SupRSzablon:Sub=RSzablon:Sub, oraz z antysymetryczności przedstawiania wskaźników pierwszej pary lub drugiej. Zastosujmy zwężenie tożsamości Bianchiego wymnażając obustronnie przez podwójnie kontrawariantny tensor metryczny gSzablon:Sup tożsamość Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy teraz ponownego zwężania ostatniej równości Szablon:LinkWzór, a także korzystając znów w naszej równości tensorowej z własności na tensorach Ricciego: Szablon:CentrujWzór Po ostatnich przekształceniach, i po przemianowaniu wskaźników w równaniu Szablon:LinkWzór wedle schematu α→γ, wtedy dojdziemy do następnego równania: Szablon:CentrujWzór Wykorzystujemy definicję delty Kroneckera oraz wykorzystujemy go do pierwszego wyrazu w równaniu tensorowym Szablon:LinkWzór, a także redukujemy wyrazy podobne w tym samym równaniu: Szablon:CentrujWzór Idąc dalej by mieć górne wskaźnik przy tensorach w równaniu tensorowym Szablon:LinkWzór należy to równanie tensorowe wymnożyć przez tensor gSzablon:Sup, wtedy dostaniemy co chcieliśmy. Szablon:CentrujWzór Wyłączając pochodną tensorową przed nawias i wykorzystując przy tym, że pochodna tensorowa elementów tensora metrycznego jest równa zero, wtedy Szablon:LinkWzór przechodzi w równanie: Szablon:CentrujWzór Tensor występujący pod pochodną tensorową Szablon:LinkWzór nazywamy tensorem Einsteina i jest funkcją dwuwskaźnikowego tensora krzywizny RSzablon:Sup, skalaru krzywizny R, a także jest funkcją tensora metrycznego, który panuje w danej geometrii w przestrzeni czterowymiarowej. Szablon:CentrujWzór Tensor Einsteina Szablon:LinkWzór na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór ma taką własność, że jego pochodna tensorowa względem wskaźnika α występujący w jego definicji Szablon:LinkWzór jest równa zero. Szablon:CentrujWzór Tensor Einsteina Szablon:LinkWzór można zapisać w postaci bezwskaźnikowej, tzn. bez powiedzenia z jakiego typu tensorem mamy do czynienia w przypadku tensora Einsteina GSzablon:Sup, który można zdefiniować nie tylko w postaci jakby miał tylko górne wskaźniki, ale wszystkie te zapisy tensorowo są równoważne w zapisie wspomnianego tensora. Szablon:CentrujWzór Wyprowadzona własność tensora Einsteina jest bardzo potrzebna w ogólnej teorii względności i jest wykorzystana w równaniach tensorowych Einsteina opisująca grawitację.

Rozszerzony tensor Einsteina

Rozszerzony tensor Einsteina zdefiniujmy w oparciu o tensor Einsteina Szablon:LinkWzór o stałą kosmologiczną Λ: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy pochodną tensorową rozszerzonego tensora Einsteina Szablon:LinkWzór względem współrzędnej kontrawariantnej o numerze β, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero: Szablon:CentrujWzór Doszliśmy więc do wniosku, że rozszerzony tensor Einsteina ma te same własności, co zwykły tensor Einsteina.

Czy istnieją układy lokalnie, a nie globalnie płaskie

Twierdzenie o lokalnej płaskości czasoprzestrzeni (przestrzeni czterowymiarowej)

Przestrzeń jest lokalnie płaska w czasoprzestrzeni Einsteina, że w danym otoczeniu punktu mamy doczynienia z czasoprzestrzenią Minkowskiego, bo przestrzeń, która jest rozwiązaniem ogólnej teorii względności nie może być globalnie płaska, ale może być spełniona tylko w przybliżeniu w otoczeniu pewnego punktu w którym na płaskość obowiązuje, w której mamy tensor metryczny w przybliżeniu Minkowskiego Szablon:LinkWzór, gdy pochodne zupełne tego tensora metrycznego są równe zero, tzn.: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła jest to tensor metryczny Minkowskiego Szablon:Formuła z małą poprawką do niego by z bardzo dużą dokładnością był spełniony powyższy warunek.

Zakładamy, że istnieje przekształcenia między aktualną przestrzenią, a układem lokalnie płaskim, które jest prawdziwy dla punktu, w którym ta lokalna płaskość jest spełniona według: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła- jest to tensor metryczny Minkowskiego.

A także również zachodzi dla ściśle określonego punktu w przestrzeni lokalnie płaskiej równanie Szablon:LinkWzór, i ze względu na symetryczność ogólnej definicji tensora metrycznego ma on w rezultacie 1+2+3+4=10 niezależnych składowych, a ilość składowych tensora Szablon:Formuła jest 4· 4=16 elementów, zatem ilość niezależnych stopni swobody w równaniu Szablon:LinkWzór jest równa 16-10=6. Te sześć stopni swobody odpowiada sześciu stopniom swobody przekształcenia Lorentza, tzn. nasz układ można przesunąć z prędkością $\overrightarrow{v}$ względem trzech jego niezależnych współrzędnych lub obrócić badany układ o trzy niezależne kąty. W sumie mamy sześć stopni swobody Szablon:Formuła, które powodują, że lokalny układ inercjalny pozostanie układem inercjalnym. Według równania Szablon:LinkWzór ilość niezależnych równań jest 10·4=40 (jest 10-to ilość niezależnych składowych tensora metrycznego, który jest jak wiadomo symetryczny i cztery niezależne składowe tensora kontrawariantnego położenia), daje nam też 40 stopni swobody. Ponieważ w tym punkcie lub jego otoczeniu istnieje tensor metryczny Minkowskiego, to małe poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy tak wybrać, by były spełnione równania Szablon:LinkWzór, co w połączeniu z Szablon:LinkWzór daje nam pewne Szablon:Formuła, które możemy tak obrać by były spełnione omawiane warunki lokalnej płaskości. Jeśli mamy dany punkt układu lokalnie płaskiego wedle Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to tensor Christoffela dla tego punktu jest równy zero i według twierdzenia Taylora istnieje w otoczeniu tego punktu w przybliżeniu canaj wyżej do wyrazów liniowych tensora krzywizny (należy pamiętać, że pochodna cząstkowa tensora krzywizny dla układu lokalnie płaskiego jest równa zero), w którym są spełnione te zależności, też istnieje w przybliżeniu lokalna płaskość dla punktów tego otoczenia. Zatem na podstawie powyższych rozważań zawsze istnieje układ lokalnie płaski, w których dla tych punktów spełnione są Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór.

Tensor gęstości energii-pędu

Definicja tensora gęstości energii-pędu

W szczególnej teorii względności tensor gęstości energii-pędu przedstawia się według Szablon:LinkWzór wzorem: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to tam tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego o sygnaturze dodatniej,
• gdy mamy synaturę przeciwną, tzn.: sygnaturę ujemną, to tensor gęstości energii-pędu ma się jako:

My zawsze będziemy przyjmować jak w szczególnej teorii względności tą sygnaturę pierwszą. Wielkość: Szablon:Formuła jest to pochodna dla μ=0 współrzędnej czasowej zdefiniowanej xSzablon:Sup=ct względem interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanej przez: Szablon:Formuła, gdy mamy:Szablon:Formuła, to jest ona pochodna współrzędnej położenia cząstki względem tak samo zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego.

Należy pamiętać, że ρSzablon:Sub - to gęstość spoczynkowa, p - to ciśnienie cząstki płynu, w danym punkcie. A także zależy od jej prędkości światła (fal elektromagnetycznych).

Miano tensora gęstości energii-pędu ma się jak: Szablon:CentrujWzór

W ogólnej teorii względności, zastępując wedle schematu Szablon:Formuła, oraz metrykę Minkowskiego przez inną metrykę zdefiniowaną zdefiniowaną poprzez tensor Szablon:Formuła, czyli wtedy mamy Szablon:LinkWzór dla sygnatury dodatniej, a dla ujemnej Szablon:LinkWzór, które na ogół nie są tensorami metrycznymi Minkowskiego w OTW, ale może być, przy pierwszej sygnaturze tensora metrycznego Minkowskiego mamy dla tensora energii-pędu w ogólnej teorii względności: Szablon:CentrujWzór Dla drugiej o sygnaturze otrzymujemy względem przedstawienia tensora gęstości energii-pędu Szablon:LinkWzór, w takim razie: Szablon:CentrujWzór Z powyższych definicji wynika, że dla tensora metrycznego jako tensora symetrycznego, wynika symetryczność tensora gęstości energii-pędu przy dowolnym tensorze metrycznym. Na podstawie symetryczności tensora metrycznego wynika, że ten tensor jest macierzą iloczynu skalarnego w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Można też sformułować tensor gęstości energii-pędu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zastępując Szablon:Formuła przez Szablon:Formuła, gdzie Szablon:Formuła jest dowolną funkcją Szablon:Formuła, gdzie Szablon:Formuła są to współrzędne kontrawariantne w czasoprzestrzeni, a Szablon:Formuła to tensor metryczny podwójnie kontrawariantny, dalej Szablon:Formuła to interwał czasoprzestrzenny. Zatem nasze równania dla sygnatury kolejno dodatniej i ujemnej, spełnione ogólnie: Szablon:ElastycznyWiersz Równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór można też zapisać przy innych układach wskaźników, wtedy zamiast tensora metrycznego jest delta Kroneckera ze wskaźnikiem u góry i u dołu, a jeden tensor prędkości (względem Szablon:Formuła) jest u dołu, zatem: Szablon:ElastycznyWiersz A dla przestrzeni lokalnie płaskiej nasze równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyglądają, te równania są pisane dla szczególnej teorii względności, w którym one są spełnione, a w ogólnej teorii względności są spełnione tylko szczególnie, dla tych sygnatur kolejno, tak: Szablon:ElastycznyWiersz

Zasada zachowania energii-pędu a jego lokalność

Z wykładu o szczególnej teorii względności mamy, że zachodzi lokalna zasada zachowania energii-pędu Szablon:LinkWzór z gęstością siły zewnętrznej równą zero: Szablon:CentrujWzór Powyższy wzór jest spełniony dla punktów układu lokalnie płaskiego, w których zachodzą tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, czyli tensor metryczny jest w przybliżeniu tensorem Minkowskiego i jego pierwsze pochodne względem współrzędnych kontrawariantnych są równe zero, ale już o wyższych pochodnych tensora gęstości energii, lokalna definicja lokalnej płaskości nić nie mówi o tych pochodnych, zatem również mamy do czynienia z metryką prawie płaską, gdy mamy do czynienia z układami, w których punktach istnieje słabe pole grawitacyjne, jak np. dla metryki obowiązujących dla pól Newtonowskich. Uogólnijmy ten wzór na dowolną metrykę, ogólnie nie tylko na lokalną płaską metrykę Minkowskiego, ale za tą metrykę obowiązującą wedle ogólnej teorii względności, którą poznamy i z którego będziemy wyznaczać elementy tensora metrycznego i przy pomocy, której będziemy tworzyć definicję kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego wtedy wzór na zachowawczość tensora gęstości energii i pędu jest: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie określa zasadę zachowania energii-pędu dla dowolnej przestrzeni zakrzywionej. Gdy siły zewnętrze są nierówne zero, to wtedy z definicji Szablon:Formuła, tzn.: Szablon:LinkWzór mamy w szczególnej teorii względności: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wzór Szablon:LinkWzór przechodzi Szablon:LinkWzór, gdy gęstość tensora siły zewnętrzne jest równa zero. W przestrzeni zakrzywionej równość Szablon:LinkWzór przechodzi w: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wzór Szablon:LinkWzór przechodzi Szablon:LinkWzór, gdy gęstość tensora siły zewnętrzne jest równa zero.

Równania powiązane tensora Einsteina z tensorem gęstości energii-pędu

Równania pola Einsteina

Tutaj przedstawmy równania Einsteina bez stałej kosmologicznej, które można zapisać dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego, słuszne dla obu sygnatur, kolejno w postaci: Szablon:ElastycznyWiersz Gdy uwzględnimy inne pola, niż grawitacyjne, a także inne siły, to należy zastąpić w Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór według schematu: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór mamy tensor Szablon:Formuła, którym jest Szablon:LinkWzór (sygnatura dodatnia) lub Szablon:LinkWzór (sygnatura ujemna), albo gdy zamiast Szablon:Formuła jest Szablon:Formuła, to wtedy jest on: Szablon:LinkWzór (sygnatura dodatnia) lub Szablon:LinkWzór (sygnatura ujemna). Również mamy tensor Szablon:Formuła, który jest tensorem np. od pola elektromagnetycznego, czy też od innego, a także w nim muszą być uwzględnione wszystkie siły zewnętrzne. Dla równania Szablon:LinkWzór dla przyciągania grawitacyjnego (równania dla odpychania grawitacyjnego w każdym etapie tu przeprowadzonym otrzymujemy z równania dla jej wersji przyciągającej poprzez podstawienie: Szablon:Formuła) zastosujemy definicję tensora Einsteina, to równanie grawitacji na podstawie Szablon:LinkWzór zapisujemy w postaci pełnej: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że tensor Einsteina (lewa strona równania Einsteina Szablon:LinkWzór) jest zależna od dwuwskaźnikowego tensora krzywizny oraz od skalaru krzywizny. W powyższym wzorze tensor Einsteina jest w proporcjonalny do tensora gęstości energii. Przekształcając równanie Einsteina Szablon:LinkWzór tak by otrzymać jego odwrotną postać, gdy tensor czegoś w rodzaju równania Einsteina omawianego wcześniej, czyli: Szablon:CentrujWzór Z równań Einsteina można udowodnić, że przechodzi on do postaci, które poniżej podamy ale bardzo podobnych do oryginalnych równań Einsteina Szablon:LinkWzór, gdy wszystkie tensory w równaniu Einsteina przedstawimy jako kowariantno-kontrawariantnego tensora i dokonując sumować po tych samych wskaźnikach górno-dolnych i po tych czynnościach dostajemy skalary odpowiednich wielkości, tzn. skalaru krzywizny i skalaru tensora gęstości napięć-energii, dzięki których możemy dokonać dalszych operacji: Szablon:CentrujWzór Dokonując pewnych przekształceń pewnych wyrażeń w Szablon:LinkWzór, wtedy wiemy po tych dysputach, że skalar krzywizny ma się jako: Szablon:CentrujWzór Widzimy względem ostatniego wzoru, że skalar krzywizny jest proporcjonalny do skalaru tensora gęstości napięć-energii. Wzór Szablon:LinkWzór na skalar krzywizny podstawiamy do równania Einsteina Szablon:LinkWzór za skalar krzywizny (za R), wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Następnie możemy przenieść pewne wyrazy nie będące tensorem krzywizny na prawą stronę, a więc równanie tensorowe Einsteina przestawia się: Szablon:CentrujWzór Równanie pola Szablon:LinkWzór względem wcześniejszych obliczeń jest równoważne równaniu Szablon:LinkWzór, a równanie tensorowe dla odpychania grawitacyjnego Szablon:LinkWzór otrzymujemy z jej wersji, ale przyciągającej, zastępując w Szablon:LinkWzór przez proste wspomniane zastąpienie, wtedy otrzymujemy drugi wzór niżej, a ten wzór jest równoważny równaniu Szablon:LinkWzór, w takim razie: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Einsteina wyjściowe, tzn.: Szablon:LinkWzór, jest słuszne dla obu sygnatur, podobnie jest z równaniem Szablon:LinkWzór, które wyprowadziliśmy z ich wersji, ale wejściowych.

Równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej

Przedstawmy równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej, czyli musimy uwzględnić rozszerzony tensor Einsteina w postaci Szablon:LinkWzór, a więc równanie Einsteina Szablon:LinkWzór Szablon:LinkWzór z jego uwzględnieniem o dodatkowy wyraz są dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego przedstawione kolejno: Szablon:ElastycznyWiersz Podstawiając za OSzablon:Sup definicję tego tensora wedle Szablon:LinkWzór, czyli z uwzględnieniem stałej kosmologicznej Λ, wtedy dostajemy równanie grawitacji Einsteina dla obu rodzajów oddziaływania grawitacyjnego kolejno: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór dla oddziaływania grawitacyjnego przyciągającego (dla odpychania grawitacyjnego w każdym etapie tu przeprowadzonym otrzymujemy z równania z jej wersji, ale dla oddziaływania przyciągającego, poprzez podstawienie: Szablon:Formuła) można zapisać w postaci bezwskaźnikowej bez uwzględnienia z jakimi tensorami mamy do czynienia: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest tensorem Einsteina i ona jest zdefiniowane wedle Szablon:LinkWzór.

Policzmy ślady w równaniu tensora Einsteina Szablon:LinkWzór względem niemych tych samych wskaźników górno-dolnych do wyznaczenia ich jako skalarów tychże wielkości, czyli tensor Einsteina przedstawimy w postaci kowariantno-kontrawariantnego tensora Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że skalar tensora Einsteina jest równa skalarowi krzywizny z dokładnością do minusa.

Uwzględniając definicję rozszerzonego tensora Einsteina w równaniu Einsteina Szablon:LinkWzór, gdy w ogólności stała kosmologiczna jest nie równa zero, zatem licząc ich ślady, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Biorąc policzoną wartość skalaru G Szablon:LinkWzór podstawiamy do równania skalarnego Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równość: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że skalar krzywizny zależy od stałej kosmologicznej i skalaru tensora gęstości energii, stąd mamy czemu jest równy skalar Ricciego, poniżej mamy równania Einsteina w jego pełnej postaci z uwzględnieniem stałej kosmologicznej zapisując je w postaci bezwskaźnikowej: Szablon:CentrujWzór Wszystkie wyrazy po lewej stronie przenosimy na prawą stronę równania Szablon:LinkWzór oprócz tensora krzywizny, wtedy dostajemy po przekształceniu: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym krokiem jest podstawienie za skalar krzywizny Ricciego, w równaniu tensorowym Szablon:LinkWzór wyrażenia policzonego w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy po dokonanych operacjach tuż po, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Po krótkich przekształceniach i redukcji pewnych wyrazów w Szablon:LinkWzór, otrzymujemy że tensor dwuwskaźnikowy krzywizny jest równy pewnemu wyrażeniu, bardzo podobnego do pierwotnego równania Einsteina Szablon:LinkWzór z uwzględnieniem stałej kosmologicznej. Szablon:CentrujWzór Równanie pola Szablon:LinkWzór względem wcześniejszych obliczeń jest równoważne równaniu Szablon:LinkWzór, a równanie tensorowe dla odpychania grawitacyjnego Szablon:LinkWzór otrzymujemy z jej wersji, ale dla oddziaływania przyciągającego, zastępując w Szablon:LinkWzór przez proste wspomniane zastąpienie, wtedy otrzymujemy drugi wzór niżej, a ten wzór jest równoważny równaniu Szablon:LinkWzór, w takim razie: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Einsteina wyjściowe, tzn.: Szablon:LinkWzór, jest słuszne dla obu sygnatur, podobnie jest z równaniem Szablon:LinkWzór, które wyprowadziliśmy z ich wersji, ale wejściowych.

Zachowawczość energii, a równania grawitacji Einsteina

Korzystając z równań grawitacji Einsteina Szablon:LinkWzór, to równania są tak sformułowane, by była spełniona zasada energii, tzn. jeśli lewa strona tegoż równania, którego pochodna tensorowa jest równe zero według Szablon:LinkWzór, to musi być spełniona zasada zachowania energii i pędu, tzn. dokonując różniczkowania tensorowego obu stron naszego równania, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Z obliczeń Szablon:LinkWzór wynika równanie Szablon:LinkWzór, czyli z ogólnej teorii względności wynika zasada zachowania energii i pędu.