Ogólna teoria względności/Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne

Będziemy rozważać ruch cząstki próbnej wokół masy o geometrii statycznie sferycznej, czyli według geometrii Schwarzchilda za pomocą równania na line geodezyjne. Tutaj pokażemy podejście ogólne dla rozwiązania równania geodezyjnego dla cząstki próbnej.

Równanie geodezyjne a geometria Schwarzchilda

Ruch cząstki próbnej będziemy rozważać przy pomocy równania Szablon:LinkWzór. Poszczególne niezerowe elementy tensora Christofela dla geometrii Schwarzchilda w układzie współrzędnych (ct,r,θ,φ), które zostały napisane w poprzednim rozdziale: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Przyjmijmy że cząstka porusza się w płaszczyźnie dla Szablon:Formuła, zatem wtedy na pewno zachodzi Szablon:Formuła i druga pochodna funkcji φ też ma postać zerową, co zapisujemy Szablon:Formuła, czyli cząstka porusza się cały czas w tej samej płaszczyźnie, w której są spełniane powyższe własności.

Rozważmy ruch cząstki próbnej według równania linii geodezyjnej Szablon:LinkWzór dla μ=t, wtedy powiemy: Szablon:CentrujWzór Zatem jeśli mamy równania Szablon:LinkWzór, zatem wtedy ściśle określony element tensora Christoffela Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór

A zatem nasze równanie na linie geodezyjne Szablon:LinkWzór, przy definicji tensora Christofera ΓSzablon:SupSzablon:Sub wyprowadzone w punkcie Szablon:LinkWzór, która jest zależna od promienia Schwarzchilda rSzablon:Sub czarnej dziury i funkcji Φ(r) wyprowadzonej w poprzednim module, możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy zwinąć do postaci bardzo skróconej licząc pochodną stałego wyrażenia względem parametru λ, które jest równe zero, co piszemy je jako: Szablon:CentrujWzór Co można udowodnić równoważność równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór rozpisując powyższe równanie oraz pochodną ΦSzablon:Sup, która zawiera czynnik eSzablon:Sup, i dla którego Λ=-Φ, czyli do którego możemy wykorzystać równość Szablon:LinkWzór, i w końcowej tożsamości Szablon:LinkWzór możemy udowodnić przejście równości Szablon:LinkWzór do równości Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór można przedstawić w postaci po z całkowaniu go względem parametru λ otrzymując, że wyrażenie pod pochodna jest wielkością stałą i równą K. Szablon:CentrujWzór A teraz rozważmy równanie ruchu dla linii geodezyjnej Szablon:LinkWzór dla parametru przestrzennego μ=φ, wtedy to nasze równanie w przestawieniu przy niezerowych wartościach tensora metrycznego Chrstoffela, a mianowicie jak wcześniej wyznaczonej definicji Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy zwinąć do postaci bardzo skróconej licząc pochodną współrzędnej radialnej względem parametru λ, które są równa zero (pierwsza i druga pochodna), co rysujemy: Szablon:CentrujWzór Co można udowodnić równoważność równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór rozpisując powyższe równanie do postaci poniżej i przekształcają je w taki sposób, by dokonać przejścia jego do postaci Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór można przedstawić w postaci po z całkowaniu go względem parametru λ otrzymując, że wyrażenie pod pochodna jest wielkością stałą i równą h. Szablon:CentrujWzór A teraz rozważmy równanie ruchu dla linii geodezyjnej Szablon:LinkWzór dla parametru przestrzennego μ=r, wtedy to nasze równanie w przestawieniu przy niezerowych wartościach tensora metrycznego Chrstoffera, a mianowicie jej wcześniej wyznaczonej definicji ΓSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, ΓSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, ΓSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór oraz ΓSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, co całe równanie przedstawiamy wedle: Szablon:CentrujWzór Podstawiając za odpowiednie ΓSzablon:SupSzablon:Sub, należy pamiętać o ograniczeniu na odpowiednie φ co wspomniano wcześniej w tym rozdziale. Najpierw policzmy odpowiednie elementy tensora Christoffela wedle Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór występujące we wzorze na linię geodezyjne Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Dla ΓSzablon:SupSzablon:Sub w Szablon:LinkWzór nie rozważamy, bo Szablon:Formuła, idąc dalej element tensora Christoffela Szablon:LinkWzór zapisujemy przy pomocy funkcji Φ wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór A zatem nasze rozważane równanie Szablon:LinkWzór na linię geodezyjną, do którego to podstawiamy równania na tensory Christoffela Szablon:LinkWzór i na samym końcu równania uzyskane w punkcie, tzn.: Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, którego to rozważane równanie na linie geodezyjne możemy przestawić wedle: Szablon:CentrujWzór Jest to równanie na linię geodezyjną poruszającej się cząstki wokół kulistosymetrycznej masy podlegającej geometrii Schwarzschilda.

Dowolny ruch cząstki próbnej wokół sferyczno-statycznej masy

Długość stycznego czterowektora do linii geodezyjnej ruchu cząstki próbnej, znając jednocześnie elementy podwójnie kowariantnego tensora metrycznego gSzablon:Sub, przedstawia się jako: Szablon:CentrujWzór jest wielkością stałą i zależy od masy cząstki próbnej według Szablon:LinkWzór, dla cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera to C>0, wtedy parametr λ jest to interwał czasoprzestrzenny, a dla fotonów C=0, wtedy λ jest dowolnym parametrem, ale nie interwałem czasoprzestrzennym, którym jego różniczka w tym przypadku zawsze wynosi zero.

Dla cząstki poruszającej się po naszej płaszczyźnie dla Szablon:Formuła, znając elementy tensora metrycznego, które są zawsze diagonalne przy pomocy funkcji Φ, równanie Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest podstawienie za wielkość pochodnej wielkości współrzędnej czasowej ct względem parametru λ, czyli Szablon:Formuła wedle wyrażenia Szablon:LinkWzór a za pochodną wielkości kątowej θ względem parametru λ, czyli Szablon:Formuła podstawiamy wyrażenie Szablon:LinkWzór, a zatem równość Szablon:LinkWzór przechodzi w tożsamość: Szablon:CentrujWzór

Następnym krokiem jest pomnożenie ostatniego wynikowego równania Szablon:LinkWzór przez eksponens funkcji Φ(r), czyli eSzablon:Sup, wtedy otrzymujemy, że kwadrat pochodnej funkcji r względem parametru λ jest zapisywany: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór podzielmy obustronnie przez kwadrat ostatniej równości wynikowej Szablon:LinkWzór, tak by wyeliminować zupełnie parametr λ ze wspomnianej równości, wtedy to owe równanie różniczkowe zapisujemy wedle: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawień w równaniu Szablon:LinkWzór w celu uproszczenia końcowego wspomnianego równania, które to stałe i zmienne (tzn. zmienna u) są wyrażone w poniższych wzorach wedle: Szablon:ElastycznyWiersz Policzymy pochodną funkcji "r" względem zmiennej kątowej θ i wyznaczmy ją w funkcjach "u" wedle podstawienia Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równanie różnikczkowe Szablon:LinkWzór na podstawie podstawień Szablon:LinkWzór (stała A w zalezności od stałej K i h), Szablon:LinkWzór (stała B w zalezności od stałej C i h), Szablon:LinkWzór (definicja zmiennej u względem zmiennej r, która jest odległoscią radialną od środka gwiazdy) i Szablon:LinkWzór (definicji eksponesu funkcji Φ) i przedstawienia pochodnej promienia radialnego Szablon:LinkWzór względem współrzędnej kątowej, która ta pochodna zapisywana jest wedle Szablon:LinkWzór, zatem ostateczny wzór na Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór pomnóżmy przez wyrażenie będące czwartą potęgę u, czyli zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, czyli u, wiedząc że jednocześnie ta zmienna nigdy nie przyjmuje wartości zero, zatem oczywiste jest: Szablon:CentrujWzór

Zróżniczkujmy równanie Szablon:LinkWzór względem zmiennej kątowej θ, wtedy oczywiste jest, że z wiadomości o pochodnej z analizy otrzymujemy równość, która jest zależnością od drugiej pochodnej zmiennej u względem parametru θ: Szablon:CentrujWzór Podzielmy obustronnie tożsamość Szablon:LinkWzór przez wyrażenie będące pochodną wyrażenia u względem parametru θ i zakładając, że to wyrażenie nie jest równe zero, bo w takim przypadku możemy wykonać dzielenie obustronne otrzymując tożsamość fizyczną: Szablon:CentrujWzór Po prawej stronie równania Szablon:LinkWzór wymnażamy wszystkie wyrazy, tak by nie było nawiasu, tylko same składniki w tej sumie, po tej czynności dostajemy równoważny wzór: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obustronnie tożsamość Szablon:LinkWzór przez liczbę dwa, zatem otrzymujemy równość, która jest równaniem toru ruchu cząstki, tzn. zależności promienia radialnego r względem jej współrzędnej kątowej θ: Szablon:CentrujWzór

Ostatnie równanie przedstawia obraz ruchu dowolnej cząstki czy to są fotony, czy inne cząstki o niezerowej masie spoczynkowej, czyli w tym przypadku cząstek o dowolnych masach spoczynkowych.

Ruch cząstki po orbicie kołowej

Będziemy mieć tutaj do czynienia z równaniem różniczkowym Szablon:LinkWzór, który przedstawia ruch cząstki po pewnej orbicie i jeśli mamy do czynienia z ruchem po okręgu, to oczywiście: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy więc do wniosku, że równanie Szablon:LinkWzór, gdy cząstka porusza się po okręgu Szablon:LinkWzór, w której zmiana współrzędnej radialnej względem parametru λ jest równa zero: Szablon:CentrujWzór Równanie napisane w punckie Szablon:LinkWzór mnożymy obustronnie przez wyrażenie napisane w punkcie Szablon:Formuła, wtedy otrzymamy wzór w zależności czasu i współrzędnej kątowej θ względem parametru, którym jest czas t. Szablon:CentrujWzór Naszym ostatnim celem jest wyznaczenie czasu obiegu po okręgu cząstki w zależności od innych parametrów, w tym celu równanie Szablon:LinkWzór rozłóżmy by na jednej stronie, by była różniczka czasu, a po drugiej różniczka kąta, przy kątowej w którym znajdowała się cząstka poruszająca się na okręgu, i potem obie jego strony przecałkujmy: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest bardzo podobne do trzeciego równania Keplera, czyli iloraz okresu obiegu cząstki do kwadratu przez sześcian współrzędnej położeniowej danej cząstki jest wielkością stałą.

Radialny ruch swobodny ciała próbnego wokół kulistosymetrycznej masy według geometrii Schwarzchilda

Różniczka kwadratu interwału Schwarzchilda Szablon:LinkWzór (metryka Schwarzchilda) dla przyjętych zmienności parametrów kątowych dφ=dθ=0, czyli one są równe zero: Szablon:CentrujWzór Podzielmy obie strony równania na metrykę Schwarzschilda Szablon:LinkWzór, które opisuje ruch cząstki bez zmiany współrzędnych radialnych przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego dsSzablon:Sup, wtedy otrzymujemy inne równoważne równanie (ale nie dla fotonu): Szablon:CentrujWzór Wykorzystując zależność Szablon:LinkWzór i wykorzystując zależność wedle Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy równanie Szablon:LinkWzór przyjmuje inną równoważną postać zależną od pochodnej współrzędnej radialnej względem interwału czasoprzestrzennego, którego to postać jest: Szablon:CentrujWzór Jeśli zaczniemy od takiego rSzablon:Sub, przy którym zachodzi: Szablon:Formuła, to wtedy równanie Szablon:LinkWzór przyjmuje postać, z której możemy wyznaczyć kwadrat stałej K, który jest zależny od promienia początkowego rSzablon:Sub i promienia rSzablon:Sub występującej w równaniu na KSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Czyli nasze końcowe wynikowe równanie Szablon:LinkWzór, po uwzględnieniu KSzablon:Sup wedle równości Szablon:LinkWzór i uwzględnieniu funkcji eksponencjalnej eSzablon:Sup w zależności od położenia radialnego r i promienia Schwarzschilda, przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Biorąc definicję rSzablon:Sub z geometrii metryki Schwarzchilda, którego definicja jest Szablon:Formuła, zatem dochodzimy więc do wniosku, że równanie Szablon:LinkWzór jest zapisane: Szablon:CentrujWzór Praktycznie można przyjąć, że rSzablon:Sub→∞, czyli rSzablon:Sub>>rSzablon:Sub, a więc mamy tak jak wedle zasady zachowania energii w polu grawitacyjnym, tylko zamiast czasu mamy interwał czasoprzestrzenny dla cząstki masowej podzielonej przez prędkość światła: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie oparte na ogólnej teorii względności jest takie same jak w teorii Newtona dla toru hiperbolicznego poruszającego się z nieskończoności.

Rozciąganie w pobliżu czarnej dziury

Możemy wziąć równanie Szablon:LinkWzór i go pierwiastkując obustronnie, i dostajemy równanie na pochodną położenia radialnego współrzędnościowego względem interwału czasoprzestrzennego w zależności od położenia radialnego, w której dana cząstka się znajduje od środka czarnej dziury, w którym siły rozciągające, wtedy nasze rozważane równanie przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór W powyższym wyrażeniu pochodna radialna jest ujemna, bo przyjęliśmy, że nasze ciało porusza się do horyzontu zdarzeń (do środka czarnej dziury).

Wyznaczmy pochodną Szablon:LinkWzór, korzystając przy okazji z tego samego równania, dochodzimy więc do wniosku, że: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że mamy ciało o długości l, to różnica wielkości Szablon:LinkWzór przyspieszeń radialnych na obu końcach rozważanego ciała, a zarazem sił wpływowych jest przedstawiona jako różnica wielkości Szablon:LinkWzór dla r+l i r: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że do czarnej dziury spada pewien patyk, którego jego przestrzenna orientacja jest wzdłuż promienia do środka masy M. Nasz patyk porusza się cały czas do środka kulistosymetrycznego źródła pola, co jest powiedziane wartością ujemną w Szablon:LinkWzór, dla końca patyka najbardziej oddalanego od środka, ten punkt porusza się z mniejszą wartością przyspieszenia, niż jego koniec najbardziej zbliżony, a więc patyk w kulistosymetrycznym polu statycznie sferycznej próbuje być rozciągnięty, czym mniejsza odległość od środka masy kulistosymetrycznej tym bardziej jest większe rozciąganie wpływowe. Przy wyznaczaniu końcowego wyniku w Szablon:LinkWzór korzystaliśmy, że Szablon:Formuła, czyli wyrazy w liczniku naszego wyrażenia pomijamy wedle podanych przybliżeń jakie powiedzieliśmy. W geometrii Schwarzchilda mamy promień nazywamy jego imieniem Szablon:Formuła, to dochodzimy do wniosku, że wyrażenie Szablon:LinkWzór dla promienia Schwarzchilda, tam gdzie prawa fizyki przestają być spełnione, różnica przyspieszeń radialnych rozchodzi się według: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy, że czym większa jest masa źródła pola grawitacyjnego, to jest czym mniejsze rozciąganie pływowe na jej powierzchni przy promieniu granicznym (horyzoncie zdarzeń).