Ogólna teoria względności/Promieniowanie grawitacyjne

Tutaj będziemy się zajmować falami grawitacyjnymi, tzn. co to są fale grawitacyjne, czy to jest fala poprzeczna czy podłużna, dlaczego prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej, jak można wykryć fale grawitacyjną za pomocą rezonatora grawitacyjnego, jak je wytwarzać.

Propagacja fal grawitacyjnych

Udowodnimy, że dla naszego pola grawitacyjnego niestacjonarnego w dużej odległości od źródła, pole grawitacyjne rozchodzi się na w sposób fali. Tensor Einsteina dla słabych pól grawitacyjnych daleko od źródła grawitacyjnego przedstawia się wedle schematu Szablon:LinkWzór i daleko od źródła tensor gęstości energii znika TSzablon:Sup=0, bo w rozważanym punkcie gęstość jest już równa zero, a także ciśnienie jest zaniedbywalnie małe. Z równania grawitacji Einsteina, dla zerowego tensora gęstości energii-pędu powyższego równania, oczywiste jest, że tensor Einsteina GSzablon:Sup=0.

Z zerowania się tensora gęstości energii i równanie grawitacji Einsteina Szablon:LinkWzór po pomnożeniu jego przez dwa i korzystając z definicji operatora d'Alemberta mamy z oczywistych powodów: Szablon:CentrujWzór Końcowe równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem falowym, a poniżej podamy jego rozwiązanie w postaci poniżej, którego to zapis zależy od czterowektora kontrawariantnego położenia xSzablon:Supi czterowektora kowariantnego liczby falowej kSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Końcowe równanie falowe Szablon:LinkWzór po podstawieniu do niego rozwiązania falowego Szablon:LinkWzór i zakładając przy tym, że stała tensorowa ASzablon:Sup występująca w naszym wspomnianym rozwiązaniu jest stałą dowolną: Szablon:CentrujWzór Wielkość występująca w Szablon:Formuła pod eksponensem zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór można rozpisać w zależności od czasu i wektora Szablon:Formuła wedle sposobów w zależności wprost proporcjonalnej od częstotliwości kołowej i zwykłej liczby falowej k. Szablon:CentrujWzór Jeśli weżniemy, że zachodzi dla fotonu podróżującego wzdłuż wektora przestrzennego Szablon:Formuła, którego elementy są to składowe czterowektora kSzablon:Sup bez jej współrzędnej czasowej: Szablon:CentrujWzór Ależ wiadomo jednak, że lSzablon:Sup jest stałym tensorem (wektorem). Możemy podstawić Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór i się przekonamy, że względem rozwiązania Szablon:LinkWzór wyrażenie Szablon:LinkWzór jest wielkością stałą na podstawie końcowego wyrażenia Szablon:LinkWzór, że długość czterowektora Szablon:Formuła w czasoprzestrzeni jest wielkością stałą: Szablon:CentrujWzór Znając definicję częstotliwości kołowej i liczby falowej poprzez długość fali grawitacyjnej, które można zapisać te wielkości fizyczne wedle: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy wykorzystać z równości końcowej Szablon:LinkWzór i wykorzystując dwie tożsamości Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, wtedy to nasze wyrażenie rozpiszmy na część czasową i przestrzenną , wtedy możemy powiedzieć, że fala grawitacyjna rozchodzi się z prędkością fazową równą prędkości światła c: Szablon:CentrujWzór Dla Szablon:LinkWzór (współrzędna czasowa liczby falowej) i Szablon:LinkWzór (długość liczby falowej w przestrzeni) przy kSzablon:Sup, na którą składa się na jej część czasową i przestrzenną, wtedy równanie Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując definicję prędkości fazowej i grupowej znanej z fizyki ogólnej i zależności końcowej Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że prędkość grupowa i fazowa fal grawitacyjnych są sobie równe, ze względu na właściwości czterowektora falowego w czasoprzestrzeni.

Do naszego rozwiązania Szablon:LinkWzór należy dodać cechowanie pola grawitacyjnego Szablon:LinkWzór, czyli wielkości Szablon:Formuła, czyli z tego cechowania wynika końcowa tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wedle powyższych rozważań udowodniliśmy, że fale grawitacyjne są falami poprzecznymi, bo iloczyn skalarny między czterowektorem liczby falowej i tensorem amplitudy fali grawitacyjnej Szablon:LinkWzór jest równy zero.

Bezśladowe cechowanie poprzeczne Lorentza

Mamy sobie nowy układ współrzędnych względem starego układu, w obu układach panuje cechowanie Lorentza Szablon:LinkWzór, dla równości różniczkowej Szablon:LinkWzór znajdźmy sobie taki tensor ξSzablon:Sup przy tych cechowaniach w starym i w nowym układzie współrzędnych, który spełnia równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór tożsamościowo, zatem nasz wspomniany tensor musi zatem spełniać w takim przypadku równanie różniczkowe: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem w postaci funkcji zależnej od czterowektora falowego kSzablon:Sub wedle: Szablon:CentrujWzór Mając rozwiązaniem równania falowego Szablon:LinkWzór i rozwiązanie w postaci funkcji ξ Szablon:LinkWzór równania Szablon:LinkWzór, wtedy równość końcową Szablon:LinkWzór możemy zapisać na podstawie: Szablon:CentrujWzór Obierzmy sobie dodatkowe cechowania obowiązujące w nowym układzie współrzędnych wedle sposobów: Szablon:ElastycznyWiersz Przedstawmy teraz tożsamości wynikające z Szablon:LinkWzór oraz z Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie tego otrzymujemy dwa poniższe warunki: Szablon:ElastycznyWiersz Równość tensorową Szablon:LinkWzór na podstawie pierwszego cechowania Szablon:LinkWzór możemy napisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Mamy cztery wartości tensora BSzablon:Sup przy jakiś wartościach ASzablon:Sub, czyli mamy jedno tensorowe równanie więzów z czterema niewiadomymi. Weźmy sobie pod lupę cechowanie Szablon:LinkWzór na podstawie obrania nowego układu spełniającego to cechowanie, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór dostajemy znów inną tożsamość: Szablon:CentrujWzór Jeśli pomnożyć końcowe równanie Szablon:LinkWzór przez kSzablon:Sup, to lewa strona tejże wspomnianej równości wedle warunku na poprzeczność fal grawitacyjnych wynikające z warunku cechowania Lorentza Szablon:LinkWzór co stąd wynika, że ta strona naszego równania jest zawsze równa zero, ale przy jakich BSzablon:Sub, zatem z Szablon:LinkWzór mamy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór jest ona spełniona bez względu jakie wartości przyjmuje BSzablon:Sub, zatem dostajemy na podstawie wiadomości z algebry, że równość tensorowa Szablon:LinkWzór ma w sobie trzy niezależne równania z czterema niewiadomymi BSzablon:Sub. Jeśli połączymy równanie Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór dostajemy cztery niezależne równania z czteroma niewiadomymi, którymi są elementy tensora BSzablon:Sub, których jest cztery, zatem na podstawie znanych ASzablon:Sub możemy wyznaczyć właśnie elementy tensora BSzablon:Sub jednoznacznie. Dochodzimy do wniosku, że cechowania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są spełnione w jakimś tam układach odniesienia, których jest nieskończenie wiele jak przy cechowaniu Lorentza Szablon:LinkWzór. Jeśli założymy, że cząstka spoczywa, to wtedy mamy USzablon:Sup=δSzablon:SupSzablon:Sub, wtedy na podstawie równania Szablon:LinkWzór mamy 0=ASzablon:SubδSzablon:SupSzablon:Sub=ASzablon:Sub, zatem na podstawie symetryczności ASzablon:Sub pierwsza kolumna i wiersz są zerowymi wielkościami. Jeśli przyjąć, że cząstka porusza się w kierunku osi zetowej, czyli jego czterowektor liczby falowej jest: Szablon:CentrujWzór wtedy warunek Szablon:LinkWzór implikuje 0=ASzablon:SubkSzablon:Sup=kSzablon:SupASzablon:Sub, zatem na podstawie tego rozważania i symetryczności ASzablon:Sub dostajemy, że trzecia kolumna i wiersz są wielkościami zerowymi. Jeśli weźmiemy dodatkowo warunek Szablon:LinkWzór, z poprzednimi rozważaniami: 0=ASzablon:SupSzablon:Sub=ASzablon:Sub+ASzablon:Sub⇒ASzablon:Sub=-ASzablon:Sub, zatem naszą macierz ASzablon:Sub możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór

Wpływ fal grawitacyjnych na swobodną cząstkę

Cząstka spoczywająca nie ma elementów przestrzennych czterowektora prędkości, wtedy wzór na linię geodezyjną Szablon:LinkWzór, gdy parametr Szablon:Formuła jest interwałem czasoprzestrzennym, możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór bardzo nam są potrzebne elementy tensora Christoffela na podstawie Szablon:LinkWzór i na podstawie elementów amplitudy tensorowej ASzablon:SupSzablon:LinkWzór, które to ΓSzablon:SupSzablon:Sub następnie wyznaczymy, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie równania na fale grawitacyjne przy obranym cechowaniu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz macierzy tensora amplitud Szablon:LinkWzór, a także względem równania fali Szablon:LinkWzór, przy obranym cechowaniu zachodziłoby Szablon:LinkWzór oraz że te amplitudy nie mają wierszy oraz kolumn o numerze zerowym oraz jego elementy nie zależą od czasu, zatem elementy tensora Christoffela Szablon:LinkWzór są wielkościami zerowymi, czyli znikają, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór cząstka spoczywająca współrzędnościowo pozostanie nadal cząstką spoczywającą, ponieważ cząstka która ma czteroprędkość a właściwie jej część przestrzenną, która równa jest nadal zero, dalej będzie miała ten sam czteroprędkość, którego zmiana jest równa zero wedle naszej metryki przy przyjętych cechowaniu. Zatem dochodzimy do wniosku, że fala grawitacyjna wcale nie wpływa na ruch punktowej masy wedle współrzędnych czteropołożenia położenia, ale to nic nie znaczy. Fala grawitacyjna może zmieniać odległość właściwą między dwoma punktami w sposób wedle Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Również jak się przekonamy, że za pomocą zmiany długości właściwej Δl można wykryć budując pewne układu fizyczne, mimo że fala grawitacyjna nie działa na punktowe masy.

Równanie dewiacji a odległość wektorowa pomiędzy obydwa spoczywającymi współrzędnościowo cząstkami

Równanie dewiacji z którego będziemy korzystać jest to Szablon:LinkWzór, i w nim zakładamy, że cząstka spoczywa współrzędnościowo, bo prędkości współrzędnościowe przestrzenne jako są równe zero, i będziemy badali odległość przestrzenną iksową odległości pomiędzy dwoma cząstkami, wtedy czterowektor prędkości i odległość początkowa pomiędzy dwoma cząstkami przestawiamy jako USzablon:Sup=(1,0,0,0),ξSzablon:Sup=(0,ε,0,0). W takim wypadku równanie dewiacyjne możemy napisać poniżej wykorzystując przy tym twierdzenie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dla słabego pola grawitacyjnego mamy Szablon:LinkWzór, wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny RSzablon:SupSzablon:Sub Szablon:LinkWzór możemy napisać z definicji tensora fali grawitacyjnego Szablon:LinkWzór i definicji tensora amplitudy Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wszystkie pozostałe elementy tensora krzywizny inne niż policzone powyżej są równe zero, i ich nie podaliśmy, bo dowód zerowania się ich jest trywialny. Równania dewiacyjne w kierunku osi iksowej piszemy jako: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli tensor ξSzablon:Sup jest zdefiniowany w kierunku osi igrekowej, wtedy otrzymujemy dwa równania dewiacyjne: Szablon:ElastycznyWiersz

Ścisła fala grawitacyjna wynikająca z praw grawitacji Einsteina

Wszystkie fale grawitacyjne, których chcemy zaobserwować na Ziemi są to fale, które są opisywane przy pomocy teorii zlinearyzowanej, ale chcemy opisać fale grawitacyjne przy pomocy teorii dokładnej, czyli opisywanej przy pomocy dokładnego równania grawitacji Einsteina. Obierzmy teraz dwie zmienne nowe zdefiniowane przy pomocy zmiennych t i z, których definicje są: Szablon:ElastycznyWiersz Mamy sobie zdefiniowany interwał czasoprzestrzenny w przestrzeni Minkowskiego Szablon:LinkWzór i wykorzystując równania na zmienne u Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, z których wyznaczmy wzory na zmienne "u" i "ct", co w ten sposób możemy napisać ten nasz interwał czasoprzestrzenny w tychże zmiennych: Szablon:CentrujWzór Zobaczymy, że fale grawitacyjne wpływają na odległości prostopadłe w stosunku do biegu fali grawitacyjnej przy jej opisie, która wynika z jej teorii dokładnej, czyli z równań grawitacji Einsteina. W tym celu napiszmy interwał czasoprzestrzenny, w których wprowadzimy funkcje f(u) i g(u), które są zależne od zmiennej "u": Szablon:CentrujWzór Napiszemy teraz wszystkie niezerowe elementy tensora Christoffela i niezerowe elementy tensory czterowskaźnikowego tensora krzywizny: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Z powyższych wnioskach możemy napisać tensory Einsteina i dowiemy się, że tensor Einsteina GSzablon:Sub posiada również elementy niediagonalne oprócz jej elementów diagonalnych: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Będziemy badać fale rozprzestrzeniające tam gdzie nie ma masy, wtedy z równania grawitacji Einsteina Szablon:LinkWzór, gdy tensor napięć-energii jest równy zero, mamy: Szablon:CentrujWzór Jako funkcję f(u) możemy przyjąć jako dowolną funkcję i rozwiązać równanie dla g(u). Możemy funkcję f(u) w taki sposób napisać jako funkcję opisującą pewnego rodzaju falę podobną do Szablon:LinkWzór i zapytać siebie jaka jest funkcja przy tak postawionych warunkach, czyli g(u). Dla przypadku prawie liniowego funkcja f(u) jest bliska jedności: Szablon:CentrujWzór wtedy funkcja g(u) jest prawie liniowa i w zależności od funkcji prawie liniowej f(u) Szablon:LinkWzór możemy napisać jej rozwiązanie: Szablon:CentrujWzór

Detekcja fal grawitacyjnych

Szablon:Rysunek Załóżmy, że mamy układ o współczynnik tłumienia ν i sprężyny o stałej sprężystości k, który jest oscylatorem harmonicznym tłumionym. Dla pierwszej i drugiej kulki rozważanego układu, równanie ruchu ma się: Szablon:CentrujWzór Możemy odejmować dwa równania Szablon:LinkWzór od siebie w naszym układzie równań otrzymując wynikowe równanie, które należy rozwiązać: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy nowe oznaczenia (parametry), które wykorzystamy do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, tzn. parametr ξ (która jest zależna od położenia obu kulek i długości własnej użytej sprężynki), częstotliwości własnej układu ωSzablon:Sub (zależna od stałej sprężystości sprężynki i masy tej sprężynki), a także od stałej γ (która jest zależna od stałej tłumienia γ i masy sprężynki), zatem te podstawienia: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie oznaczeń ξ Szablon:LinkWzór, ωSzablon:SubSzablon:Sup Szablon:LinkWzór i γ Szablon:LinkWzór, wtedy równanie Szablon:LinkWzór przechodzi przy tych nowych oznaczeniach w równoważną postać: Szablon:CentrujWzór

W równaniach ruchu dla dwóch kulek Szablon:LinkWzór zastosowaliśmy równania ruchu Newtona, bo mamy do czynienia z prędkościami bardzo małymi (o wiele mniejszymi od prędkości światła).

Ponieważ mamy do czynienia z ogólną teorią względności, czyli mamy do czynienia z teorią grawitacją Einsteina, to powyższe wywody nie są w ogólności spełnione i chwilową długość sprężyny jest inna niż zakładana, bo sprężyna jest w układzie dwóch kulek, których fala grawitacyjna zakłóca prawdziwą długość sprężyny, długość sprężyny według rozważanej metryki jest inna niż metryce Minkowskiego (czasoprzestrzeń płaska), jeśli sprężyna jest położona wzdłuż osi iksowej w przestrzeni, ma długość na podstawie Szablon:LinkWzór wyrażonej według: Szablon:CentrujWzór Należy pamiętać, że długość lSzablon:Sub jest bardzo mała w porównaniu z długością jakim światło może przebyć w ciągu jednej sekundy. Równania Szablon:LinkWzór możemy zapisać w bardziej ogólny sposób uwzględniając jako sprężynę w ruchu, który ma w tej chwili długość l i zapisać je nie jako różnica położeń dwóch kul z dokładnością do znaku, ale jako różnica aktualnej długości kulki l i jej długości początkowej, bo tutaj nie mamy przestrzeni płaskiej tylko przestrzeń zakrzywioną i uwzględniając jakoby fala grawitacyjna nie oddziaływuje współrzędnościowo z punktowymi masami jako osobno, co tutaj jest ważne, ale kulki oddziałują ze sobą tylko za pomocą sprężynki przez promieniowanie grawitacyjne, które to kulki były początkowo w spoczynku przed dotarciem do nich tej rozważanej fali: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy nowe oznaczenia, która jest funkcją iksowych położeń kul, i poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego i długości początkowej sprężyny nierozciągniętej i jest oznaczona ona przez tożsamość: Szablon:CentrujWzór Na podstawie powyższej tożsamości możemy napisać przekształcenia wyznaczając różnicę współrzędnych iksowych dwóch rozważanych kulek: Szablon:CentrujWzór Powyżej przyjęliśmy, że zmiana długości własnej sprężynki stojąca przy hSzablon:Sub dla słabego pola grawitacyjnego jest bardzo mała, zatem różnica położeń kulek jest w przybliżeniu równa długości sprężynki. Równość Szablon:LinkWzór z poprawką na chwilową długość sprężyny, która jest nie równa różnicy współrzędnych iksowych kulek w zakrzywionej czasoprzestrzeni: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując oznaczenia na parametry ξ Szablon:LinkWzór, oraz na ωSzablon:SubSzablon:Sup Szablon:LinkWzór i γ Szablon:LinkWzór, to równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór zapisujemy poniżej, który również zawiera poprawkę do tensora metrycznego Minkowskiego dla tychże rozważanych kulek, a także zawiera zmianę długości sprężyny l-lSzablon:Sub zapisanej według Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego tłumionego z przyłożoną siłą, która zmienia się w sposób harmoniczny (w tym przypadku promieniowanie grawitacyjne, które działa na kule poprzez sprężynkę).

Fala kulista w dużej odległości od źródła jest falą w przybliżeniu płaską, a zatem jeśli Szablon:Formuła opisuje falę płaską wedle definicji tensora Einsteina Szablon:LinkWzór dla tensora gęstości energii równej zero, wtedy równania grawitacji Einsteina opisują Szablon:Formuła wedle Szablon:LinkWzór, jeśli częstotliwość tej fali jest jakaś tam, to częstotliwość fali Szablon:Formuła, wedle równości Szablon:LinkWzór jest taka sama, zatem jeśli pierwsza zmienia się względem funkcji kosinus (dla Szablon:Formuła), to druga też, zatem niech będą funkcje Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, która zmieniają się względem czasu z częstotliwością Ω: Szablon:ElastycznyWiersz Powyższe dwa równania są prawdziwe, bo można tak wybrać przesunięcie fazowe oraz Ω, by były spełnione równania ruchu dwóch kulek w polu grawitacyjnym, których drgania kulek maja się jak promieniowanie grawitacyjne.

Podstawiamy za hSzablon:Sub równania fali grawitacyjnej Szablon:LinkWzór i przemieszczenia harmonicznego kulek Szablon:LinkWzór, którego zmianę powoduje fala grawitacyjna (promieniowanie grawitacyjne) o takiej samej częstotliwości co fala grawitacyjna, do równości Szablon:LinkWzór, co w rezultacie ono przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

Co po krótkich przestawianiach wyrazów w tożsamości Szablon:LinkWzór, czyli grupując wyrazy stojące przy funkcji sinus i kosinus: Szablon:CentrujWzór

Wykorzystując z własności kosinusów i sinusów sumy składników pod tymi funkcjami trygonometrycznymi możemy zapisać Szablon:LinkWzór rozwijając w odjemnej naszej tożsamości funkcji kosinus i odjemniku funkcję sinus: Szablon:CentrujWzór Grupujemy wyrazy z kosinusami i sinusami, których argumentem jest Ω t we wzorze Szablon:LinkWzór i aby ona zachodziła dla dowolnych chwili czasu t, to nasze wspomniane równanie przechodzi w dwa równania równoważne pierwotnemu. Szablon:ElastycznyWiersz Z tożsamości uzyskanej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć tanges przesunięcia fazowego kulek względem fali promieniowania grawitacyjnego, który jak udowodnimy zależy tylko od częstotliwości fali grawitacyjnej Ω i częstotliwości własnej detektora fali grawitacyjnej: Szablon:CentrujWzór

Pomnóżmy równanie Szablon:LinkWzór przez wyrażenie Szablon:Formuła, czyli podwojony iloczyn stałej tłumienia γ i częstotliwości drgań fali grawitacyjnej, wtedy dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór a także wykorzystując również tożsamość Szablon:LinkWzór, którą podstawiamy do tożsamości Szablon:LinkWzór, wtedy oczywiście dostajemy wniosek: Szablon:CentrujWzór

Policzmy teraz czemu jest równa funkcja sinφ wyrażając kwadrat kotangensa względem kwadratu funkcji sinus φ, korzystając z definicji tangensa kąta, który jest ilorazem sinusa kąta φ przez jego kosinus tego samego kąta, i jeszcze korzystając z definicji jedynki trygonometrycznej, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru na ${\sin }^2\phi$ w ostatnim rozważanym wyrażeniu Szablon:LinkWzór przechodzimy do wzoru na funkcję trygonometryczną dla naszego zadania: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy spierwiastkować obustronnie, tak by po lewej stronie wspomnianego równania otrzymać sam sinus kata φ, wtedy otrzymujemy wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Wyznaczony wzór na funkcję sinφ zapisanej i udowodnionej w punkcie Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru uzyskanego wcześniej w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy można otrzymać tożsamość, którą poddamy dalszej obróbce: Szablon:CentrujWzór Zatem amplituda drgań dla oscylatora harmonicznego tłumionego jest napisana wedle wzoru poniżej, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań fali grawitacyjnej Ω, częstotliwości własnej układu własnego ωSzablon:Sub i współczynnika tłumienia γ: Szablon:CentrujWzór Jest ona zależna od częstotliwości rezonansowej ωSzablon:Sub i współczynnika pełniącego rolę współczynnika tłumienia γ. Energia układu (oscylatora harmonicznego tłumionego) jest zdefiniowana jako energia kinetyczna obu kulek i energii potencjalnej sprężyny w polu grawitacyjnym, bo tutaj sprężynka znajduje się w polu promieniowania grawitacyjne oddziałujące ze sprężynką. Szablon:CentrujWzór Jeśli dodamy do siebie dwa równania układu równań Szablon:LinkWzór do siebie, wtedy otrzymamy równanie różniczkowe poniżej i założymy że nasz układ był w spoczynku, zanim dodarła do naszego badanego układu fala grawitacyjna, czyli przyjmujemy, że C=0, który jest warunkiem brzegowym: Szablon:CentrujWzór Parametr Szablon:LinkWzór można zapisać, jeśli przyjmiemy założenie, że mamy do czynienia z słabym polem grawitacyjnym w postaci fal grawitacyjnym, wtedy czwarty człon w nim możemy pominąć: Szablon:CentrujWzór zatem wedle obliczeń Szablon:LinkWzór, które dokonaliśmy w tymże punkcie i dla naszych warunków brzegowych możemy napisać tożsamość między prędkościami dwóch kulek. Szablon:CentrujWzór Energia układu Szablon:LinkWzór po wykorzystaniu dwóch podstawień do którego będziemy wykorzystywali obliczenia Szablon:LinkWzór, które wynika z punktu przestawionego wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy ową energię chwilową zapisujemy wedle schematu poniżej, która jest zależna od pochodnej zmiennej ξ względem czasu i samego przesunięcia ξ, którego to ξ jest to przesunięcie od położenia równowagi obu rozważanych w tym zadaniu kulek układu fizycznego: Szablon:CentrujWzór Wykorzystujemy definicję parametru ξ napisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, które to podstawiamy do równości Szablon:LinkWzór na energię układu, wtedy owe równanie ma wygląd: Szablon:CentrujWzór Wiemy jednak, że średnia wartość kwadratu kosinusa z definicji wartości średniej jest równa połowie jedynki względem czasu t, zatem co zapisujemy wzorem poniżej. Widzimy, że powyższa równość jest zależna od częstotliwości fali grawitacyjnej Ω i przesunięcia fazowego φ. Szablon:CentrujWzór Średnia wartość energii oscylatora wedle wartości chwilowej Szablon:LinkWzór, korzystając już z obliczonej wartości średniej kwadratu kosinusa, to średnią energię drgań układu dwóch kulek i sprężyny zapisujemy wedle: Szablon:CentrujWzór Amplituda rezonansowa nazywamy takie R w tożsamości Szablon:LinkWzór, dla które zachodzi, gdy ωSzablon:Sub=Ω, wtedy dochodzimy do wniosku, że mamy amplitudę rezonansową drgań przy udziale fal grawitacyjnych: Szablon:CentrujWzór Energia rezonansowa średnia Szablon:LinkWzór na podstawie amplitudy rezonansowej układu dwóch kulek połączonej sprężynką policzonej w punkcie Szablon:LinkWzór, do której to podstawimy do wzoru na średnią energię: Szablon:CentrujWzór Dobrocią oscylatora harmonicznego tłumionego nazywamy wielkość zdefiniowanej wedle sposobu poniżej, z której ją wyznaczymy dla częstotliwości rezonansowej, tzn. gdy $\mathrm{\Omega }={\omega }_0$ Szablon:CentrujWzór Energia średnia rezonansowa Szablon:LinkWzór w której podstawimy za stosunek Szablon:Formuła podwojoną dobroć Q, czyli z korzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór, zatem tą pierwszą wielkość fizyczną możemy napisać sposobem: Szablon:CentrujWzór I co kończy nasze rozważania na temat detekcji fal grawitacyjnych.

Tensorowe twierdzenie wirialne a lokalna zasada zachowania energii

Naszym wzorem, które zechcemy udowodnić jest twierdzenie łączący tensor gęstości energii o wskaźnikach zerowych górnych (lewa strona) po przez wyrażenie z tensorem gęstości energii o wskaźnikach górnych o wartościach przestrzennych: Szablon:CentrujWzór Powyższy wzór jest wzorem, w której jest dokonane całkowanie po pewnej objętości, której ogranicza pewna powierzchnia zamknięta, na której powierzchni tensor gęstości energii jest równa zero, bo tak zamknięta powierzchnia jest poza obszarem, w której tensor gęstości energii jest różny od zera. Dowód powyższego lematu opiera się na zasadzie zachowawczości tensora napięć-energii dla słabego pola grawitacyjnego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wiedząc, że TSzablon:Sup jest równe zero na zewnątrz źródła i będziemy korzystać z symetryczności tensora gęstości energii. Szablon:CentrujWzór Rozwińmy tożsamość występująca we wzorze Szablon:LinkWzór, zatem korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu trzech składników można napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie końcowe zapisane w rozważanej powyżej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy podstawić do tożsamości fizycznej Szablon:LinkWzór wynikającej z zachowalności energii i pędu, wtedy dostajemy równanie: Szablon:CentrujWzór W powyższym rozpisaniu korzystaliśmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamiany całek objętościowych, w której jest całkowanej po ściśle określonej nam objętości, na całkę powierzchniową, w której jest całkowanie po powierzchni zamkniętej ograniczającą wcześniej wprowadzoną objętość. Następnym krokiem jest udowodnienie poniżej tożsamości korzystając z twierdzenia z pochodnej iloczynu znanej z analizy: Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać tożsamość Szablon:LinkWzór do dalszej części dowodu Szablon:LinkWzór, wiedząc jednocześnie że pierwsza i trzecia ciałka jest równa zero przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradzkiego-Gauusa, która jest całką po powierzchni zamkniętej, którego to TSzablon:Sub jest równa zero na tej powierzchni, wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór W powyższym dowodzie znów korzystaliśmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, w której na jej powierzchni całkowanej panuje zerowa wartość tensora gęstości energii. Co kończy dowód twierdzenia Szablon:LinkWzór.

Wytwarzanie fal grawitacyjnych

Fala grawitacyjna rozchodząca się od niezerowego źródła, w której gęstość materii poza źródłem jest równa zero, a także ciśnienie jest zaniedbywalnie małe, zatem tensor gęstości energii dla punktu poza źródłem zapisujemy wedle: Szablon:CentrujWzór Zatem biorąc to do równania grawitacji Einsteina Szablon:LinkWzór i z przybliżeniem słabości pola grawitacyjnego tensor Einsteina wedle końcowego przedstawienia Szablon:LinkWzór, jeśli będziemy wykorzystywać Szablon:LinkWzór, zapisujemy wtedy go łącząc to z prawem grawitacji Einsteina: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równań grawitacji Einsteina dla słabego pola grawitacji Szablon:LinkWzór jest wyrażenie Szablon:Formuła, która jest zależna od stałej częstotliwości kołowej Ω i czasu t: Szablon:CentrujWzór Aby sprawdzić jakie BSzablon:Sub spełnia równanie Szablon:LinkWzór dla odpowiedzi Szablon:LinkWzór, to po podstawieniu naszego rozwiązania do rozważanego równania różniczkowego, mamy: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że rozwiązanie w Szablon:Formuła równania różniczkowego Szablon:LinkWzór jest rozwiązanie w postaciach zależnych od dwóch niezależnych stałych występujące w dwóch składnikach osobno: Szablon:CentrujWzór Sprawdźmy czy Szablon:LinkWzór jest rzeczywiście jest rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór, zatem jeśli obierzemy definicję kwadratu Δ=∇Szablon:Sup we współrzędnych kulistych, zatem operator Δ zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór to policzmy, czy rozwiązanie Szablon:LinkWzór jest poprawnym rozwiązaniem dla równania różniczkowego Szablon:LinkWzór dla promienia od źródła, który się znajduje dla r=0, wtedy przejdźmy do właściwej idei dowodu: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy pierwszy składnik w Szablon:LinkWzór, czyli ile jest on równy: Szablon:CentrujWzór zatem ten nasz pierwszy składnik w Szablon:LinkWzór wedle Szablon:LinkWzór jest równy zero, dla drugiego wyrazu mamy podobnie, a dowód przebiega analogicznie jak dla Szablon:LinkWzór, zatem dochodzimy do wniosku, że rozwiązanie Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem Szablon:LinkWzór poprawnym. W rozwiązaniu w Szablon:LinkWzór wybierzmy tylko pierwszy wyraz, a w przypadku drugiego wyrazu stałą w nim występującą wyzerujmy, bo to równanie ma dwie niezależne stałe w dwóch niezależnych składnikach, bo tak robimy, że interesuje nasz rozwiązania rozchodzące się od źródła: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które będą w przyszłości nam potrzebne. Obierzmy kulę, która ma promień ε, którego promień jest zaniedbywalnie mały. Zakładamy, że źródło jest niezerowe tylko wewnątrz sfery o promieniu podanym wyżej, zatem przejdźmy do dzieła. Szablon:CentrujWzór Pozostało nam jeszcze do obliczenia całkę z działania operatora ∇ względem infinitezymalnej objętości, którego to BSzablon:Sub jest zależna od trzech współrzędnych i czasu w kartezjańskim układzie współrzędnych, która jest przestrzenią zanurzoną w czasoprzestrzeni czterowymniarowej: Szablon:CentrujWzór Następnym wyrażeniem pomocniczym, która korzysta z udowodnionych tożsamości, którego to pierwsza jest równa zero, a druga jest równa stałej tożsamości, czyli za pomocą tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Równaniem grawitacji, którego to równanie jest zapisywane w punkcie Szablon:LinkWzór, wewnątrz źródła jest opisane wedle wzoru ze stałą Szablon:Formuła, która jest równa Szablon:LinkWzór, którego to zapis jest za pomocą tensora napięć-energii i tensora Szablon:Formuła, dla słabego pola grawitacyjnego jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Przecałkujmy wyrażenie Szablon:LinkWzór obustronnie i wiedząc, że mamy definicję rozwiązania Szablon:LinkWzór i w nim stałej Szablon:LinkWzór dla rozmiarów kuli dążącej do prawie do zera, bo nasze źródło jest prawie punktowe: Szablon:CentrujWzór zatem możemy powiedzieć, że tensor ASzablon:Sub jest zapisany jako całka z iloczynu tensora energii i napięć przez funkcję eksponencjalną , którego argumentem jest funkcja zależna od częstotliwości fali grawitacyjnej, a przed tą naszą rozważaną całką występują stałe mówiące o stałej grawitacji i prędkości światła c: Szablon:CentrujWzór Jeśli oznaczymy definicję gęstości tensora energii poprzez amplitudę drgań tensora gęstości energii i częstotliwość kołowa tych drgań i całkę występującą po prawej stronie Szablon:LinkWzór poprzez definicję Szablon:LinkWzór, to możemy zdefiniować wyrażenie na JSzablon:Sub jako całkę po pewnej objętości zamkniętej po amplitudzie drgać omawianego tensora gęstości energii: Szablon:ElastycznyWiersz Wtedy stałą ASzablon:Sub (po lewej stronie w Szablon:LinkWzór) i wedle definicji tensora gęstości energii poprzez stałą amplitudy Szablon:LinkWzór i wykorzystując przy tym fakt, że w definicji tensora JSzablon:Sub zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem tensor ASzablon:Sub jest zapisany na podstawie tychże danych w zależności od tensora JSzablon:Sub w postaci: Szablon:CentrujWzór Jest to amplituda fal grawitacyjnych występująca we wyrażeniu Szablon:LinkWzór i wyrażona jest przez całkę z amplitudy drgań tensora gęstości energii. Rozwiązanie dla słabych pól grawitacyjnych wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Jest to rozwiązanie dla fal grawitacyjnych wytwarzanych przez źródła prawie punktowe i nierelatywistyczne, które wytwarzają te właśnie fale zwane promieniowaniem grawitacyjnym.

Właściwości fali grawitacyjnej dla jednego wskaźnika zerowego górnego

Jeśli wykorzystamy równanie Szablon:LinkWzór, którego wielkość jest całką amplitudy po infinitezymalnej objętości tensora gęstości energii oraz korzystając z definicji tensora gęstości energii dla źródła fal grawitacyjnych Szablon:LinkWzór, co można wykorzystać mnożąc Szablon:LinkWzór przez niezerowe wyrażenie Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór I jeśli zróżniczkujemy obie strony wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu w sekundach, ale przedtem podnosząc wszystkie wskaźniki do góry i biorąc jednocześnie drugi wskaźnik jako zerowy, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie zachodzi, bo tensor gęstości energii po za źródłem fal grawitacyjnych jest równy zero, a my całkujemy po powierzchni, która otacza nasze źródło naszego promieniowania. W powyższych obliczeniach przyjęliśmy, że tensor gęstości energii na zewnątrz źródła jest równy zero na zewnątrz badanego źródła, bo wytwarzać fal grawitacyjnych jest bardzo mały, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Dalsze zerowania się tensora metrycznego Szablon:Formuła wynika stąd, gdy skorzystamy z symetryczności tensora Szablon:LinkWzór, a także wynikającego z symetryczności tensora JSzablon:Sup Szablon:LinkWzór, wynika poprzez to Szablon:LinkWzór symetryczność tensora Szablon:Formuła.

Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy

Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy definiujemy poprzez tensor gęstości energii o wskaźnikach dwóch górnych i zerowych i wyrazimy ją poprzez funkcję fali o częstotliwości kołowej Ω (eksponens z argumentu iΩt) i przez tensor DSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Jeśli zachodzi tożsamość Szablon:LinkWzór, to na podstawie tożsamości zdefiniowanej w Szablon:LinkWzór, możemy napisać, dokonując pewnych przekształceń i wykorzystania wzoru Szablon:LinkWzór dla wskażników l,m=1,2,3 w sposób: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie Szablon:LinkWzór na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór, który mówi, że jedynymi elementami tensora poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego w postaci fal grawitacyjnych Szablon:Formuła są równe zero, gdy zachodzi dla α=0 lub β=0. Zatem wskaźniki przy naszym tensorze są równe 1,2,3, zatem dochodzimy wtedy do wniosku, że zachodzi ogólne rozwiązanie dla fal grawitacyjnych wytwarzane przez źródła prawie punktowe o niezerowych elementach:

Szablon:CentrujWzór

Tensory poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy obliczyć ze wzoru Szablon:LinkWzór, gdy mamy już policzone Szablon:LinkWzór.

Układ dwóch kulek jako układ prostego oscylatora

Widzimy, że na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór, że gdy ISzablon:Sup(t), to dla t=0 ono jest równe DSzablon:Sup, to wtedy mając cechowanie, w której dwuwskaźnikowe tensory krzywizny fali grawitacyjnej Szablon:LinkWzór, w której w pewnym cechowaniu tensor amplitudy jest równy Szablon:LinkWzór, wtedy tensory Szablon:LinkWzór w tym cechowaniu możemy przepisać: Szablon:ElastycznyWiersz Przy powyższych uwagach wprowadziliśmy tensor bezśladowy z definiowany w oparciu o tensor ISzablon:Sup Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Rozważmy teraz falę emitowaną przez prosty oscylator fal grawitacyjnych, których wykrywamy, za pomocą detektora pokazywanego w punkcie Detekcja fal grawitacyjnych. Ten detektor też wytwarza fale grawitacyjne, w których obie masy drgają z częstotliwością ω i z amplitudą A wokół średniego położenia równowagi. W tym przykładzie detektora fal mamy tylko składową ISzablon:Sub nierównej zero, tą składową możemy policzyć mając na uwadze harmoniczne drgania: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy teraz elementy tensora Szablon:LinkWzór mając na uwadze element tensora ISzablon:Sub Szablon:LinkWzór przy częstotliwości kołowej ω, czyli wykorzystując czwarty wyraz powyższych końcowych obliczeń możemy zdefiniować elementy tensora Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy teraz tensory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór w oparciu o tensor Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli uwzględnimy człon trzeci w końcowych obliczeniach Szablon:LinkWzór, wtedy wzór na tensor Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, który powstaje z Szablon:LinkWzór po zastąpieniu Ω przez 2ω, wtedy otrzymujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowite promieniowanie wytwarzane przez prosty oscylator jest częścią rzeczywistą sumy składników, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Układ podwójny gwiazd o jednakowych masach

Wygodniejszym przykładem jest podwójmy układ gwiezdny dwóch jednakowych gwiazd, które krążą po orbicie o promieniu Szablon:Formuła, czyli wokół wspólnego środka masy, wtedy równanie ruchu z drugiej zasady dynamiki dynamiki Newtona jest: Szablon:CentrujWzór Położenia układu dwóch gwiazd opiszemy przy odpowiednich wyborze współrzędnych, przy czym oznaczamy przez jedynkę pierwszą gwiazdę, a przez dwójkę drugą gwiazdę: Szablon:CentrujWzór Wiedząc, ze tensor kwadrupolowy definiujemy sposobem ISzablon:Sub=mcSzablon:Supx_ix_k według Szablon:LinkWzór, wtedy te elementy tego tensora możemy napisać dla podwójnego układu gwiazd, których ich współrzedne zdefiniowane są sposobem Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz czemu są równe tensory Szablon:Formuła dla naszego badanego układu wykorzystując jego definicję Szablon:LinkWzór, do którego wykorzystamy już policzone elementy tensora ISzablon:Sub, czyli ISzablon:Sub, ISzablon:Sub i ISzablon:Sub, wiedząc, że ISzablon:SupSzablon:Sub=0 na podstawie definicji elementów ISzablon:Sub Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla Ω=2ω i na elementy tensora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, wtedy można zapisać wzory na promieniowanie rozchodzące się wzdłuż kierunku zetowego: Szablon:CentrujWzór

Równanie falowe i jego ścisłe rozwiązanie

Ścisłe rozwiązanie falowe dla fali grawitacyjnej dla źródła punktowego jest Szablon:LinkWzór, weźmy sobie pewne źródło składające się ze źródeł punktowych, i w ten sposób fala grawitacyjna dociera pokolei do kolejnych punktów tego ośrodka w czasie t'=t-R/c, wtedy mamy wzór na elementy tensora Szablon:Formuła dla tego niepunktowego źródła: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie punkt w którym będziemy obserwować falę grawitacyjną, który jest bardzo daleko od źródła fali grawitacyjnej, wtedy powiemy: Szablon:CentrujWzór Przy tak zachodzącym warunku Szablon:LinkWzór możemy napisać, pod którą pod całką występuje tensor napięć energii a przed całką jest odwrotność promienia r, która wyszła z całki, która była pod postacią R, bo dla małego źródła r i R praktycznie się nie różnią: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór możemy wykorzystać Szablon:LinkWzór i definicję tensora kwadrupolowego Szablon:LinkWzór, wtedy tensor fali grawitacyjnej przyjmuje wtedy kształt: Szablon:CentrujWzór Jeśli w prowadzimy cechowanie TT, to wtedy wzór na elementy tensora fali grawitacyjnej są: Szablon:ElastycznyWiersz

Energia przenoszona przez fale grawitacyjne wytwarzane przez układ oscylatorów grawitacyjnych

Przy pomocy wcześniejszych rozważań zorientowaliśmy się, że fale grawitacyjne przenoszą energię. Fale grawitacyjne unoszą energię od swych źródeł zabierając im energię. Rozważmy teraz ciało próbne, który nie wpływa na pole fali grawitacyjnej, czyli jego wpływ jest zaniedbywalny, wtedy takie podejście jest niekonsystentne, zatem jeśli przez ciało przechodzi fala grawitacyjna, to po przejściu jego przez układ mas, to fala grawitacyjna powinna być słabsza, tzn. układ ciał przez które przechodzi się fala grawitacyjna, sama staje się jego źródłem. Rozważmy teraz falę padającą o częstotliwości kołowej ω, to fala wyemitowana przez ciało jest emitowana z tą samą częstotliwością, więc fale przechodząca przez układ mas jest zatem sumą dwóch fal, tzn. fali padającej i fali wyemitowanej. Zobaczymy, że te dwie fale interferują one ze sobą dekonstruktywnie, obniżając wypadkową fali w tym kierunku. W innych kierunkach nie ma interferencji, i fale przechodzą jedno koło drugiej.

Fala grawitacyjna i jego strumień energii

Załóżmy, że mamy falę grawitacyjną wytwarzaną przez układ oscylatorów, który jest układem mas znajdujących się w pewnej płaszczyźnie, wtedy bardzo wygodnie jest rozważanie nie jako oscylatora harmonicznego wytwarzającego fale grawitacyjne, ale układ oscylatorów znajdujących się w płaszczyźnie dla z=0. Oscylatory w rozważanej płaszczyźnie są bardzo blisko siebie, więc je możemy uważać jako układ ciągły oscylatorów, i wprowadźmy przez σ jako liczbę oscylatorów przez jednostkę powierzchni. Fala padająca na układ oscylatorów znajdujących się na płaszczyźnie przy cechowaniu Szablon:LinkWzór określamy przez wzory: Szablon:ElastycznyWiersz Przy przejściu fali grawitacyjnej przez naszą rozważaną płaszczyznę układu oscylatorów, wtedy ten układ odpowie stabilną oscylacją: Szablon:CentrujWzór Wielkości R i φ są to wielkości opisane poprzez wzory na φ Szablon:LinkWzór i na R Szablon:LinkWzór. Nasz rozważany ruch jest stabilny ponieważ energia dostarczana przez przechodzącą falę grawitacyjną poprzez sprężynkę jest rozpraszana w wyniku tarcia w oscylatorach w których energia jest kompensowana przez pracę wykonywaną na sprężynkach przez pływowe siły fali grawitacyjnej. Fala grawitacyjna dostarcza energii każdemu oscylatorowi równą: Szablon:CentrujWzór Uśrednienie energii dostarczanej przez falę w ciągu jednego okresu równej T=2π/Ω dla wyrażenia Szablon:LinkWzór, w wyniku tego mamy uśrednioną energię z definicji wartości średniej: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór przestawia energię dostarczaną do układu oscylatorów przez falę grawitacyjną, przy σ oscylatorach energia fali zmniejsza się przy przejściu przez płaszczyznę o wartość: Szablon:CentrujWzór Każdy oscylator ma tensor kwadrupolowy zapisanej przez wzór Szablon:LinkWzór, w której zastąpimy ω t przez Ωt+φ, a A przez R/2. Ponieważ w naszym przypadku R jest niewielkie, to człon jego trzeci możemy pominąć, i w ten sposób otrzymujemy tensor kwadrupolowy: Szablon:CentrujWzór Według wzoru Szablon:LinkWzór każdy oscylator wytwarza falę grawitacyjną: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Ilość oscylatorów na powierzchni Szablon:Formuła jest Szablon:Formuła, a ilość oscylatorów znajdujących się na powierzchni pomiędzy Szablon:Formuła, a Szablon:Formuła jest wyrażona przez Szablon:Formuła, wtedy całkowity tensor Szablon:Formuła możemy wyrazić przez: Szablon:CentrujWzór Z rysunku obok należy zauważyć, że Szablon:Formuła, i w ten sposób wykorzystując to do wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Całka Szablon:LinkWzór jest całką rozbieżną, gdy przyjmować będziemy σ jako stałą, więc σ możemy uczynić jako funkcję σ(z)eSzablon:Sup i pozwoleniu by przy scałkowaniu dla ε dążyło do zera, i w ten sposób mamy całkę do policzenia: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz dokładną całkę występującą we wzorze Szablon:LinkWzór po prawej jego stronie: Szablon:CentrujWzór Całkę policzoną w punkcie Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór, i w ostatecznych rozrachunkach dostajemy: Szablon:CentrujWzór Aby porównać pole Szablon:LinkWzór z falą padającą Szablon:LinkWzór należy to przedostatnie napisać w cechowaniu TT, bo ono pierwotnie nie było w tym cechowaniu, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wypdadkowa fala grawitacyjna piszemy jako sumę fali grawitacyjnej padającej Szablon:LinkWzór na układ oscylatorów fali grawitacyjnej wytwarzanej przez układ oscylatorów w płaszczyźnie Szablon:LinkWzór i w rezultacie otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Powyższe obliczenia będziemy przeprowadzali dla małych wielkości R, czyli z dokładnością wyrazów pierwszego rzędu względem R, wtedy według powyższych obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać : Szablon:CentrujWzór W powyższych obliczeniach należy przyjąć zachodzący warunek na kąt ψ: Szablon:CentrujWzór W ten sposób otrzymujemy zależność na tensor Szablon:Formuła, który przepisujemy z Szablon:LinkWzór przy zachodzącej tożsamości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wypadkowym efektem przy przejściu fali grawitacyjnej jest zmniejszenie jego amplitudy patrząc na Szablon:LinkWzór o wartość (R ujemne według Szablon:LinkWzór): Szablon:CentrujWzór Zmniejszenie amplitudy o wartość Szablon:LinkWzór towarzyszy temu zmiana strumienia energii opisanej przez Szablon:LinkWzór, po skorzystaniu wzorów Szablon:LinkWzór i z Szablon:LinkWzór, co w rezultacie daje mam zastanawiający wynik: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy przecałkować względem argumentu A, i w ten sposób otrzymujemy całkowity strumień energii F w zależności od amplitudy fali A i częstości Ω: Szablon:CentrujWzór Średnią po kwadracie dla amplitudy A możemy napisać wzorem poniżej, a także po podstawieniu tego do Szablon:LinkWzór mając na myśli tylko dwie niezależne składowe rozważanego tensora: Szablon:ElastycznyWiersz