Ogólna teoria względności/Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury
Szablon:SkomplikowanaStronaStart
Poniżej przedstawimy w prawie wszystko związane z geometrią Schwarzschilda jako ciąg dalszy z poprzedniego rozdziału, a także wnioski, które będziemy rozpatrywać o czarnych dziurach w tejże geometrii.
Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda
Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda ma tylko wyrazy diagonalne.
Tensor metryczny podwójnie kowariantny oraz podwójnie kontrawariantny, na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i przedstawienia funkcji Ψ(r) i Λ(r) na zewnątrz kulistosymetrycznej, jest napisany: Szablon:ElastycznyWiersz
Wielkości zachowawcze dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej
Będziemy korzystać z wyrażenia, które wynika z definicji kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego i definicji czteropędu wedle wzoru Szablon:LinkWzór, które napiszemy: Szablon:CentrujWzór Elementy tensora metrycznego prostego jak i odwrotnego Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór nie zależą od zmiennej czasowej jak i od zmiennej kątowej θ, wtedy kowariantny pęd czasowy i pęd θ-owy są wielkościami stałymi względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, bo wedle twierdzenia Szablon:LinkWzór, te wielkości zapiszemy w postaci zredukowanej względem parametrów względem ich mas spoczynkowych: Szablon:ElastycznyWiersz Element radialny czterowektora pędu zapisujemy z definicji czterowektora pędu Szablon:LinkWzór, zapisanej w zależności od elementu radialnego czterowektora prędkości i masy spoczynkowej rozważanego ciała fizycznego, w postaci: Szablon:CentrujWzór A także element trzeci prawej strony wyrażenia Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu definicji stałej L, wiedząc jednocześnie że kowariantny θ-owy pęd ma charakter momentu pędu ruchu danej cząstki, którego to dowód, że tak jest, napisane jest przy punkcie Szablon:LinkWzór, oznaczać je będziemy przez LSzablon:Sub, a kowariantntny ψ-owy element czterowektora pędu jest równy zero, możemy zapisać jako całkowity moment pędu równy L=LSzablon:Sub. Z własności elementów tensora metrycznego możemy zapisać ostatni wyraz wspomnianej równości Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy więc do wniosku że równość Szablon:LinkWzór dla cząstki, która ma masę spoczynkową nieznikającą, a także wedle definicji elementów tensora metrycznego Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, oraz korzystając ze wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Z korzystajmy z definicji energii i momentu pędu zredukowanego wedle równości Szablon:LinkWzór (który jest zredukowaną energią cząstki) i Szablon:LinkWzór (która jest zredukowanym pędem danej cząstki fizycznej), wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy zapisać jako: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest podzielenie obustronne powyższego równania przez niezerową masę spoczynkową cząstki mSzablon:Sub, oczywiście tutaj nie mamy na myśli fotonów, wtedy piszemy: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz coś w rodzaju wyrażenia Szablon:Formuła w równości Szablon:LinkWzór, przenosząc tego typu wyrazy na lewą stronę omawianego równania, a pozostałe niech będą na prawej stronie naszego wzoru wraz z elementem stałym: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest pomnożenie obustronnie równania Szablon:LinkWzór przez wyrażenie: Szablon:Formuła, by pozostał tylko kwadrat pochodnej wyrażenia współrzędnej radialnej względem interwału czasoprzestrzennego, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Określmy potencjał efektywny występujący w Szablon:LinkWzór po prawej jego stronie jako odjemnik, który jest zależny od położenia cząstki masowej na orbicie wokół statystyczno-kulistej masy według geometrii Schwarzschilda: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując definicję potencjału efektywnego zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, wtedy równość Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Z różniczkujmy równanie Szablon:LinkWzór względem interwału czasoprzestrzennego, wtedy po prawej stronie tego równania wyraz, który jest odjemną znika, bo jest funkcją stałą, ale odjemnik pozostaje i jest różniczkowany względem powiedzianego parametru: Szablon:CentrujWzór Ponieważ jak zakładamy wyrażenie Szablon:Formuła jest różna od zera, jak na ogół mówimy, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór po podzieleniu przez ten wyraz przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy orbity stabilne, gdy mamy minimum energii efektywnej lub maksimum, wtedy pochodna wielkości Szablon:LinkWzór względem "r" przyrównanej do zera, z której to równości wyznaczymy wartość promienia współrzędnościowego: Szablon:CentrujWzór Następnie opuszczamy wszystkie nawiasy występujące w równości końcowej Szablon:LinkWzór, by potem po przegrupowaniu wszystkich wyrazów, które stoją tylko po prawej stronie równości, by otrzymać końcową równość: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy obustronnie równość napisanej w punkcie Szablon:LinkWzór przez czwartą potęgę współrzędnej radialnej, tzn. rSzablon:Sup przy założeniu, że r jest nie równe zero: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy dalej obustronnie równanie Szablon:LinkWzór przez czwartą potęgę prędkości światła, czyli przez cSzablon:Sup, wtedy można to nasze wyrażenie napisać w postaci równoważnej do poprzedniego tutaj rozważanego równania: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym znanej z lekcji matematyki ze szkoły średniej, którego wyróżnik trójmianu jest równy wyrażeniu zapisanej wedle: Szablon:CentrujWzór Wtedy rozwiązanie równania kwadratowego Szablon:LinkWzór, przy definicji wyróżnika tego samego wielomianu, przedstawiamy wedle: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy orbitę kołową, to musi być na pewno stały promień orbity, wtedy Δ zdefiniowanego wzorem Szablon:LinkWzór musi przyjmować wartość zero, bo Szablon:LinkWzór jako równanie kwadratowe musi mieć jedno podwójne rozwiązanie w postaci pewnego promienia radialnego, tzn.Szablon:Formuła, to dla tego przypadku mamy orbitę kołową, ponieważ maksimum oddalenia jest równy minimum odchylenia od ciała o masie M, bo pierwiastek jest równy zero. Wtedy promień dla orbity kołowej jest równy: Szablon:CentrujWzór Jeśli ciało porusza się po okręgu, to jego promień orbity jest wyrażony wzorem Szablon:LinkWzór.
Wielkości zachowawcze dla cząstek bezmasowych (fotonów)
Następnym naszym wyzwaniem są fotony w przeciwieństwie do masowych cząstek mają masę spoczynkową równą zero mSzablon:Sub=0. Wersję wzoru Szablon:LinkWzór dla rozważanych cząstek piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Pęd radialny jako element czterowektora pędu jest wyrażony w zależności od masy cząstki i pochodnej czasowej wielkości radialnej. Mając już wyprowadzoną jego wersję w punkcie Szablon:LinkWzór, co w którym zdefiniujemy nowy parametr λ, dzieki którego możemy wprowadzić odpowiednie przestawienia i wprowadzić z kolei ten nasz wspomniany parametr: Szablon:CentrujWzór
- gdzie m to masa relatywistyczna fotonu.
Skorzystajmy ze wzoru Szablon:LinkWzór (na definicję elementu radialnego czterowektora pędu w zależności od parametru λ) oraz także korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, który jest zbudowany przy pomocy całkowitego kowariantnego θ-owego pędu, który spełnia rolę momentu pędu danego badanego fotonu, a także z definicji kowariantnego pędu czasowego, który jest energią fotonu podzielna przez prędkość światła, również z definicji dla elementów tensora metrycznego dla kulistosymetrycznej statystycznej geometrii Schwarzschilda równość Szablon:LinkWzór możemy napisać jako: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór wyznaczmy wyraz z pochodną wielkości radialnej względem parametru Szablon:Formuła, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór W celu wyznaczenia wielkości wyrażonej wzorem Szablon:Formuła w równości Szablon:LinkWzór pomnóżmy to równanie przez wyrażenie napisane wzorem Szablon:Formuła, co można to zrobić, jeśli nasz promień r kołowej orbity kulistosymetrycznej gwiazdy nie jest równy promieniowi Schwarzschilda, więc wtedy otrzymujemy dalszą równość po opisywanych tutaj operacjach: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy wielkość zwaną potencjałem efektywnym występującej we wzorze Szablon:LinkWzór jako odjemnik. Jest ona zależna od momentu pędu L, które to ten parametr charakteryzuje nasze rozważane ciało krążącej wokół naszej masy, jest ono oznaczane przez: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie z uwzględnieniem definicji na potencjał efektywny zdefiniowany w punkcie Szablon:LinkWzór równość Szablon:LinkWzór zapisujemy w ostatecznej postaci jako kwadrat funkcji pochodnej wielkości radialnej charakteryzujących odległość ciała od środka masy M względem parametru λ: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony naszego równania Szablon:LinkWzór względem wprowadzonego parametru λ dla cząstek bezmasowych, wiedząc, że w tej rozważanej równości po prawej jego stronie odjemna jest parametrem stałym, która znika przy różniczkowaniu: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym krokiem jest podzielenie równania Szablon:LinkWzór obustronnie przez wyrażenie Szablon:Formuła, który jak zakładamy jest na ogół różna od liczby zero, co jest spełnione w prawie większości przypadków dla orbit niekołowych: Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy minimum lub maksimum potencjału efektywnego Szablon:LinkWzór, czyli: Szablon:Formuła, a zatem mamy: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy obie strony ostatniego równania Szablon:LinkWzór przez czwartą potęgę promienia sferycznego rSzablon:Sup i zakładając przy tym że ten promień jest nie równy zero, i dalej skorzystajmy, że stała podczas ruchu na całej orbicie jako parametr L jest wielkością niezerową: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, że cząstka bezmasowa (foton), ma orbitę kołową o promieniu r bardziej zbliżoną środka statycznej masy niż orbita kołowa cząstki o niezerowej masie spoczynkowej.
Okres obrotu a promień współrzędnościowy
Skorzystajmy ze wzoru Szablon:LinkWzór, który przedstawia minimalny i maksymalny promień orbity cząstki masowej, z czego wyznaczymy wyrażenie na kwadrat zredukowanego momentu pędu w dalszych obliczeniach, ale najpierw przekształćmy trochę nasz wzór by po prawej stronie był pierwiastek: Szablon:CentrujWzór Z równości ostatniej wynikowej Szablon:LinkWzór podnieśmy go do drugiej potęgi, aby zlikwidować pierwiastek występujący po prawej stronie równości: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór podzielmy obustronnie przez wyrażenie zależne od masy źródła pola grawitacyjnego Szablon:Formuła, by potem otrzymać równość pierwszą poniżej, by zaraz ją pomnożyć przez wyrażenie Szablon:Formuła, by dostać następnie wyrażenie na Szablon:Formuła (ostatnia równość zaraz poniżej), których schemat tych czynności przedstawiamy tutaj: Szablon:CentrujWzór
Jasne jest, że dla orbity kołowej, które mamy wedle równości Szablon:LinkWzór, gdzie zawsze zachodzi: Szablon:Formuła, bo mamy ponadto: Szablon:Formuła, bo promień orbity nie zmienia się, i dlatego pochodna promienia radialnego względem dowolnego parametru charakteryzującej ten ruch (tutaj mamy interwał czasoprzestrzenny) jest równa zero: Szablon:CentrujWzór Co ostatecznie w Szablon:LinkWzór dokonujemy odpowiednie działania w tymże wspomnianym wzorze, co potem możemy otrzymać wyrażenie, które jest wyrażeniem wymiernym licznika przez mianownik, które są z osobna różnymi wyrażeniami: Szablon:CentrujWzór Gdy cząstka porusza się w jednej płaszczyźnie, co zachodzi gdy obierzemy płaszczyznę, by Szablon:Formuła było prostopadłe do tej płaszczyzny, to prędkość kątowa na podstawie elementów tensora metrycznego Szablon:LinkWzór przedstawiana jest: Szablon:CentrujWzór Następnie policzmy element zerowy czterowektora prędkości, korzystając z elementu podwójnie kontrawariantnego podwójnie zerowego tensora metrycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Podzielmy obustronnie wyrażenie Szablon:LinkWzór przez Szablon:LinkWzór, by potem dobrze wykorzystać wzór Szablon:LinkWzór (wyrażenie na Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (wyrażenie na Szablon:Formuła), wtedy otrzymamy jako pochodną czasową względem kąta θ, czyli otrzymamy końcowe wyrażenie, która nas interesuje: Szablon:CentrujWzór Okres jest to powrót do tego samego punktu w ciągu jednego pełnego obrotu, zatem różniczka czasu względem różniczki kątowej θ jest napisana wzorem poniżej przy pomocy tożsamości końcowej wynikowej Szablon:LinkWzór, i która po scałkowaniu jego obustronnie wyraża okres obiegu cząstki w ciągu jego okrążenia wokół kulistosymetrycznej masy o kąt 2π. Szablon:CentrujWzór I otrzymaliśmy taki sam wzór co Szablon:LinkWzór, tylko innym sposobem, pierwszy z praw ruchu cząstki po prostej w przestrzeni czerowymiarowej (czasoprzestrzeni), wedle ruchu po stycznej do tej prostej, a drugi ze wzoru obrazujący związek czteropędu z jej masą spoczynkową dla cząstki masowej.
Przesunięcie peryferium
Mając wzór na pochodną położenia radialnego względem interwału czasoprzestrzennego Szablon:Formuła, czyli wyrażona wzorem Szablon:LinkWzór, oraz na pochodną zmiennej kątowej względem interwału czasoprzestrzennego Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, ostatni wzór obustronnie podnosimy do kwadratu i dzielimy obustronnie pierwszy wzór przez drugi, wtedy znika różniczka interwału czasoprzestrzennego w końcowym równaniu: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawienia w wyrażeniu Szablon:LinkWzór wielkością zdefiniowaną poniżej, czyli dokonując zamiany zmiennych wedle schematu, tzn. u musi być odwrotnością promienia radialnego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór mamy również Szablon:Formuła, wtedy możemy policzyć pochodną położenia radialnego r względem położenia kątowego θ: Szablon:CentrujWzór Po podstawieniu za pochodną promienia względem wielkości kątowej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, a także podstawiając za odwrotność położenia radialnego u Szablon:LinkWzór do równania Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy obustronnie wzór Szablon:LinkWzór przez niezerowe wyrażenie uSzablon:Sup, które na podstawie Szablon:LinkWzór nigdy nie przyjmuje wartości równej zero, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Zróbmy trochę przekształceń w końcowym wyrażeniu Szablon:LinkWzór w celu usunięcia ostatnich nawiasów, wtedy: Szablon:CentrujWzór Co po uporządkowaniu wyrazów z prawej strony równania Szablon:LinkWzór względem parametru u Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem ruchu dla cząstki posiadającej masę spoczynkową różną od zera, gdy jego promień wodzący jest określony za pomocą u Szablon:LinkWzór.
Przesunięcie peryferium według Newtona
We wzorze, który otrzymaliśmy z ogólnej teorii względności Szablon:LinkWzór zaniedbajmy wyrazy występujące ze sześcianem zmiennej u, czyli uSzablon:Sup, jest to tzw. przybliżenie Newtona, mamy: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy podstawienia we wzorze Szablon:LinkWzór, za funkcję zmienną zmiennej u Szablon:LinkWzór wyrażając ją w zmiennych y: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór wynika, że pochodna wyrażenia y względem zmiennej kątowej, bo ruch masowego ciała odbywa się w jednej płaszczyźnie, można zapisać jako pochodną zmiennej u Szablon:LinkWzór względem zmiennej kątowej: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy teraz podstawień przy pomocy odpowiednich dwóch wyrażeń Szablon:LinkWzór (definicja zmiennej y względem zmiennej u) i Szablon:LinkWzór (pochodna zmiennej y względem położenia kątowego θ) do równania różniczkowego zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń w równaniu Szablon:LinkWzór, by potem dokonać odpowiednich grupowań wyrazów względem wzrastającej potęgi zmiennej u Szablon:LinkWzór, by dalej otrzymać: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujemy zmienną y zdefiniowanego wedle wzoru poniżej, który na razie podamy jako podstawienie, która jest planowanym rozwiązaniem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Musimy dokonać odpowiedniego podstawienia przypuszczalnego rozwiązania Szablon:LinkWzór do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy prawdziwą tożsamość obu jego stron wspomnianego równania, co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Widzimy, że według teorii Newtona, nie występują takie zjawiska jak przesunięcie peryferium, jeśli nie uwzględnimy wpływu innych ciał na orbitę rozważanego ciała. Ostateczne rozwiązanie wedle Szablon:LinkWzór (definicja zmiennej y w zależności od zmiennej u) i Szablon:LinkWzór (definicja zmiennej u w zależności od zmiennej r) jest to równanie, po którym porusza się ciało o niezerowej masie spoczynkowej, która jest rozwiązaniem w postaci: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie Szablon:LinkWzór możemy zapisać troszeczkę w innej postaci biorąc odwrotność obu stron: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem jakie otrzymał Izaak Newton podczas analizowania klasycznej cząstki podczas ruchu danego ciała (planety) wokół gwiazdy według teorii grawitacji, którą stworzył Newton.
Przesunięcie peryferium według ogólnej teorii względności
Dokonajmy dalszych podstawień stosując wzór na zmienną y Szablon:LinkWzór, a także wzór na pochodną zmiennej y względem współrzędnej kątowej θSzablon:LinkWzór do wzoru różniczkowego dla poruszających się cząstek masowych Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór
Następnym krokiem w ostatnim wynikowym równaniu Szablon:LinkWzór jest pominięcie wyrazów z potęgami ySzablon:Sup, bo orbita jest prawie kołowa, wtedy przechodzimy do równości: Szablon:CentrujWzór Zaproponujmy rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór zależne od pewnych stałych, które wyznaczymy później: Szablon:CentrujWzór Podstawmy rozwiązanie Szablon:LinkWzór do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy tożsamość, z którego wyznaczamy stałe ySzablon:Sub, A i k, a B jest dowolną stałą: Szablon:CentrujWzór Porównujemy wyrazy zapisane w punkcie Szablon:LinkWzór, a właściwie obydwie jej strony, tzn. wyrazy związane z wyrażeniem ASzablon:SupcosSzablon:Supθ, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Następnie weźmy wyrazy występujące z czynnikiem cos(kθ+B) w zapisanej tożsamości Szablon:LinkWzór, by je potem przyrównać do zera dla dowolności θ, stąd: Szablon:CentrujWzór Dalej na ostatku porównajmy wyrazy wolne występujące w rozważanej tożsamości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze występujące w tożsamości Szablon:LinkWzór jako dwa składniki razem wzięte, które występują sumie występującej pod jego pierwiastkiem: Szablon:CentrujWzór
Reasumując nasze rozwiązanie Szablon:LinkWzór jest tak zdefiniowane, by w nim występowały trzy stałe zdefiniowane poniżej, które można zapisać za pomocą stałych charakteryzującego nasze źródło pola grawitacyjnego: Szablon:ElastycznyWiersz Ale y jest takie jak we wzorze Szablon:LinkWzór, to kθ, może zmieniać się od kΔθ=0 do kΔθ=2π i wtedy ciało może niecałkowicie obiec elipsę, czyli można udowodnić, że ta elipsa się obraca o kąt Δθ, którą opiszemy poniżej: Szablon:CentrujWzór Wtedy Δθ oznacza przesunięcie peryferium orbity cząstki masowej, co możemy wyznaczyć z równania Szablon:LinkWzór, która jest oczywiście zależna tylko od stałej opisującej orbitę prawie Newtonowską k. Szablon:CentrujWzór Wstawiamy definicję stałej k napisanej w punkcie Szablon:LinkWzór do równania Szablon:LinkWzór, wtedy wielkość Δθ: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór mamy wzór na kwadrat zredukowanego momentu pędu, z którego można dokonać przybliżenia dla dużych r, w tym równaniu mianownik możemy przybliżyć do jedynki, stąd: Szablon:CentrujWzór Wynik uzyskany w punkcie dla dużych r Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, i ten sposób otrzymujemy wzór na przesunięcie peryhelium. Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór pierwszy składnik jest równy 2π, co jest tym samym kątem co bez niego wedle praw trygonometrii, więc to samo przesunięcie kątowe peryferium co Szablon:LinkWzór określone jest dla orbit prawie newtonowskich wzorem: Szablon:CentrujWzór Jest to wzór określający przesunięcie peryferium dla orbit prawie Newtonowskich dla orbit, których efekty relatywistyczne odgrywają dużą rolę.
Odchylenie grawitacyjne światła
Dla cząstek bezmasowych rozważmy pęd θ-owy jako element czterowektora pędu, dla którego jego przestawienie jest podobne jak we wzorze dla pędu radialnego Szablon:LinkWzór, przy czym parametr λ definiujemy poprzez masę relatywistyczną fotonu (foton nie ma masy spoczynkowej), ale korzystając z definicji kontrawariantnego czterowektora pędu Szablon:LinkWzór, a więc wtedy możemy wyrazić nasz pęd względem pochodnej wielkości θ względem parametru λ, co zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony elementy tensora metrycznego nie zależą od zmiennej kątowej, a także od zmiennej czasowej, więc wedle twierdzenia Szablon:LinkWzór zmienna pSzablon:Sub, która jest pędem kowariantnym jest wielkością stałą względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, które spełnia rolę znaną z mechaniki klasycznej momentu pędu, która w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego staje się dokładną wartością momentu pędu znaną z mechaniki Newtona. Szablon:CentrujWzór Mamy sobie wzór Szablon:LinkWzór, która jest równaniem ruchu cząstki względem parametru λ i końcowy wzór wynikowy Szablon:LinkWzór, wtedy weźmy oba te wzory, który ten drugi podnosimy do kwadratu i dzielimy obustronnie przez siebie dostając równość: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy nowy parametr b, który jest zależny od wielkości L, która w analogi do mechaniki klasycznej nazwijmy momentem pędu, a także jest zależna ona od energii tegoż fotonu E, a także od prędkości światła w próżni. Szablon:CentrujWzór Zastosowanie definicji nowego parametru Szablon:LinkWzór do równości Szablon:LinkWzór w rezultacie daje nam: Szablon:CentrujWzór Obierzmy nową zmienną u, to wtedy zmienna radialna w układzie kulistym r jest wyrażona poprzez u w sposób: Szablon:CentrujWzór Różniczka położenia radialnego wyrażona względem zmiennej u, która jest zdefiniowana w punkcie Szablon:LinkWzór, którą rozpiszemy ją, by otrzymać zależność różniczkową zmiennej u Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Po wykorzystaniu definicji na różniczkę wielkości radialnej dr Szablon:LinkWzór i na promień radialny r Szablon:LinkWzór, to wtedy podstawiając je do tożsamości Szablon:LinkWzór, które podzielimy potem przez zawsze niezerowe wyrażenie uSzablon:Sup (bo zachodzi Szablon:LinkWzór), dostajemy: Szablon:CentrujWzór Odwróćmy wzór Szablon:LinkWzór obustronnie na wyrażenie typu 1/coś=1/coś, wtedy dostajemy ostatecznie inne równoważne do poprzedniego wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Powyższy wzór jest wzorem relatywistycznym toru dla bezmasowego fotonu, którego położenie radialne jest określone wedle Szablon:LinkWzór.
Ruch światła po zaniedbaniu efektów relatywistycznych związanego z masą
Jeśli pominiemy wyrazy z uSzablon:Sup w równaniu Szablon:LinkWzór, bo G jest małe oraz cSzablon:Sup jest bardzo duże, to otrzymamy: Szablon:CentrujWzór czyli dokonaliśmy pominięcia ze wszystkich efektów relatywistycznych związanych ze źródłem oddziaływania grawitacyjnego.
Rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Podstawmy rozwiązanie Szablon:LinkWzór do naszego równania Szablon:LinkWzór, stąd mamy: Szablon:CentrujWzór Otrzymujemy wniosek, że po zaniedbaniu efektów z związanych z masą M światło będzie się poruszało się linii prostej, czyli rozwiązaniem jego przy uwzględnieniu definicji na u, zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, jest wzór: Szablon:CentrujWzór
Ruch fotonów po niecałkowitym zaniedbaniu relatywistycznym
Mamy sobie równanie ruchu rządzące ruchem trajektoriami fotonów Szablon:LinkWzór i obierzmy sobie nową zmienną y w zależności od stałej zmiennej Szablon:LinkWzór, z którego wyznaczmy zmienną u, zatem zdefiniujmy zmienną y jako: Szablon:CentrujWzór co jest z dokładnością do wyrazów pierwszego stopnia. Korzystając z końcowego wyrażenia wynikowego policzmy pochodną zmiennej u Szablon:LinkWzór względem położenia kątowego θ: Szablon:CentrujWzór Podstawmy wyrażenie na pochodną wyrażenia u względem zmiennej kątowej θ Szablon:LinkWzór i zmienną u Szablon:LinkWzór do równości Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Pomijamy wyrazy rzędu większego niż w przypadku potęg zmiennej y o wykładniku większym niż dwa w równaniu różniczkowym Szablon:LinkWzór, wtedy z oczywistych powodów mamy prawo myśleć: Szablon:CentrujWzór Pierwiastkujemy obie strony równania Szablon:LinkWzór, w tym celu po dokonaniu tej operacji należy pamiętać, że z lewej strony naszego wspomnianego wyrażenia pojawia się znak plus lub minus, zatem dostajemy dwa poniższe wzory z tymi znakami zapisanej w jednym równaniu ogólnie: Szablon:CentrujWzór Przecałkujmy obie strony równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Policzmy pomocniczą całkę nieoznaczoną potrzebną do zrobienia dalszych obliczeń, która to całka występuje z lewej strony równania Szablon:LinkWzór, stąd: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór dostajemy ogólny wzór na naszą całkę nieoznaczoną: Szablon:CentrujWzór
Wyznaczmy kąt odchylenia fotonu θ w zależności od y, (r→∞⇒ u=0)⇒ y=0, oczywiście korzystając z definicji u i y. Początkowe y jest równe zero. Zakładamy, że cząstka przebywa z nieskończoności i będziemy rozpatrywać ruch tej właśnie cząstki aż do punktu w którym y ma wartość Szablon:Formuła, czyli wybieramy znak plus Szablon:LinkWzór (bo cząstka zbliża się do kulistosymetrycznej masy). Całka oznaczona wygląda wtedy: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie równania różniczkowego Szablon:LinkWzór przedstawiamy je w zależność od zmiennej y i kąta θ: Szablon:CentrujWzór
Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego Szablon:LinkWzór dla naszego przypadku jest funkcja kąta θ w zależności od zmiennej y: Szablon:CentrujWzór
Foton osiąga swe najniższe położenie, gdy Szablon:Formuła, co można policzyć ze wzoru Szablon:LinkWzór, a zatem odchylenie fotonu przy ruchu z nieskończoności do jej najbliższego zbliżenia do masywnej gwiazdy względem położenia w nieskończoności jest określone: Szablon:CentrujWzór Następny rozpatrzmy ruch fotonu z Szablon:Formuła od y=0 do nieskończoności od jej najbliższego zbliżenia, a zatem foton porusza się od odległości, gdy foton znajduje się najbliżej masy Szablon:Formuła (przy kącie Szablon:LinkWzór), do celu należącym w drodze do nieskończoności, wtedy wybieramy znak minus przed całką po lewej stronie równania Szablon:LinkWzór (bo foton oddala się do nieskończoności), wtedy: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór w postaci drugiego rozwiązania od chwili jej najbliższego zbliżenia jest równanie w postaci wzoru poniżej, którego całka została obliczona w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór
Ogólne rozwiązanie przedstawia się wzorami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, którego to odchylenie θ jest zapisywane ogólnym wzorem dla ruchu cząstki od nieskończoności do jej najbliższego zbliżenia, oraz od jej najbliższego zbliżenia do ruchu do nieskończoności, które oba te równania są zależne od zmiennej y zdefiniowanej wzorem Szablon:LinkWzór, a zmienna u jest zdefiniowana wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy położenie kątowe zmienia się według: Szablon:CentrujWzór
Policzmy odchylenie cząstki, jeśli położenie początkowe w nieskończoności wynosiło θSzablon:Sub (gdy cząstka porusza się do kulistosymetrycznej masy), to po odchyleniu też w nieskończoność, gdy y=0 (po odbyciu tej całej podróży od tej masy od nieskończoności do nieskończoności), wynosi: Szablon:CentrujWzór Jeśli foton poruszał się początkowo po prostej, to odchylenie względem tej prostej bez uwzględnienia efektów relatywistycznych wynosiło π, to po uwzględnieniu tych efektów poprawka do tego odchylenia jest napisana: Szablon:CentrujWzór
Wpadające cząstki w kierunku radialnym do horyzontu zdarzeń czarnej dziury
Rozpatrzmy spadanie radialne cząstki masowej na powierzchnię o promieniu Szablon:Formuła, wtedy zachodzi dθ=0 i wedle definicji czterowektora pędu θ-owego pęd kontrawariantny jest równy zero, a na podstawie tego wedle Szablon:LinkWzór ten pęd kowariantny jest stały (bo elementy tensora metrycznego nie zależą od zmiennych kątowych) i nie zmienia swojej wartości, ta wielkość jest odpowiednikiem momentu pędu znanej z mechaniki klasycznej, a więc nasze równanie ruchu wedle Szablon:LinkWzór jest przedstawione: Szablon:CentrujWzór
Różniczka interwału czasoprzestrzennego wynikającego z równania Szablon:LinkWzór można napisać w postaci wzoru, który zależy od różniczki promienia radialnego cząstki spadającej do czarnej dziury: Szablon:CentrujWzór W powyższym wyrażeniu mamy znak minus, bo rozpatrywane ciało porusza się z pewnego punktu o położeniu radialnym R radialnie i ono porusza się do horyzontu zdarzeń o promieniu rSzablon:Sub Schwarzchilda, czyli wedle zmniejszającego się promienia. Jeśli zachodzi Szablon:Formuła (wedle tego warunku ciało w nieskończoności spoczywa), to mamy całkę na zmianę interwału czasoprzestrzennego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wynik uzyskany ze wzoru Szablon:LinkWzór jest wielkością skończoną natomiast, gdy energia zredukowana spełnia warunek Szablon:Formuła, to cząstka może posiadać maksymalne położenia radialne z warunku Szablon:LinkWzór spełniającego równanie: Szablon:CentrujWzór Wykorzystajmy teraz element zerowy czterowektora prędkości, czyli pochodną iloczynu czasu i prędkości światła względem interwału czasoprzestrzennego, co poniżej przestawimy: Szablon:CentrujWzór Z równania Szablon:LinkWzór otrzymujemy wzór na różniczkę czasu współrzędnościowego w zależności od różniczki interwału czasoprezestrzennego: Szablon:CentrujWzór
Do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór dokonajmy podstawienia za ds opisywanej wzorem Szablon:LinkWzór, zatem w takim przypadku to pierwsze równanie na cdt przyjmuje w zależności od różniczki współrzędnej radialnego położenia cząstki w układzie kulistym postać: Szablon:CentrujWzór
Rozważmy przypadek, gdy cząstka spoczywa w nieskończoności, to wtedy: Szablon:Formuła, jeśli dokonamy podstawienia: Szablon:Formuła, to ostatecznie ze wzoru Szablon:LinkWzór można dojść do wzoru wynikowego: Szablon:CentrujWzór
Z powyższego wzoru na dt, wynika, że gdy γ→ +0, z stąd wynika, że funkcja ma granicę prawostronną w postaci Szablon:Formuła, jeśli przecałkować obustronnie wyrażenie Szablon:LinkWzór, to prawa strona zawiera całkę rozbieżną do nieskończoności (dla cząstki, która podróżuje do horyzontu zdarzeń), zatem na podstawie wspomnianego wyrażenia cząstka osiągnie powierzchnie o promieniu Schwarzchilda dopiero po nieskończonym długim czasie współrzędnościowym mimo skończonego czasu własnego.
Gdy cząstka znajduje się nieskończenie bliskiego promienia Schwarzschilda, w którym cząstka znajdowała się początkowo, a przebyła z odległości o promieniu wodzącym R, wtedy w takim przypadku czas współrzędnościowy jest nieskończony mimo skończonego czasu własnego, co ta wielkość musi zachowywać się źle, co świadczy o załamaniu się Ogólnej Teorii Względności.