Metody matematyczne fizyki/Układ współrzędnych

Omówimy tutaj trzy rodzaje układów współrzędnych, tzn. układ kartezjański, cylindryczny i sferyczny.

Układ kartezjański

Szablon:Rysunek Układem współrzędnych kartezjańskich, nazywamy taki układ współrzędnych, w których zadany jest punkt zwany początkiem układu współrzędnych. W punkcie tym wszystkie wspòłrzędne są równe zero.

Współrzędne

W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy pierwsze osie, nazywamy:

• oś x: odcięta
• oś y: rzędna
• oś z: kota

Prostokątny układ współrzędny jest to układ, której współrzędne danego punktu powstają poprzez prostokątny rzut jego na poszczególne osie układu.

Podział płaszczyzny

Kartezjański układ współrzędnych Szablon:Formuła w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery części tzw. ćwiartki:

• I ćwiartka – Szablon:Formuła,
• II ćwiartka – Szablon:Formuła,
• III ćwiartka – Szablon:Formuła,
• IV ćwiartka – Szablon:Formuła.

Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych

Każdy układ kartezjański w przestrzeni trójwymiarowej może być lewoskrętny lub prawoskrętny. Według reguły prawej dłoni, jeśli obracamy prawą dłoń od OX do OY, to taki układ nazywamy prawoskrętny.

Układ cylindryczny

Walcowym (cylindrycznym) układem współrzędnych jest to układ współrzędnych w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Każdy punkt w przestrzeni zapisuje się za pomocą trójki współrzędnych Szablon:Formuła, gdzie poszczególne współrzędne wyrażają się w postaci:

Szablon:Formuła: jest to odległość układ współrzędnych od jego początku.

Szablon:Formuła jest to kąt rzutu jaki tworzy rzut wektora wodzącego z osią OX.

Szablon:Formuła jest to odległość rzutu punktu na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego

Wzory transformujące współrzędne φ i ρ i zSzablon:Sup w układzie współrzędnych kartezjańskich walcowatych przedstawiamy wedle sposobu: Szablon:ElastycznyWiersz

Jakobian przejścia

Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do walcowatych: Szablon:CentrujWzór Przepiszmy końcowy wynik Szablon:LinkWzór, który właśnie wyznaczyliśmy: Szablon:CentrujWzór

Układ sferyczny

Szablon:Rysunek Dowolnemu punktowi można przepisać trójkę współrzędnych Szablon:Formuła:

• Szablon:Formuła - promień wodzący, gdzie Szablon:Formuła
• Szablon:Formuła - długość azymutalna ,gdzie Szablon:Formuła
• Szablon:Formuła - odległość zenitalna, gdzie Szablon:Formuła

Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej

Wzory transformujące współrzędne kuliste ρ i θ i φ w układzie współrzędnych kartezjańskich sferycznych do współrzędnych kartezjańskich przedstawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz

Jakobian przejścia

Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do sferycznych według: Szablon:CentrujWzór Przepiszmy końcowy wynik Szablon:LinkWzór, który właśnie wyznaczyliśmy: Szablon:CentrujWzór