Metody matematyczne fizyki/Transformacja Laplace'a

W wielu zastosowaniach technicznych, a w szczególności w teorii obwodów elektrycznych spotykamy się z transformacjami Laplace'a, które są odpowiednikiem transformacji Fouriera. Funkcje, które stanowią bazę transformacji Laplace'a, które zaczęto je nazywać oryginałami.

Definicja transformaty prostej Laplace'a

Transformatą L[f] oryginału f jest to funkcja zależna od oryginału f(t), która to z kolei zależy od zmiennej "t", którą określamy: Szablon:CentrujWzór Zwykle transformatę funkcji f, czyli L[f(t)] oznaczamy symbolem Szablon:Formuła.

Przykłady transformat Laplace'a

Tutaj podamy transformaty Laplace'a dla wielu funkcji elementarnych, które możemy wyznaczyć z prostych reguł całkowania z analizy matematycznej. Szablon:Tabelka

Transformacja odwrotna

Jeśli znamy transformatę funkcji Szablon:Formuła, którą wyliczyliśmy dla funkcji f według wzoru Szablon:LinkWzór, to funkcję f(t) można wyznaczyć korzystając ze: Szablon:CentrujWzór

• gdzie z=x+iy i dz=idy.

Aby udowodnić wzór Szablon:LinkWzór, który omawia przejście z transformaty Laplace'a z funkcji Szablon:Formuła do funkcji f(t), którą to transformatę wyznaczamy z powyższego wzoru, zatem przejdźmy do właściwego etapu dowodu. Do transformaty odwrotnej Laplace'a podstawiamy wzór na jego transformatę prostą Laplace'a i w rezultacie mamy: Szablon:CentrujWzór Funkcja napisana wewnątrz wzoru Szablon:LinkWzór jest deltą Diraca. którego to określamy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie definicji delty Diraca, tym razem przestawionego w punkcie Szablon:LinkWzór, która występuje w obliczeniach Szablon:LinkWzór, i według właściwości delty Diraca możemy dokończyć te nasze obliczenia: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że transformata odwrotna, która jest przestawiona wzorem Szablon:LinkWzór jest transformatą odwrotną do transformaty prostej zapisaną wzorem Szablon:LinkWzór.

Transformata Laplace'a pochodnej

We wzorze Szablon:LinkWzór podstawimy, zamiast funkcji f(t) funkcję f'(t), to całkując tak otrzymany wzór przez części dostajemy obraz: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór transformata pochodnej funkcji f(s) przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Analogicznie wyprowadzamy transformatę drugiej pochodnej, którą to określamy przeprowadzając jednocześnie obliczenia wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Transformata Laplace'a całki z oryginału

Określmy funkcję pierwotną z oryginału, którym jest całka, która dla argumentu t=0 jest równa zero, co wynika z definicji całki: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy transformatę funkcji F(t) określoną wzorem Szablon:LinkWzór, zatem te obliczenia możemy przeprowadzić jako: Szablon:CentrujWzór W drugiej równości w obliczeniach Szablon:LinkWzór pierwszy wyraz jest równy zero, bo F(0)=0 i Szablon:Formuła. Według przeprowadzonych obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór transformata powyżej całki jest przestawiana: Szablon:CentrujWzór

Transformata funkcji przesuniętej

Jeśli transformatą funkcji f(t) jest funkcja Szablon:Formuła, to oczywiste jest, że transformatą funkcji f(t-a) jest funkcja f_a(t), którą liczymy: Szablon:CentrujWzór

Transformata funkcji f(at) dla a>0

Wyznaczamy transformatę funkcji f(at) dokonując podstawienia u=at, by potem policzyć transformatę szukanej funkcji: Szablon:CentrujWzór