Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy

Przestrzeń nieeuklidesowa - przestrzeń, która nie jest przestrzenią euklidesową, tzn. nie jest spełniony piąty postulat geometrii euklidesowej o prostych równoległych.

Konwencja Einsteina

W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego TSzablon:Sup i kowariantnego SSzablon:Sub, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład Szablon:LinkWzór zapisujemy w prostszej postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej).

Tensor kowariantny

Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi m, na nowe o takiej samej liczbie zmiennych: Szablon:CentrujWzór Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina. Szablon:CentrujWzór A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór

Tensor kontrawariantny

Tensorem kontrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu: Szablon:CentrujWzór Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina: Szablon:CentrujWzór A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy: Szablon:CentrujWzór

Definicja prostego tensora metrycznego

Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór wprowadziliśmy tensor gSzablon:Sub, mając zmienne xSzablon:Sup przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym: Szablon:CentrujWzór Mając powyższy wzór Szablon:LinkWzór tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji.

Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że: Szablon:CentrujWzór

W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy gSzablon:Sub=gSzablon:Sub, czyli tensor metryczny jest symetryczny, co oznacza, że dla macierzy g tensora metrycznego mamy: g=gSzablon:Sup, bo Szablon:Formuła.

Definicja odwrotnego tensora metrycznego

Tensor odwrotny do tensora metrycznego gSzablon:Sub definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie Szablon:LinkWzór, wedle wzoru: Szablon:CentrujWzór Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny Szablon:LinkWzór jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej: Szablon:CentrujWzór

W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy g^kr=g^rk, zatem możemy dojść do wniosku, że odwrotny tensor metryczny przestawionej w punkcie Szablon:LinkWzór jest tensorem symetrycznym ze względu na zmianę wskaźników k i r między sobą.

Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach

Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór.

Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego

Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego Szablon:LinkWzór i odwrotnego Szablon:LinkWzór oraz podobnych przekształceń do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, kolejno postępując: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny: Szablon:ElastycznyWiersz Macierz g^m_k jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g_ij jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g^ij wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór.

Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny

W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego Szablon:LinkWzór względem współrzędnej krzywoliniowej q^m: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w Szablon:LinkWzór o wskaźnikach m i n, wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym Szablon:LinkWzór, co wynika z definicji wektora kowariantnego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór, który jest analogiczną definicją do Szablon:LinkWzór. Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu: Szablon:CentrujWzór Podnieśmy wskaźnik m do góry we wzorze Szablon:LinkWzór, który jest wektorem Szablon:LinkWzór i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy przez n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n: Szablon:CentrujWzór

Definicja symboli Christoffela

Pochodną danego wektora bazy po współrzędnej krzywoliniowej (np. pochodną Szablon:Formuła po Szablon:Formuła) można wyrazić przez kombinacje liniowe wektorów bazy Szablon:Formuła - współczynniki kombinacji nazywa się symbolami Christofela dla wektorów bazy Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Twierdzenie: Dla wektorów kobazy Szablon:Formuła zachodzą związki Szablon:CentrujWzór

Dowód: Pomnóżmy wzór Szablon:LinkWzór przez Szablon:Formuła i wykorzystajmy zależność Szablon:Formuła (por. Szablon:LinkWzór): Szablon:CentrujWzór

Pomnóżmy Szablon:LinkWzór przez tensor metryczny Szablon:Formuła i wykorzystajmy tożsamość Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Pomnóżmy obustronnie Szablon:LinkWzór przez Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór

Ponieważ Szablon:Formuła (por. Szablon:LinkWzór), oraz Szablon:CentrujWzór to równanie Szablon:LinkWzór można przekształcić do postaci: Szablon:CentrujWzór

Wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór w Szablon:LinkWzór otrzymamy Szablon:CentrujWzór

Pierwsze dwa wyrazy w Szablon:LinkWzór redukują się, tzn. mamy Szablon:CentrujWzór

- otrzymaliśmy wzór Szablon:LinkWzór , cnd.

Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej

W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną wektora o współrzędnych kowariantnych. Dowolny wektor A można rozłożyć na składowe kontrawariantne ASzablon:Sup względem wersorów e_i: Szablon:CentrujWzór Policzmy różniczkę wektora A wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości: Szablon:CentrujWzór Wykorzystać tożsamość Szablon:LinkWzór obliczamy różniczkę wektora eSzablon:Sub Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór wstawiamy do Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze Szablon:LinkWzór otrzymujemy wzór: Szablon:CentrujWzór Obie strony Szablon:LinkWzór dzielmy przez różniczkę du - po przekształceniu otrzymujemy pochodną zupełną wielkości x^l względem zmiennej u pomnożonej przez wektor e_k: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie w nawiasie wzoru Szablon:LinkWzór definiuje pochodną kowariantną: oprócz zwykłej pochodnej cząstkowej mamy tu składnik zawierający sumę iloczynów współrzędnych wektora A i symbolu Christoffela: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór nazywamy pochodna absolutną, a Szablon:LinkWzór jest pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej.

Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej

W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe B_i względem wektorów kontrawiantnych eSzablon:Sup, wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru Szablon:LinkWzór wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka dB wyraża się wzorem: Szablon:CentrujWzór Możemy również, wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór i używając jej we wzorze na różniczkę wersora e_i, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym: Szablon:CentrujWzór Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej Szablon:LinkWzór możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B Szablon:LinkWzór, którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem: Szablon:CentrujWzór Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze Szablon:LinkWzór możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną: Szablon:CentrujWzór A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór Szablon:LinkWzór nazywamy pochodną kowariantną wielkości kowariantnej.

Pochodna tensorowa iloczynu tensorów

Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy lewą stronę równania Szablon:LinkWzór, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej Szablon:LinkWzór, po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód.

Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy lewą stronę równania Szablon:LinkWzór, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej Szablon:LinkWzór, i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód.

Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela

Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy φ napisaną względem wielkości α i β, co wyrazimy: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania: Szablon:ElastycznyWiersz Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy: Szablon:CentrujWzór Pochodna cząstkowa względem parametru xSzablon:Sup, a potem od parametru xSzablon:Sup jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej: Szablon:CentrujWzór W takim bądź razie wyrażenie Szablon:LinkWzór, przy pomocy tożsamości Szablon:LinkWzór wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci: Szablon:CentrujWzór Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej φ i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji φ Szablon:LinkWzór, tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako: Szablon:CentrujWzór Weźmy wzór Szablon:LinkWzór i pomnóżmy go obustronnie przez wektor Szablon:Formuła pamiętając, że Szablon:Formuła, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim w symbolach Christoffela, wtedy: Szablon:CentrujWzór A ponieważ wektor Szablon:Formuła może być dowolny, wtedy z Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Porównajmy dwa wzory końcowy Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego Szablon:Formuła przemienność pierwszego wskaźnika z drugim: Szablon:CentrujWzór Zatem właściwość symboli Christoffela przemienności wskaźnika pierwszego z trzecim wychodząc od Szablon:LinkWzór możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy wykorzystując Szablon:LinkWzór (sprowadzając wskaźniki na dół), potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co: Szablon:CentrujWzór Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie Szablon:LinkWzór) i pierwszego z trzecim Szablon:LinkWzór wskaźnika symboli Christoffela, czyli mamy właściwość po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne, czyli wtedy zachodzi Szablon:LinkWzór, co później dzięki właściwości tensora metrycznego ta właściwość też jest spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników z dołu do góry.

Uogólnienie tensora absolutnego

Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e_ki: Szablon:CentrujWzór Stosując konwencje sumacyjną Einsteina, wtedy Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór.

Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych

Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu Szablon:LinkWzór, dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez: Szablon:CentrujWzór Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór do którego podstawiamy dwie tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli wzór Szablon:LinkWzór podzielimy przez wielkość du, dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x^l względem wielkości u i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy: Szablon:CentrujWzór A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie Szablon:LinkWzór względem wielkości x^l, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela: Szablon:CentrujWzór Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru Szablon:LinkWzór, dla przykładów poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru Szablon:LinkWzór, które zapisujemy: Szablon:CentrujWzór

Własności tensora metrycznego

Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie Szablon:LinkWzór wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku μ, przy operacjach na wskaźnikach: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór do której zastosujemy tożsamość tensorową Szablon:LinkWzór, którą zapisujemy z własności tensora metrycznego: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości: Szablon:CentrujWzór

Wyznaczanie symboli Christoffela

Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi Szablon:LinkWzór, to wykorzystując przy okazji wzór Szablon:LinkWzór, możemy powiedzieć, że: Szablon:ElastycznyWiersz Poprzez permutację wskaźników we wzorze Szablon:LinkWzór otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór

Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez g^kr tożsamość otrzymaną w punkcie Szablon:LinkWzór przechodzimy do tożsamości: Szablon:CentrujWzór Po przekształceniach w punkcie Szablon:LinkWzór wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego Szablon:LinkWzór, co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Końcowy wynik zapisany w punkcie Szablon:LinkWzór jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności: Szablon:CentrujWzór

Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych

Teraz udowodnimy, że pochodne kowariantne mieszane w przestrzeni nieeuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: Szablon:CentrujWzór

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu Szablon:LinkWzór, to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową Szablon:LinkWzór, to wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór wedle obliczeń Szablon:LinkWzór zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: Szablon:CentrujWzór

• gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela:

Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych

Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: Szablon:CentrujWzór

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu Szablon:LinkWzór, może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową Szablon:LinkWzór, to wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór wedle obliczeń Szablon:LinkWzór zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: Szablon:CentrujWzór

• gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy:

Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych

Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny Szablon:LinkWzór wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru Szablon:LinkWzór, w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później: Szablon:CentrujWzór Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu Szablon:LinkWzór, to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość: Szablon:CentrujWzór Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny Szablon:LinkWzór po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej Szablon:LinkWzór, możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: Szablon:CentrujWzór Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: Szablon:CentrujWzór Mając wzór Szablon:LinkWzór, a także tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Przepisując jeszcze raz końcowy wynik Szablon:LinkWzór, wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Inny równoważny do Szablon:LinkWzór czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór piszemy natomiast wedle wyobrażeń: Szablon:CentrujWzór

Tensorowy charakter tensora krzywizny

Z definicji pochodnej tensorowej Szablon:LinkWzór możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór wstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny Szablon:LinkWzór jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie Szablon:LinkWzór. Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż: Szablon:CentrujWzór

Właściwości tensora krzywizny

Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu: Szablon:CentrujWzór

Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu: Szablon:CentrujWzór

Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania: Szablon:CentrujWzór Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, Szablon:LinkWzór przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie Szablon:LinkWzór przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje: Szablon:CentrujWzór Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór. Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie Szablon:LinkWzór przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy: Szablon:CentrujWzór

Tożsamość Bianchiego

Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor Szablon:LinkWzór jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus: Szablon:CentrujWzór A dowód Szablon:LinkWzór przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór i korzystając przy tym z własności Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Udowodniliśmy, że tensor KSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny.

Pochodna tensorowa tensora KSzablon:Sub zapisanego w punkcie Szablon:LinkWzór, przedstawia się wzorem wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości Szablon:LinkWzór. Dzięki temu wiemy, że; Szablon:CentrujWzór

Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach: Szablon:CentrujWzór Teraz skorzystamy z definicji KSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu Szablon:LinkWzór, a wtedy lewa strona Szablon:LinkWzór jest zapisana wzorem: Szablon:CentrujWzór A także prawą stronę równości Szablon:LinkWzór zapisujemy: Szablon:CentrujWzór

Dochodzimy do wniosku, że jeśli Szablon:Formuła, czyli wyrażenia Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są sobie równe, bo punkt Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Poniżej traktujemy jako zmienne gSzablon:Sub i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny Szablon:LinkWzór i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako: Szablon:ElastycznyWiersz Poniżej traktujemy jako zmienne gSzablon:Sup i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych. Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości Szablon:LinkWzór wykorzystując udowodnioną tożsamość Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego Szablon:LinkWzór względem g^im, wtedy otrzymujemy wniosek: Szablon:CentrujWzór Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość Szablon:LinkWzór. Zatem tożsamość Bianchiego po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do Szablon:LinkWzór pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku: Szablon:CentrujWzór

Tensor Ricciego

Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym Szablon:LinkWzór piszemy wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Powyższe skrajne równości są sobie równe w Szablon:LinkWzór. Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód.

Tensor Ricciego Szablon:LinkWzór zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora: Szablon:CentrujWzór

Skalar Ricciego

A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego Szablon:LinkWzór wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej, wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny: Szablon:CentrujWzór