Metody matematyczne fizyki/Obrót układu współrzędnych

Zajmować się będziemy obrotem punktu wokół początku układu współrzędnych, a także obrotem układu współrzędnego płaskiego o ściśle określony kąt, a także obrotem układu współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej o ściśle określone kąty Eulera.

Obrót punktu wokół osi z

Spróbujmy napisać transformacje obrotu punktu (x,y) dla przestrzeni dwuwymiarowej przy obrocie odwrotnym niż ruch wskazówek zegara o kąt α do punktu (x',y'), wiedząc że transformacje współrzędnych z układu cylindrycznego na kartezjański można napisać w postaci wzorów x=rcosα i y=rsinα: Szablon:ElastycznyWiersz

Otrzymujemy w ten sposób dwa równania przedstawiające obrót wokół osi z o kąt φ mając stare współrzędne kartezjańskie "x" i "y" w płaskim układzie współrzędnych:

• Obrót dwuwymiarowy punktu, wokół osi z:

Szablon:ElastycznyWiersz Macierzowo, macierz obrotu punktu w układzie kartezjańskim wokół osi z o kąt φ piszemy na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór według: Szablon:CentrujWzór

Ogólnie macierzowo związek Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór piszemy ogólnie przy definicji macierzy obrotu Szablon:LinkWzór wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Po podstawieniu za M określone wzorem Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór możemy macierzowo opisać transformacje obrotu punktu (x,y) wokół punktu (0,0) wedle wzoru określonego poniżej. Szablon:Twierdzenie Szablon:Twierdzenie

Obrót układu współrzędnych wokół osi z

Z poprzedniego rozdziału wiemy, że macierz transformacji określająca obrót punktu wokół początku układu współrzędnej jest napisana wzorem Szablon:LinkWzór. Teraz niech punkt pozostaje w spoczynku, a układ współrzędnych porusza się odwrotnie ze wskazówkami współrzędnych, wtedy w macierzy transformacji trzeba zastąpić według podstawienia Szablon:Formuła, stąd: Szablon:CentrujWzór Zaś sama transformacja wygląda : Szablon:Twierdzenie

Kąty Eulera

Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera), to układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Definicja

Dokonajmy obrotu układu współrzędnych xyz do x'y'z', według opisu:

• obrotu wokół osi z, takiego aby oś x pokryła się z linią węzłów w
• obrotu wokół osi x ( = w), takiego aby oś z pokryła się z osią z'
• obrotu wokół osi z ( = z'), takiego aby oś x pokryła się z osią x' (wówczas również oś y pokryje się z osią y').

Przy czym zakładamy, że obrót wokół np. osi x uważamy za dodatni, gdy odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. Obrót układu współrzędnych można opisać przez trójkę kątów:

Szablon:Formuła.

Określmy:

• Szablon:Formuła — kąt mierzony od osi x do osi węzłów w w kierunku wyznaczonym osią z jest to kąt obrotu 1.
• Szablon:Formuła — kąt mierzony od osi węzłów w do osi x' w kierunku wyznaczonym osią z' jest to kąt obrotu 2.
• Szablon:Formuła — kąt mierzony od osi z do z' w kierunku wyznaczonym osią węzłów w jest to kąt obrotu 3.

Macierze obrotu A₁, A₂ i A₃, którego symbolizują obroty układu współrzędnych, z charakteryzowane powyżej wynoszą: Szablon:ElastycznyWiersz Macierz obrotu Szablon:LinkWzór(przy pierwszym obrocie) i Szablon:LinkWzór(przy trzecim obrocie) są w kierunku wyznaczonym przez trzecią oś, a Szablon:LinkWzór(przy drugim obrocie) jest w kierunku wyznaczonym przez pierwszą oś. Macierz obrotu w trzech kierunkach na podstawie macierzy poszczególnych obrotów Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór jest przedstawiona wzorem A=A₃A₂A₁), co po podstawieniu do tej formuły macierze obrotów, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, określająca obroty ze starego położenia do nowego układu współrzędnych, przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Natomiast odwrotna macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, przekształcająca obroty z nowego położenia układu współrzędnych do starego, jest napisana w sposób następujący: Szablon:CentrujWzór Odwrotną macierz obrotu Szablon:LinkWzór można również otrzymać z Szablon:LinkWzór zamieniając jednocześnie według Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a potem wszystkie kąty zmieniając na przeciwne. Podobnie jak dla wzoru Szablon:LinkWzór możemy napisać podobny wzory ale dla transformacji Eulera dla każdego kąta z osobna: Szablon:ElastycznyWiersz Co można napisać łącząc te trzy transformacje w transformacje Eulera wykorzystując, że całkowita macierz obrotu $A$ jest iloczynem poszczególnych macierzy obrotów wykorzystywanych w transformacjach Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że transformacja Szablon:LinkWzór zachowuje długość w przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej, w której mamy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny), bo: Szablon:CentrujWzór co dowód tego został ukończony.