Metody matematyczne fizyki/Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

Równanie kuli

W przestrzeni n-wymiarowej mamy zdefiniowaną pewną normę Szablon:Formuła, należącej do przestrzeni rzeczywistej, wzór na kulę niedomkniętą, a także domkniętą, a na samym końcu sfery przestawiamy wzorami poniżej o promieniach R, obie kule (niedomkniętą i domkniętą) dla przestrzeni z tą właśnie zdefiniowaną normą przestawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Dla przestrzeni Euklidesowej z normalną normą kule niedomkniętą, domknięta, a także sferę przestawiamy po kolei: Szablon:ElastycznyWiersz

• gdzie N jest to wymiar kuli w przestrzeni n-wymiarowej.

Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni

Wzór na sferę Szablon:LinkWzór, dla której promień naszej rozważanej sfery jest R mając współrzędne środka tej kuli x_io, i współrzędne punktów sfery x_i, piszemy: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy dla oczywistych powodów, że środek kuli jest w środku układu współrzędnych, tzn. zachodzi warunek x_0i=0 we wzorze Szablon:LinkWzór, co nie umniejsza dowodu, by później wyznaczyć objętość n wymiarowej kuli zanurzonej w przestrzeni n-wymiarowej, zatem z definicji n-wymiarowej objętości kuli o promieniu jeden Ω(1) pomnożonej przez R^s mamy: Szablon:CentrujWzór Grupując we wzorze Szablon:LinkWzór odpowiednio wyrazy w czynniku pod całką, gdy promień kuli wynosi jeden, korzystając przy tym ze wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy objętość n-wymiarowej tej kuli jest: Szablon:CentrujWzór Obierzmy promień kuli s wymiarowej o promieniu jeden, który określany wzorem Szablon:Formuła, gdzie R₁ jest promień kuli w s-1 wymiarowej przestrzeni, pisząc ją przez Szablon:Formuła, wtedy jej objętość: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ zachodzi na pewno Szablon:Formuła, to wzór Szablon:LinkWzór na promień jednostkowy kuli, którego objętość Ω_s(1) wyżej wspomniana w zależności od objętości kuli s-1 wymiarowej Ω_s-1(1), piszemy: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz całkę początkowo przekształcając tą całkę z własności symetryczności funkcji podcałkowej, która występuje jako całka we wzorze końcowym wynikowym Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dokonując podstawienia wynikającego z podstawienia wynikającego ze wzoru x=y², to różniczka funkcji y(x) piszemy przez Szablon:Formuła, wtedy końcowy wzór Szablon:LinkWzór piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Całka występująca we wzorze Szablon:LinkWzór jest szczególnym rodzajem całki Eulera pierwszego rodzaju, gdzie w naszym przypadku mamy Szablon:Formuła oraz Szablon:Formuła, którą definiujemy wzorem zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór.

Całka Eulera B(a,b) dla parametrów równych a=α i b=β we wspomnianym wzorze na definicji całki Eulera pierwszego rzędu, dla naszych argumentów wchodzących w skład do tej całki, którą możemy napisać jako tożsamość: Szablon:CentrujWzór Korzystając z całki Szablon:LinkWzór i z definicji całki Eulera dla specyficznych wartości a i b dla kuli zanurzonej w s-wymiarowej przestrzeni i po pewnych operacjach dokonywanych przez nas we wzorach pośrednich, to wzór na objętość n-wymiarowej kuli jednostkowej przestawianych wzorem Szablon:LinkWzór, które tutaj dla kuli jednostkowej piszemy: Szablon:CentrujWzór Ale pamiętając również, że funkcja Szablon:Formuła, którego wartość wprowadziliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy objętość kuli określamy ogólnym wzorem w zależności od funkcji Γ z liczby Szablon:Formuła, gdzie s jest wymiarem kuli s-wymiarowej. Szablon:CentrujWzór Gdy s jest równa podwojonej liczbie k, czyli wedle podstawienia Szablon:Formuła, które dokonamy we wzorze Szablon:LinkWzór, zatem objętość kuli jednostkowej w tym naszym przypadku zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Gdy s jest liczbą nieparzystą, czyli jest równa podwojonej wartości k odejmując od niej później jeden, czyli według podstawienia Szablon:Formuła, to wyrażenie Szablon:LinkWzór piszemy wedle schematu: Szablon:CentrujWzór

Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej

Wiedząc, że objętość s-wymiarowej kuli jest wyrażona za pomocą objętości kuli jednostkowej pomnożonej przez s-tą potęgę promienia tejże kuli, którego ta objętość jest Szablon:Formuła, to ta nasza objętość jest wyrażona wedle wzorów dla s parzystego Szablon:LinkWzór i s nieparzystego Szablon:LinkWzór, wtedy zbierając to wszystko do kupy, piszemy: Szablon:CentrujWzór co kończy dowód.

Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni

Zakładamy, że mamy dwie sfery o wspólnym środku i promieniach, takimi że zachodzi Szablon:Formuła, czyli wystarczy policzyć pochodną funkcji V określone wzorem ogólnym Szablon:LinkWzór względem promienia kuli określonego przez wielkość R, Szablon:CentrujWzór Stąd jego powierzchnia s-wymiarowej kuli, korzystając ze wzoru na objętość kuli określone wzorem Szablon:LinkWzór, jest: Szablon:CentrujWzór