Metody matematyczne fizyki/Grupy i ich reprezentacje

W fizyce z reguły każdy układ ma pewne wartości symetrii, które określamy po dokonaniu tejże symetrii układ pozostaje bez zmian. Wpływem działania grup symetrii na pewne układy zajmuje się tutaj dziedzina matematyki zwaną teorią grup i ich reprezentacji.

Warunki jakie musi spełniać para (G,⋅), by być grupą

Wybierzmy sobie zbiór G, w którym istnieje działanie, które w wyniku działania dwóch elementów tychże elementów należącej do tego zbioru powstaje element należącej do tej naszej grupy G.

• Dla każdych elementów Szablon:Formuła istnieje trzeci element Szablon:Formuła, które takie działanie dwóch elementów, których w wyniku powstaje trzeci element, określamy:

• W zbiorze G istnieje pewien element neutralny, które w wyniku pomnożenie przez dany element należącej do zbioru G lewostronnie czy prawostronnie powstaje ten sam element, co określamy:

• Dla każdego elementu a należącego do zbioru G istnieje element odwrotny aSzablon:Sup, który przy znajomości elementu neutralnego w zbiorze G określamy wedle:

• Działanie określone w zbiorze G dla grupy jest działaniem łącznym, co jest określane:

Grupy permutacji

Jest to grupa przekształceń skończonych, który w wyniku działania na l elementów otrzymujemy spermutowany wynik, który w zależności od argumentów wrzuconych do funkcji, różni się kolejnością elementów, lub w szczególności może nie być zmiany kolejności, co mamy do czynienia z permutacją tożsamościową. Określmy permutacja P określoną wedle wzoru na zbiorze n-elementowym należącej do zbioru X, co określamy schematem: Szablon:CentrujWzór Odwzorowanie Szablon:LinkWzór jest działaniem wzajemnie jednoznacznym, zatem istnieje też operacja odwrotna do P. Działaniem grupowym dwóch permutacji określamy przez: Szablon:CentrujWzór Elementem jednostkowym nazywamy permutacją identycznościową, która wyniku operacji Szablon:LinkWzór nie zmienia kolejności wyrazów. Liczba elementów permutacji skończonej jest równa liczbie n!

Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej

Załóżmy, że mamy oś obrotu wyznaczony przez jednostkowy wektor Szablon:Formuła, i obracamy cały układ współrzędnych o kąt α, w ten sposób otrzymujemy wzór określający nowe współrzędne po obrocie dla danego punktu względem starych współrzędnych przed obrotem: Szablon:CentrujWzór Inny sposobem obrotu naszego układu współrzędnych jest podanie trzech współrzędnych (θ,φ,ψ), które tworzą grupę obrotów określanych jako C(θ,φ,ψ). Popatrzmy na wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a później oznaczmy je po kolei CSzablon:Sub(φ), CSzablon:Sub(θ), CSzablon:Sub(ψ). Szablon:CentrujWzór Jeśli zatem po pewnych omówieniach wstawimy za obroty występujące w punkcie Szablon:LinkWzór odpowiednie macierze, to otrzymamy macierz określoną przez wzór Szablon:LinkWzór.

Translacje, inwersje i odbicia

Translacją jest to operacja polegająca na sztywnym przesunięciu całej przestrzeni o wektor Szablon:Formuła, co obrazujemy: Szablon:CentrujWzór Inwersją względem danego punktu nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w której następuje zmiana znaku naszego wektora Szablon:Formuła, które to określamy związkiem: Szablon:CentrujWzór Aby otrzymać macierz inwersji, który działa na wektor Szablon:Formuła, to musimy ją napisać jako: Szablon:CentrujWzór Odbiciem względem płaszczyzny prostopadłej do wektora Szablon:Formuła oznaczamy zwykle symbolem σSzablon:Sub. Odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do osi iksowej oznaczamy przez σSzablon:Sub, a odbicie dla osi igrekowej oznaczamy odbicie względem osi prostopadłej do osi igrekowej, podobnie ma się to do osi zetowej, zatem wszystkie te trzy macierze odbicia dla osi iksowej, igrekowej i zetowej określamy: Szablon:ElastycznyWiersz

Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas

• Grupa cykliczna jest to grupa, której elementy są potęgami pierwszego elementu nieneutralnego wchodzącej w skład grupy, to zbiór, który jest grupą, określamy:

Szablon:CentrujWzór Przykładem grupy obrotów cyklicznych jest grupa obrotów wokół ustalonej osi o kąty będącego wielokrotnością liczby 2π/n.

• Podgrupą nazywamy taki podzbiór H grupy G, którego działania dla poszczególnych elementów tejże grupy nie wychodzą poza granice tejże podgrupy.
• Klasa jest to zbiór K elementów danej grupy, który powstaje z jednego elementu b∈G, jest to zbiór określony;

Grupy symetrii na podstawie molekuły wody

Tutaj zbudujemy pewne działania na grupach symetrii dotyczącej molekuły wody (tlenku wodoru). Struktura przestrzenna cząsteczki wody jest pokazana na rysunku z prawej strony tego rozdziału. Grupy symetrii opisywanej tutaj cząsteczki wody przestawiamy wedle opisów:

• e - przekształcenie, które działa w sposób neutralny na dany obiekt i w rezultacie otrzymujemy ten sam obiekt wyjściowy do wejściowego, czyli jest to przekształcenie identycznościowe.
• CSzablon:Sub - jest to przekształcenie, która obraca dany obiekt o 180Szablon:Sup względem osi pionowej.
• σSzablon:Sub - jest to przekształcenie, które powoduje odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny rysunku.
• σSzablon:Sub - jest to przekształcenie powodujące odbicie rysunku względem płaszczyzny w której jest zapisany ten rysunek.

Napiszemy w tabeli elementy działające na symetriach e, CSzablon:Sub, σSzablon:Sub, σSzablon:Sub, ale działań przeprowadzonych w tabelce nie będziemy udowadniać.

Podziały grup na klasy

Każda grupę można podzielić na podzbiory, których zbiory nie pokrywają się ze sobą i działania obsługujące taką grupę nie wychodzą poza zakres tej naszej struktury, którą jest podgrupa. Wybierzmy teraz klasy (opisuje je schemat Szablon:LinkWzór) generowane przez dwa różne elementy a i b, wtedy jeśli te dwie klasy mają wspólne elementy, to powinno zachodzić na pewno Szablon:Formuła. Z tego wzoru możemy wyznaczyć element b w postaci Szablon:Formuła. Stąd widzimy, że mając element "a" możemy wyznaczyć element "b", zatem elementy a i b należą do tej samej grupy, a więc dwa zbiory, które mają elementy wspólne muszą się pokrywać. Rozpatrzmy sobie cząsteczkę amoniaku, która zawiera przekształcenie identycznościowe E, trzy odbicia względem pionowych płaszczyzn przechodzące oczywiście przez oś główną naszej rozważanej cząsteczki i dwusieczną katów w podstawie (σSzablon:Sub,σSzablon:Sub,σSzablon:Sub), a także zawiera dwa obroty, tzn. pierwszy obrót o 120Szablon:Sup (CSzablon:Sup), a także obrót o 240Szablon:Sup (CSzablon:Sup). Ta grupa posiada elementy: Szablon:CentrujWzór W naszym rozważaniach w przypadku grupy Szablon:LinkWzór licząc jej elementy odwrotne, co piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Można udowodnić, że grupa G Szablon:LinkWzór dzieli się na trzy rozłączne klasy, których to klasy piszemy wedle przestawień: Szablon:ElastycznyWiersz

Reprezentacji struktur, które są grupami

Własności opisywanych symetrii mają swój swoisty sposób, które są zapisywane w przestrzeni położeń RSzablon:Sup lub pośrednio określone na funkcjach w tej przestrzeni, operacje te zwykle przedstawiamy w macierzowej postaci i nazywać je będziemy reprezentacjami. Reprezentacją D grupy G jest to zbiór obiektów, które są macierzami kwadratowymi, które są homomorficzne z rozważaną grupą i spełniające podobne własności jak i rozważana grupa. Zgodnie z naszym postulatem możemy powiedzieć: Szablon:ElastycznyWiersz Warunki Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór sugerują, że reprezentacje też są grupami.

Grupa symetrii wody

Symetrię molekuły wody już rozważaliśmy w rozdziale Szablon:LinkUstęp, tylko tutaj podamy je w macierzowej wersji w rachunku reprezentacji, które są elementami odbicia, w takim razie ich odpowiednikami są macierze: Szablon:ElastycznyWiersz

Grupa symetrii amoniaku

Symetrie cząsteczki amoniaku sprowadzają się do symetrii przekształceń trójkąta równobocznego. Ograniczmy się teraz do płaszczyzny, czyli do dwuwymiarowego układu współrzędnych, a środek umieszczać będziemy w środku geometrycznym trójkąta. Przekształceniami rządzącymi naszym trójkątem równobocznym są to transformacje typu CSzablon:Sub, czyli są to transformacje, których omawiana grupa zawiera elementy zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem w rachunku reprezentacji mamy macierze D(E), D(σSzablon:Sub), D(σSzablon:Sub), D(σSzablon:Sub), D(C;Szablon:Sup), D(C;Szablon:Sup): Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz

Wstęp do reprezentacji równoważnej

Dwie reprezentacje D i DSzablon:Sup nazywamy równoważnymi, jeśli istnieje taka macierz A, dla a∈G, dla której macierz A jest taka sama dla wszystkich elementów grupy, zatem przekształcenie między reprezentacjami równoważnymi przestawiamy wedle: Szablon:CentrujWzór

Wstęp do reprezentacji przywiedlnych

Reprezentacja jest reprezentacją przywiedlną, jeśli istnieje ściśle określona macierz S, w której to reprezentacji D(a) tą całą macierz możemy przekształcić do postaci klatkowej za pomocą transformacji równoważnej Szablon:LinkWzór, gdzie a∈ G, a jeśli nie da się tego zrobić, to reprezentację nazywamy nieprzywiedlną. Szablon:CentrujWzór Rozkład reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne nazywamy sumą prostą tychże reprezentacji i zapisujemy go: Szablon:CentrujWzór Dla przykładu symetrii molekuły amoniaku określamy przez dwie macierze nieprzywiedlne DSzablon:Sub(a) i DSzablon:Sub(a), dla każdego elementu grupy G, czyli dla elementów składających się na tą grupę, wiedząc że zachodzi Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i macierzy Szablon:LinkWzór, zatem na podstawie tego: Szablon:Tabelka

Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej

Jeśli reprezentacja D(a) nieprzywiedlna komutuje z pewną macierzą A, to ta macierz jest prost proporcjonalna do macierzy jednostkowej, co powiemy jako: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że macierz A ma wartości własne i jednej wartości własnej odpowiada kilka wektorów własnych, zatem to równanie własne zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie własności Szablon:LinkWzór (równanie własne operatora A) i Szablon:LinkWzór (komutacji macierzy A z reprezentacji D(a)) możemy w takim razie napisać obliczenia: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać własność dla macierzy A, dla której zachodzi A=λE, i która jest pokazana we wspomnianych obliczeniach.

Dowód lematu Schura

Niech mamy dwie reprezentanty DSzablon:Sup i DSzablon:Sup, które są reprezentantami nierównoważnymi i nieprzywiedlnymi grupy G, działający oczywiście w przestrzeniach LSzablon:Sub i LSzablon:Sub. Operator liniowy odwzorowuje przestrzeń LSzablon:Sub w przestrzeń LSzablon:Sub spełnia własność: Szablon:CentrujWzór To macierz A jest macierzą zerową. W celu dowodu powyższego lematu, załóżmy, że wymiar przestrzeni LSzablon:Sub jest większy od wymiaru przestrzeni LSzablon:Sub, zatem oznaczmy przez M obraz powstały wyniku działania macierzy A na przestrzeń LSzablon:Sub, wtedy jest oczywiste, żeby tak zachodziło musi być M∈LSzablon:Sub. Zbiór ten M jest przestrzenią niezmienniczą względem operatora DSzablon:Sub. Jeśli wykorzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór, to możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Zatem przestrzeń M pokrywa się w przestrzenią LSzablon:Sub, co przeczy twierdzeniu o wymiarach, bo zakładaliśmy, że wymiar przestrzeni LSzablon:Sub jest większy od wymiary przestrzeni LSzablon:Sub, zatem dochodzimy do wniosku, że macierz A jest macierzą zerową (A=0).

Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności

Weźmy dwie nieprzywiedlne reprezentacje, które będziemy oznaczać wskaźnikami α i β, wybierzmy dla naszych dwóch reprezentacji odpowiednie macierze reprezentujące, tzn. macierze DSzablon:SupSzablon:Sub oraz DSzablon:SupSzablon:Sub, to rozważmy iloczyn skalarny dwóch reprezentacji zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Okazuje się, że tak zdefiniowany iloczyn skalarny na reprezentacjach jest równy: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:
• n- to ilość elementów grupy, którą reprezentuje reprezentanta.
• dSzablon:Sub -to wymiar przestrzeni grupy, którą reprezentuje dana reprezentanta.

Dowód faktu Szablon:LinkWzór przestawiamy poniżej w tym rozdziale. Załóżmy, że przestrzenie, której wymiar wskazuje reprezentacja ze wskaźnikiem α od reprezentacją ze wskaźnikiem β ma większy wymiar (dSzablon:Sub>dSzablon:Sub), zatem na podstawie tego zbudujmy macierz A wedle schematu poniżej i zapisując jednocześnie bardziej szczegółowo wskazując na jego elementy ASzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Aby udowodnić, czy spełnione jest twierdzenie Schura Szablon:LinkWzór dla dwóch różnych reprezentacji, takich że macierz B jest przekształceniem przestrzeni LSzablon:Sub w przestrzeń LSzablon:Sub, co udowodnimy, że zachodzi A=0, zatem musimy udowodnić, czy zachodzi ogólnie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że macierz A spełnia warunek Szablon:LinkWzór, zatem macierz A jest równa zero. Jeśli obierzemy macierz, którego elementy macierzy B można zapisać wedle: Szablon:CentrujWzór Na podstawie definicji elementów macierzy B, czyli według Szablon:LinkWzór, że macierz A jest zerowa dla innego α i β, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Następną częścią dowodu jest założenie, że obie reprezentacje są jednakowe, tzn. α=β, również też zachodzi dowód dla tego przypadku Szablon:LinkWzór, które to udowodniliśmy, nie wiedząc jakie wartości przyjmuje α i β, więc gdy obie te liczby są równe, to nie wiemy jakie wartości przyjmuje macierz A, zatem korzystając z twierdzenia udowodnionego w tym module w rozdziale Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej, a w nim Szablon:LinkWzór, zatem należy powiedzieć, jak udowodniono tam, że macierz A jest macierzą jednostkową pomnożonej przez stałą według Szablon:LinkWzór, wtedy macierz: Szablon:CentrujWzór Elementy macierzy B przestawimy w takiej postaci jak w punkcie Szablon:LinkWzór, co na podstawie tego otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Wtedy do wzoru Szablon:LinkWzór podstawiając do niego otrzymaną tożsamość Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy związek: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ macierz A jest macierzą jednostkową pomnożonej przez stałą λ, wtedy dochodzimy po wstawieniu do niej definicji macierzy ASzablon:Sub poprzez definicję parametru λ określonego w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy elementy macierzy A są w postaci: Szablon:CentrujWzór Elementy macierzy A zapisane wedle wzoru Szablon:LinkWzór przy definicji macierzy B Szablon:LinkWzór i po wykorzystaniu warunku Szablon:LinkWzór dla α nierównego β i wzoru Szablon:LinkWzór dla α=β, wtedy dla dowolnego α i β możemy zapisać wzór łączące oba te dwa przypadki: Szablon:CentrujWzór Zwykle mamy do czynienia z reprezentacjami unitarnymi, zatem macierz DSzablon:Sup(b) można zastąpić macierzą transponowaną, i która jest sprzężona jeszcze sensie zespolonym. mając wzór Szablon:LinkWzór po wykorzystaniu naszych wniosków wcześniej ostatnio powiedzianych, otrzymujemy Szablon:LinkWzór.

Reprezentacje i jego charaktery

Charakter oznaczamy przez symbol χ i jego definicja jest taka, że jest to ślad reprezentacji D(a): Szablon:CentrujWzór Na podstawie twierdzenia Szablon:LinkWzór charaktery nie zależą od bazy, którego reprezentacje są liczone. Zbiór charakterów opisanych wzorem Szablon:LinkWzór, których liczba jest taka sama jak i elementów grupy G, zatem zbiór charakterów tworzy n-wymiarowy wektor, którego to zapis: Szablon:CentrujWzór Jeśli będziemy rozpatrywać grupę symetrii amoniaku, którego to macierze zapisane są w punkcie Wstęp do reprezentacji przywiedlnych, biorąc reprezentację DSzablon:Sub jako jednowymiarowy wektor, wtedy według tej samej tabelki charakter jest zawsze równy jeden, co zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Następnie biorąc reprezentację dwuwymiarową DSzablon:Sub grupy symetrii amoniaku, wtedy na podstawie tego charaktery dla tej reprezentacji są przestawione wzorami: Szablon:ElastycznyWiersz

Ortogonalna właściwość charakterów

Udowodnimy, że iloczyn skalarny dwóch charakterów charakteryzujące dwie różne reprezentacji przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Iloczyn charakterów zapisanych wedle wzoru Szablon:LinkWzór na podstawie wielkiego twierdzenia ortogonalności na reprezentantach, czyli według wzoru Szablon:LinkWzór jest równy zero, dla α różnego β.

Wyznaczmy normę reprezentacji χSzablon:Sub, i wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór, wtedy mamy wniosek: Szablon:CentrujWzór

Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery

Wiadomo, że na podstawie Szablon:LinkWzór reprezentację przywiedlną można przestawić jako sumę prostą reprezentacji nieprzywiedlnych, w której dana reprezentacja może się powtarzać mSzablon:Sub, to charakter całej reprezentacji przywiedlnej, po rozkładzie jej na reprezentacje nieprzywiedlne jest równy: Szablon:CentrujWzór

Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji

Grupowy kwadrat charakteru danej reprezentacji jest równy modułowi charakterowi całej reprezentacji przywiedlnej, czy według wzorowi określonego wzorem Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór kwadrat charakteru reprezentacji przywiedlnej dla określonego "a" jest równy sumie kwadratów współczynników mSzablon:Sub, który to wskazuje na ilość powtarzającej się danej reprezentacji nieprzywiedlnej w rozkładzie reprezentacji przywiedlnej na sumą prostą reprezentacji nieprzywiedlnych, pomnożone przez liczbę n. Na podstawie tychże rozważań dochodzimy, że jeśli dana reprezentacja jest przywiedlna, to kwadrat skalarny jej charakteru jest większy niż n.

Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje

Przykładami grup przemiennych są to obroty wokół pewnej osi i translację przestrzenne. Reprezentacje takich grup są reprezentacjami przemiennymi, które ta przemienność jest napisana przez poniższą równość: Szablon:CentrujWzór Na podstawie twierdzenia udowodnionego w rozdziale Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej i z wniosku Szablon:LinkWzór możemy wnioskować, że wszystkie operatory reprezentacji nieprzywiedlnych są operatorami jednostkowymi pomnożonej przez pewną stałą λ, znaczy to, że wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze są to przestrzenie jednowymiarowe, jeśli będziemy rozpatrywać reprezentację unitarne, możemy wtedy tą stałą napisać: Szablon:CentrujWzór Gdy mamy doczynienia z translakcjami, to parametr α jest iloczynem liczby k i translacji x, czyli α=kx, zatem nasz charakter naszej reprezentacji przesunięcia dla reprezentacji nieprzywiedlnych piszemy wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Dla grup obrotów CSzablon:Sub liczba α jest tak zdefiniowana by była wielokrotnością liczby 2π/n, w takim przypadku parametr α definiujemy wzorem: Szablon:CentrujWzór Oczywiste jest, że taki wybór parametru α Szablon:LinkWzór zapewnia jednoznaczność dla obrotu o kąt pełny. Ale w obrębie jednej reprezentacji możemy dokonywać obroty będące krotnością l-tą kąta 2π/n, w takim przypadku charakterem m-tym nazywamy liczbę przestawioną: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy grupę CSzablon:Sub, dopuszczalne są obroty o dowolny kąt, wtedy charakter danej reprezentacji nieprzywiedlnych piszemy przez: Szablon:CentrujWzór Ostatni wzór jest wzorem do reprezentacji grup obrotów sfery. Wzór Szablon:LinkWzór przechodzi we wzór Szablon:LinkWzór, gdy m/n zastąpimy liczbą rzeczywistą.

Definicja iloczynu reprezentacji

Często w fizyce dwa układy opisujemy różnymi wzorami, np. powłoki elektronowe i jadra, które są opisywane różnymi zmiennymi. Łączna grupa symetrii takiego naszego układu jest iloczynem albo kartezjańskim lub prostym, czyli dwóch symetrii związanych z określanymi podukładami jest napisana: Szablon:CentrujWzór Ten sam zapis stosujemy stosujemy dla każdej reprezentacji naszej rozważanej grupy: Szablon:CentrujWzór Mnożyć oczywiście możemy niekoniecznie różne reprezentacje tej naszej grupy wedle symetrii danego układu. Charakter reprezentacji Szablon:LinkWzór nazywamy iloczynem ogólnie dwóch charakterów reprezentacji danych dwóch grup: Szablon:CentrujWzór