Metody matematyczne fizyki/Funkcje Greena

Wprowadźmy operator Szablon:Formuła i pewną funkcję Szablon:Formuła, której argumenty Szablon:Formuła są elementami n-wymiarowej przestrzeni. Załóżmy, że Szablon:Formuła jest rozwiązaniem pewnego równania niejednorodnego omawianego operatora, które to równanie możemy przedstawić w postaci: Szablon:CentrujWzór

Zakładamy, że operator Szablon:Formuła posiada operator odwrotny. Działając lewostronnie równość Szablon:LinkWzór przez nasz operator odwrotny do Szablon:Formuła dostajemy równoważne do poprzedniego równanie: Szablon:CentrujWzór

Jeśli skorzystamy z własności funkcji Diraca, czyli z własności Szablon:LinkWzór, to wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy zapisać równoważnie w postaci całki po lewej stronie - co wynika z własności delty Diraca: Szablon:CentrujWzór

Funkcją Greena nazywamy wyrażenie, które jest iloczynem operatorowym odwrotności operatora Szablon:Formuła i n-wymiarowej funkcji Diraca, zapisując tę funkcję według schematu: Szablon:CentrujWzór

Również z funkcji Greena (definicja Szablon:LinkWzór) możemy wyznaczyć n-wymiarową deltę (funkcję) Diraca z definicji funkcji Greena, wtedy jest ona iloczynem operatorowym operatora Szablon:Formuła i funkcji Greena, zależną od dwóch n-wymiarowych argumentów: Szablon:CentrujWzór

Biorąc wyrażenie Szablon:LinkWzór i korzystając z definicji funkcji Greena Szablon:LinkWzór, oraz mając na uwadze, że funkcja Szablon:Formuła jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy rozwiązanie: Szablon:CentrujWzór

Niech rozwiązaniami równania jednorodnego operatora Szablon:Formuła będą funkcje ψ₀ spełniające: Szablon:CentrujWzór

Rozwiązaniem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór jest suma rozwiązania Szablon:LinkWzór i rozwiązania jednorodnego operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Oczywiste jest, że funkcja własna Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór. Udowodnijmy to, korzystając przy tym z własności Szablon:LinkWzór, a zatem przejdźmy do właściwego dowodu, wstawiając wyrażenie Szablon:LinkWzór do równości Szablon:LinkWzór do jej lewej strony: Szablon:CentrujWzór

W Szablon:LinkWzór z korzystamy z definicji funkcji Greena Szablon:LinkWzór, wtedy nasze wyrażenie ma się: Szablon:CentrujWzór

Doszliśmy do wniosku (a korzystaliśmy z definicji delty Diraca), że z lewej strony Szablon:LinkWzór dochodzimy do jej prawej strony pomocy obliczeń Szablon:LinkWzór, zatem funkcja Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem równania niejednorodnego Szablon:LinkWzór.

Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego

W problemie oscylatora harmonicznego mamy równanie różniczkowe, a wiedząc że nasz układ drga z częstotliwością ω, możemy to równanie różniczkowe na opisywany ruch przestawić jako: Szablon:CentrujWzór

Operatorem Szablon:Formuła nazywamy operator, który przestawiamy na podstawie definicji równania różniczkowego Szablon:LinkWzór dla oscylatora, którego drgania są wymuszane względem siły zewnętrznej F: Szablon:CentrujWzór

Aby policzyć funkcję Greena należy skorzystać z jej definicji zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór i z definicji wersji całkowej funkcji Diraca Szablon:LinkWzór. W takim przypadku możemy napisać funkcję Greena używając definicji operatora Szablon:Formuła, uzyskując dla Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce Szablon:LinkWzór dla Szablon:Formuła, czyli: Szablon:CentrujWzór wtedy musimy policzyć punkty osobliwe w całce zespolonej Szablon:LinkWzór, wtedy rozwiązując równość kwadratową -z²+2iγt z+ω₀²t²=0 występująca w tej całce mamy: Szablon:CentrujWzór Niech mamy t>0. Bo wybraliśmy całkowanie po konturze w górnej półpłaszczyźnie bo pierwiastki Szablon:LinkWzór leżą w górnej półpłaszczyźnie, całka po konturze C sprowadza się do całki po odcinku Szablon:Formuła dla Szablon:Formuła, a tym konturem C jest prosta o odcinku (-R,R) i półokrąg łączący punkt (R,0) z punktem (-R,0) w górnej półpłaszczyźnie, a całka po półokręgu jak udowodnimy jest równa zero co mamy dowieść, zatem zastępując Szablon:Formuła przez Szablon:Formuła, wtedy: Szablon:CentrujWzór Zatem całka po półokręgu od Szablon:Formuła do Szablon:Formuła jest równa zero, zatem dla Szablon:Formuła zatem prawdziwe jest zamienienie całki po odcinku (-R,R) Szablon:LinkWzór na kontur w Szablon:LinkWzór, bo wtedy zachodzi G(t)=J(t). Wtedy residuum funkcji sprowadza się dla pierwszego bieguna według definicji residuum Szablon:LinkWzór w całce Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co w tym przypadku funkcja Greena sprowadza się na podstawie policzonej residuum funkcji Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zgodnie z lematem Jordana, w przypadku tak obranego konturu, by znajdował się on na górnej półpłaszczyźnie, tzn. dla takiego t<0, że mamy J(t)=0 w całce Szablon:LinkWzór, bo na górnej półpłaszczyźnie nie ma biegunów dla tego t według Szablon:LinkWzór bo bieguny znajdują się w dolnej półpłaszczyźnie, możemy powiedzieć, że całka Szablon:LinkWzór J(t) jest równa całce Szablon:LinkWzór, czyli G(t)=J(t), a więc funkcja Greena się zeruje, co zachodzi: Szablon:CentrujWzór Dla t=0 funkcja Greena sprowadza się do postaci: Szablon:CentrujWzór Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce Szablon:LinkWzór dla t=0: Szablon:CentrujWzór Bieguny funkcji podcałkowej Szablon:LinkWzór są równe rozwiązaniu dwumianu kwadratowego -z²+2iγ z+ω₀²=0: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór bieguny znajdują się w górnej półpłaszczyźnie, policzmy, czy całka po konturze Szablon:LinkWzór sprowadza się całce po odcinku $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, czyli policzmy oszacowanie czy całka po półokręgu się zeruje: Szablon:CentrujWzór Co dowód Szablon:LinkWzór pokazuje, że całka Szablon:LinkWzór sprowadza się do całki Szablon:LinkWzór, czyli G(0)=J(0). Policzmy residuum całki Szablon:LinkWzór, na podstawie biegunów Szablon:LinkWzór, a więc do roboty: Szablon:CentrujWzór A sama funkcja Greena Szablon:LinkWzór przedstawia się na podstawie residuum Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jak wiemy funkcja Greena G(t) dla t=0 jest równa zero, zatem znając funkcję Greena, co stąd końcowe rozwiązanie na funkcje Greena Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy wykorzystać do policzenia funkcji u(t), która jest rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór, co daje się to zapisać za pomocą funkcji Greena G(t) wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór

Znając funkcję Greena dla oscylatora harmonicznego Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz postać siły, którą mamy zamiar określić, może być to przypadek harmoniczny drgań siły opisanych według funkcji F=F₀sin Ω t, to wtedy możemy oczywiście policzyć funkcję u(t) zapisaną wzorem Szablon:LinkWzór. Należy zauważyć, że funkcja Greena nic nie upraszcza.

Definicja operatorowej funkcji Greena

Zamiast skalarnej definicji funkcji Greena Szablon:LinkWzór wprowadza się jego definicję operatorową, gdzie zamiast delty Diraca występuje operator jednostkowy, a zamiast funkcji Greena operator Szablon:Formuła, zatem definicję operatora Greena piszemy: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć operator Szablon:Formuła, jeśli Szablon:Formuła posiada operator odwrotny, wtedy ten operator piszemy wedle sposobu zależny od operatora całkowitej energii badanej cząstki: Szablon:CentrujWzór Operatora definicja na funkcję Greena jest często niepraktyczna, w takim przypadku wprowadza się elementy macierzowe operatora Greena wedle jego definicji operatora Greena Szablon:LinkWzór, których definicję jest zależna od elementów macierzowych operatora Diraca: Szablon:CentrujWzór Bardzo wygodna jest baza funkcji własnych operatora Szablon:Formuła, zatem jego elementy macierzowe piszemy przy pomocy funkcji bazy ortogonalnej φ_α, które są funkcjami własnymi operatora całkowitej energii badanej cząstki lub układu: Szablon:CentrujWzór Wtedy równanie macierzowe Szablon:LinkWzór piszemy wedle rozkładu operatora Szablon:Formuła w postaci macierzowej, których przestawienie jest zależne od wartości własnej λ_α rozważanego operatora energii: Szablon:CentrujWzór

Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena

Równanie operatorowego Szablon:LinkWzór, który w tym przypadku nie zawsze da się rozwiązać, ma to miejsce, gdy operator Szablon:Formuła jest zapisany jako operator różniczkowy, czy to zapisanej w języku operatorów, w takim przypadku dokonuje się rozkładu operatora Szablon:Formuła na sumę operatora niezaburzonego i zaburzenia w sposób: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz funkcję na funkcję Greena niezaburzoną Szablon:Formuła i jej odpowiednik zaburzony Szablon:Formuła, w takim przypadku możemy powiedzieć ze zachodzą tożsamości operatorowe na te wielkości: Szablon:ElastycznyWiersz Mając wzór Szablon:LinkWzór, który w równoważny sposób można zapisać, jako Szablon:Formuła, które to podstawiamy do równania operatorowego Szablon:LinkWzór, w takim przypadku otrzymujemy równość po dokonaniu opisanej operacji: Szablon:CentrujWzór Jeśli równanie operatorowe Szablon:LinkWzór pomnożymy przez operator niezaburzonej funkcji Greena Szablon:Formuła, wyznaczamy stąd funkcję Greena zaburzoną: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy rozpisać w równoważny dla niego sposób wyznaczają z niego operator Szablon:Formuła, który jest zależny od operatora Szablon:Formuła i od Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Końcową równość Szablon:LinkWzór, która jest równaniem Dyssona, która to możemy rozwinąć w szereg i w ten sposób otrzymać tożsamość operatorową na operator Greena dla hamiltonianu niezaburzonego: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest nazywana wzorem Dyssona, który to dla małej poprawki Szablon:Formuła do operatora Szablon:Formuła przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera

Równanie Schrödingera zawierający potencjał zaburzony V przestawiamy dla równania własnego zależnego od funkcji własnej i wartości własnej przestawiamy je na w sposób:f Szablon:CentrujWzór Nie zmniejszając na ogólności w przypadku równania Szablon:LinkWzór możemy napisać go wprowadzając przy tym parametr ε, który dąży do zera, w takim przypadku wspomniane równanie własne w sposób równoważny zapisujemy je według: Szablon:CentrujWzór Prawą stronę równości Szablon:LinkWzór możemy potraktować jako niejednorodność, równanie jednorodne zbudowane na podstawie Szablon:LinkWzór ma rozwiązanie ψ₀, którego rozwiązaniem szczególnym powyższego równania jest ψ, zatem przy definicji odwrotności operatora Szablon:Formuła, czyli Szablon:Formuła (zmienna E+iε jest odpowiednikiem "z" w Szablon:LinkWzór), możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Co równanie Szablon:LinkWzór można podstawić do równania Szablon:LinkWzór i sprawdzić jego słuszność, co tutaj nie będziemy robili. W równości Szablon:LinkWzór wyznaczamy funkcję ψ₀ w zależności od funkcji ψ i operatora Szablon:Formuła, z którego na podstawie tego będziemy wyznaczać naszą funkcję własną ψ równania własnego hamiltonianu: Szablon:CentrujWzór Funkcję jako odwrotności pewnego operatora przestawimy jako nieskończony szereg geometryczny, którą piszemy na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór, wtedy on przestawia się: Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmować będziemy funkcję ψ jako małą względem wielkości V, zatem Szablon:LinkWzór piszemy w przybliżonej w postaci, dla które prawa strona zależy od operatora operatora Szablon:Formuła i od funkcji własnej hamiltonianu niezaburzonego: Szablon:CentrujWzór Język operatorowy Szablon:LinkWzór w przełożeniu na język funkcyjny zapisujemy jako: Szablon:CentrujWzór

Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena

W układach wielocząstkowych często się stosuje sumowania po wszystkich cząstkach, które to sumowanie często możemy zamienić na całkowanie, co piszemy: Szablon:CentrujWzór Powyższe przejście jest możliwe, gdy funkcja F zależy tylko od energii. Wprowadziliśmy tutaj funkcję gęstości stanów, czy inaczej znana jako gęstością spektralną i określa ona liczbę stanów o energiach zbliżonych do E. Przejście od sumowania do całki wykonujemy według definicji definicji delty Diraca zapisanej przy pomocy stanów E_α wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Porównując wzory Szablon:LinkWzór ze wzorem Szablon:LinkWzór, otrzymujemy wzór na funkcję gęstości stanów, która jest zależna od energii stanów, i przestawiana jest jako sumę delt Diraca zapisanej względem energii poszczególnych poziomów Szablon:LinkWzór E_α i jest to sumowanie względem α: Szablon:CentrujWzór Mając wzór Szablon:LinkWzór i za "z" w tym wzorze podstawiamy z=E+i0 i wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać elementy macierzowe operatora Szablon:Formuła z definicji elementów macierzowych: Szablon:CentrujWzór Zadem ślad elementów macierzowych funkcji Greena wedle wzoru Szablon:LinkWzór przestawiamy jako część rzeczywistą ze zespolonej funkcji elementu macierzowego G_αα z definiowaną w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie przeprowadzonych obliczeń Szablon:LinkWzór i wzoru na gęstość stanów Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest równa wyrażeniu Szablon:LinkWzór i przedstawiamy go jako: Szablon:CentrujWzór