Metody matematyczne fizyki/Funkcje Bessela

Będziemy się tutaj zajmować funkcjami Bessela, który to on znany jest bardzo w matematyce i fizyce. Argument funkcji Bessela będziemy oznaczać przez x, a wskaźnikiem funkcji są współczynniki rzeczywiste. Funkcje Bessela oznaczamy przez JSzablon:Sub.

Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania

Równanie różniczkowe, które definiuje funkcje Bessela jest to równanie określone: Szablon:CentrujWzór Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego Szablon:LinkWzór w postaci funkcji, w której wolny wyraz aSzablon:Sub jest różny od zera. Możemy to otrzymać, gdy szereg potęgowy pomnożymy przez funkcję xSzablon:Sup tak jak poniżej, zatem ostatecznie funkcje Bessela piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela Szablon:LinkWzór, która jest proponowanym rozwiązaniem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy podstawić funkcję Bessela Szablon:LinkWzór, a także pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do równania różniczkowego Bessela Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Po krótkich przekształceniach, tzn. czynników stojących przed sumami jako czynniki włączamy pod tą sumę i po przegrupowaniu wyrazów: Szablon:CentrujWzór Współczynnik aSzablon:Sub jest tak zdefiniowane w szeregu Szablon:LinkWzór by był różny od zera, w takim razie z równania Szablon:LinkWzór możemy otrzymać wyraz stojący przy potędze o wykładniku zerowym z liczby x: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór otrzymujemy dwa rozwiązania na parametr λ, jedno z plusem a drugie z minusem, którego to piszemy za pomocą jednego ogólnego wzoru: Szablon:CentrujWzór Jedno rozwiązaniu z plusem we wzorze zapisywanej ogólnie w punkcie Szablon:LinkWzór odpowiada rozwiązaniu regularnemu, a drugie z minusem odpowiada rozwiązaniu osobliwemu, które to w punkcie x=0 funkcja Besella Szablon:LinkWzór ma wartość osobliwą.

Współczynnik stojący w tożsamości Szablon:LinkWzór stojący przy pierwszej potędze, tzn. przy xSzablon:Sup dla naszego wspomnianego równanie ma postać: Szablon:CentrujWzór Patrząc na warunek na liczbę λ według Szablon:LinkWzór, to z Szablon:LinkWzór wynika, że aSzablon:Sub jest równa zero. Równanie Szablon:LinkWzór możemy przekształcić do tożsamości: Szablon:CentrujWzór W takim razie w równaniu różniczkowym Szablon:LinkWzór otrzymujemy wniosek na współczynniki aSzablon:Sub we funkcji Bessela w zależności od współczynników aSzablon:Sub, zatem poszczególne współczynniki: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ aSzablon:Sub jest równy zero co wcześniej wykazaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, to również na podstawie Szablon:LinkWzór ma miejsce warunek: Szablon:CentrujWzór Dla indeksów parzystych można udowodnić, że istnieje ogólny wzór na współczynniki aSzablon:Sub, który zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej wynikający ze wzoru ogólnego na współczynniki Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mając na uwadze uproszczenie ogólnych formuł przyjmijmy, że współczynnik aSzablon:Sub przyjmuje szczególna formę zapisywaną przy pomocy funkcji Γ(x) definiowana w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Biorąc na uwagę wzór Szablon:LinkWzór na współczynnik aSzablon:Sub, wtedy wzór Szablon:LinkWzór na współczynnik aSzablon:Sub przy wykorzystywaniu wzoru zapisany w punkcie Szablon:LinkWzór piszemy w formie: Szablon:CentrujWzór Ponieważ przyjmujemy rozwiązanie regularne, więc z tożsamości Szablon:LinkWzór wybieramy rozwiązanie z plusem, w takim przypadku szereg Bessela przyjmuje ostateczną formę: Szablon:CentrujWzór

Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca

Jeśli w funkcji Szablon:LinkWzór parametr ν jest liczbą naturalną ν=n=0,1,2,3,.., to funkcja Bessela możemy napisać dla tak określonego ν z definicji funkcji JSzablon:Sub, w której występuje funkcją Γ zależna od całkowitego parametru, którego postać jest Γ(l+n+1)=(l+n)!: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest udowodnienie, że funkcją tworzącą wielomianu Bessela Szablon:LinkWzór jest funkcją w postaci wzoru Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór wprowadźmy parametr l+m zamiast parametru m, wtedy wspomniane równanie piszemy: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie stojące w nawiasie we wzorze Szablon:LinkWzór są to funkcje Bessela, wtedy funkcja tworząca: Szablon:CentrujWzór

Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe

We wzorze Szablon:LinkWzór dokonajmy podstawienia pod funkcję tworzącą Bessela w postaci w=eSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Obie strony tak otrzymanej równości Szablon:LinkWzór mnożymy obustronnie przez eSzablon:Sup, a następnie całkujemy obustronnie przez zmienną φ w granicach 0 do 2π, wtedy piszemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Prawa strona równości Szablon:LinkWzór jest równa zero, gdy n jest nie równe m, a jest różna od zera i równa 2π, gdy n=m, wtedy możemy napisać wzór na funkcję Bessela wynikającą ze wspomnianego wzoru: Szablon:CentrujWzór W szczególnym przypadku, gdy w równaniu Szablon:LinkWzór współczynnik m jest równy zero, więc to ostatnie równanie na funkcję Bessela JSzablon:Sub, tak by po drugiej równości dokonać podstawienia φ:=π/2+φ, i ze względu na okresowość funkcji cosφ, piszemy jako: Szablon:CentrujWzór

Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2

Funkcje Bessela Szablon:LinkWzór dla ν=1/2, dla którego zapis o indeksie równej połowie jedynki, są równe: Szablon:CentrujWzór Z teorii funkcji Γ możemy napisać tożsamość, którego można rozpisać funkcję Γ przy wykorzystaniu definicji funkcji Γ dla ν równego 1/2: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie Szablon:LinkWzór wzór na funkcję Bessela zapisane w punkcie Szablon:LinkWzór piszemy wedle: Szablon:CentrujWzór Szereg zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór jest to szereg funkcji sinus z liczby x, zatem ta nasza tutaj rozważana funkcja Bessela jest to po prostu: Szablon:CentrujWzór Funkcje Bessela Szablon:LinkWzór dla ν=-1/2 zapisujemy wedle sposobu, którego zapis jest o indeksie równym minus połowie jedynki: Szablon:CentrujWzór Z teorii funkcji Gamma możemy napisać tożsamość, którego jest rozwinięciem funkcji Γ dla ν połówkowego i równego 1/2, którą piszemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie Szablon:LinkWzór wzór na funkcję Bessela zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór piszemy poniżej: Szablon:CentrujWzór Szereg zapisany w punkcie Szablon:LinkWzór jest to szereg funkcji kosinus z liczby x, zatem tą naszą tutaj rozważaną funkcję Bessela piszemy: Szablon:CentrujWzór

Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych

Pokażemy, że wzór rekurencyjny dla funkcji Bessela o wskaźniku o wartości ν+1 wyraża się w zależności od współczynnika ν wzorem za pomocą operacji różniczkowania funkcji Bessela względem wskaźnika ν, dla której pod różniczkowaniem względem "x" jest iloczyn funkcji potęgowej xSzablon:Sub i funkcji Bessela Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór udowodniamy przez bezpośrednio przez wstawianie do niego funkcji Bessela JSzablon:Sub zdefiniowaną w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy zapisać wyrażenie, które jak udowodnimy w końcowych dysputach, że jest to po prostu rozważane wyrażenie, które jest funkcją Bessela o wskaźniku ν+1. Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy następną rekurencję, której to element JSzablon:Sub jest pisany przy pomocy wzoru na JSzablon:Sub za pomocą operacji różniczkowania, którego to rekurencja jest: Szablon:CentrujWzór Aby udowodnić wzór Szablon:LinkWzór musimy napisać wyrażenie różniczkowe, która jest iloczynem funkcji xSzablon:Sup i pochodnej z iloczynu funkcji xSzablon:Sup i funkcji Bessela JSzablon:Sub, wtedy mamy problem: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód tożsamości Szablon:LinkWzór.

Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0

Mając wzór na funkcje Bessela zdefiniowaną w punkcie Szablon:LinkWzór, który można zapisać dla punktu blisko zera pomijając wyrazy wyższego rzędu wedle potęg z liczby x, bo następne potęgi dla małego otoczenia w tymże punkcie są rzędu niższego niż ν, są bardzo malutkie w porównaniu ze wspomnianym wyrazem, w takim przypadku funkcja Bessela piszemy: Szablon:CentrujWzór Niech wskaźnik ν jest liczbą całkowitą, w takim przypadku możemy przestawić funkcję JSzablon:Sub w zależności od JSzablon:Sub wedle sposobu poniżej, wiedząc, że funkcja Γ o współczynniku ujemnym przyjmuje wartość nieskończoną, a jego odwrotność jest zero. Szablon:CentrujWzór

Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym

Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja JSzablon:Sub(x) ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest on zdefiniowany jako: Szablon:CentrujWzór Teraz zastosujemy wzór Szablon:LinkWzór, by udowodnić rozwiązanie asymptotyczne Szablon:LinkWzór, w tym celu przy dowodzie dla l=0 dostajemy dokładny wzór Szablon:LinkWzór. Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku dla x bardzo dużego: Szablon:CentrujWzór Wykażemy że drugi wyraz występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód twierdzenia Szablon:LinkWzór na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej. Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja JSzablon:Sub ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest jako: Szablon:CentrujWzór Teraz zastosujemy wzór Szablon:LinkWzór, by udowodnić wzór Szablon:LinkWzór, w tym celu udowodnimy nasz wzór dla l=0 dla którego dostajemy dokładny wzór Szablon:LinkWzór. Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku x bardzo dużego: Szablon:CentrujWzór Wyraz drugi występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód wzoru Szablon:LinkWzór na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej.

Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela

Funkcję Neumanna NSzablon:Sub, które sa bardzo związane z funkcjami Bessela, jak później powiemy. Te funkcje są osobliwe w punkcie x=0, jego definicja jest napisana wzorem wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Dla indeksów całkowitych funkcje Neumanna uzyskujemy w granicy dla ν, która jest liczbą określoną przy wzorze Szablon:LinkWzór, której granica jest: Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmować będziemy, że wielkość ν jest podana wzorem Szablon:Formuła, w takim przypadku wzór Szablon:LinkWzór przyjmować będziemy wzorem: Szablon:CentrujWzór Funkcję Hankela przestawiamy jako kombinację funkcji Bessela Szablon:LinkWzór i Neumanna NSzablon:Sub Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór

Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela

Sferyczne funkcje Bessela oznazczamy przez jSzablon:Sub(x), a także funkcje Neumanna i Hankela piszemy jako: Szablon:ElastycznyWiersz Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, dochodzimy do związków, że funkcja Bessela Szablon:LinkWzór jest napisana wzorem poniżej: Szablon:CentrujWzór Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór dochodzimy do związku, że funkcja Neumanna Szablon:LinkWzór ma wygląd: Szablon:CentrujWzór A na sam koniec podamy jak wygląda funkcja Hankela dla jej przypadku asymptotycznego, dochodzimy do związków, że wedle definicji tejże funkcji Szablon:LinkWzór jest narysowana ona: Szablon:CentrujWzór

Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych

Rozłóżmy funkcje opisująca falę płaską we funkcjach Legendre'a Szablon:LinkWzór, wtedy możemy rozpisać naszą funkcję eSzablon:Sup w pewien szereg, którego jest kombinacją liniową w funkcjach Legendre'a PSzablon:Sub, którego to współczynniki są funkcjami zależnymi od wskaźnika l i argumentu r: Szablon:CentrujWzór Biorąc wzór na definicję Laplasjanu we współrzędnych kulistych Szablon:LinkWzór i wiedząc, że YSzablon:Sub=PSzablon:Sub, która nie zależy od zmiennej radialnej, wtedy na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór, która jest definicją Laplasjanu, mamy: Szablon:CentrujWzór Rozpiszmy wzór na Laplasjan wedle sposobu Szablon:LinkWzór i biorąc tylko jako działanie na ten operator funkcję R(r): Szablon:CentrujWzór Zatem możemy podziałać Laplasjanem obie strony równania Szablon:LinkWzór, a do lewej jego strony także dokonujemy różniczkować względem współrzędnych kartezjańskim, a z jego z prawej strony we współrzędnych kulistych, w takim przypadku mamy równanie poniżej: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy napisać równanie różniczkowe, które jest tożsamościowo równe zero, w takim przypadku możemy napisać równanie, które w dalszych kroku mamy zamiar rozwiązać wykorzystując przy tym Szablon:LinkWzór do lewej strony ostatniego wzoru: Szablon:CentrujWzór Do równania Szablon:LinkWzór wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy następująco: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy wykorzystać wzory Szablon:LinkWzór, która jest definicją zmiennej ρ, a wzór Szablon:LinkWzór, która jest definicją S, i te ostatnie dwa wspomniane wzory wstawiamy do wspomnianego na samym początku równania różniczkowego, w ten sposób dokonajmy dwóch następnych kroków, by dalej wykorzystać równanie Szablon:LinkWzór, ale najpierw policzmy jego pierwszą jego pochodną: Szablon:CentrujWzór Następnie jest policzenie drugiej pochodnej, piszemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wzory udowodnione w puntach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to wzory, które podstawimy do równania różniczkowego Szablon:LinkWzór, w takim przypadku możemy napisać następne równanie różniczkowe: Szablon:CentrujWzór Równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór dzielimy obustronnie przez kSzablon:Sup, a następnie mnożymy tak powstałe równanie przez Szablon:Formuła i jednocześnie dalej redukując odpowiednie składniki do siebie z lewej strony rozważanego równania, w takim razie możemy dojść do wniosku: Szablon:CentrujWzór Równanie wynikłe z końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór jest to równanie na funkcję Bessela Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zatem wykorzystując wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to możemy napisać wzór Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Funkcja RSzablon:Sub(kr) jest wprost proporcjonalna do funkcji sferycznej Bessela Szablon:LinkWzór. Wzór Szablon:LinkWzór do którego podstawimy funkcję sferyczną Bessela, ale przedtem przy czym ewentualne stałe będziemy wkładać do stałej cSzablon:Sub, i zakładając przy tym, że współrzędna zetowa wyraża się przy pomocy współrzędnej θ wzorem, tzn. ξ=r cosθ=rξ, w takim razie będziemy mogli powiedzieć: Szablon:CentrujWzór W celu wyznaczenia współczynników cSzablon:Sub należy pomnożyć obie strony równania Szablon:LinkWzór przez wielomian Legendre'a PSzablon:Sub(ξ) i z całkować obie jego strony, i wiedząc, że norma wielomianu Legendre'a jest policzona tutaj Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie lewą stronę równania Szablon:LinkWzór i dokonajmy jego całkowania przez części, w takim razie otrzymujemy pewne wyrażenie, które jest wyrażone za pomocą wyrazu wolnego i za pomocą następnej całki: Szablon:CentrujWzór Wyraz wolny można napisać dla jego granic w punktach 1 i -1, w których wielomiany Legendre'a zapisujemy wedle PSzablon:Sub(1)=1 i PSzablon:Sub(-1)=(-1)Szablon:Sup, którego to pierwszy wyraz w Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Do dalszych kroków jest wyznaczenie tożsamości, którą udowodnimy jako lemat, w takim przypadku mamy: Szablon:CentrujWzór Dowód dla i=0 dla lematu twierdzeniem prawdziwym dla Szablon:LinkWzór, zatem sprawdźmy co wyjdzie, gdy przejdziemy stwierdzenia z n do n+1, w takim bodź razie możemy pomnożyć równość Szablon:LinkWzór, przez jednostkę urojoną równej jednostce urojonej i przestawienie jego w postaci $e^{i\pi /2}$ i po wykorzystaniu twierdzenia o iloczynie funkcji potęgowych o tym samej podstawie, w takim przypadku możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Co kończy dowód lematu Szablon:LinkWzór. Równość Szablon:LinkWzór możemy zapisać, korzystając przy tym z Szablon:LinkWzór, i z definicji funkcji sinus: Szablon:CentrujWzór Przy wyrażaniu Szablon:LinkWzór skorzystaliśmy, że drugi wyraz znajdujący się w punkcie wyrażenia Szablon:LinkWzór piszemy wedle sposobu poniżej, tzn. całkę poniżej całkujemy poprzez części, w takim przypadku udowodniliśmy, że ten wyraz jest wprost proporcjonalny do odwrotności kwadratu z liczby r, co uzasadnia w Szablon:LinkWzór, że należy uciąć wyrazy rzędu więcej niż wyrazy proporcjonalne do odwrotności z odległości radialnej jako wyrażenia niecałkowego: Szablon:CentrujWzór

Jeszcze raz powracając do równania Szablon:LinkWzór możemy napisać tożsamość na funkcję zależną od x, czyli cSzablon:SubjSzablon:Sub(x), która jest iloczynem współczynnika cSzablon:Sub i asymptotycznej właściwości sferycznej funkcji Bessela jSzablon:Sub(x) zdefiniowaną wzorem Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Mając wzór na cSzablon:SubjSzablon:Sub(x), który jest określony przez wzór końcowy wynikowy Szablon:LinkWzór, wtedy wzór Szablon:LinkWzór piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Jeśli wprowadzimy asymptotyczne sferyczne funkcje Bessela jSzablon:Sub(x), które są zdefiniowane wzorem Szablon:LinkWzór, w takim przypadku Szablon:LinkWzór, który jest zarazem wzorem przybliżonym, przepisujemy: Szablon:CentrujWzór

Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela

Funkcja Bessela nie spełnia ogólnych warunków ortogonalizacji, jak to ma miejsce w przypadku wielomianów ortogonalnych, tzn. całka Szablon:Formuła nie jest równe zero, zatem znajdziemy inny właściwy warunek ortogonalizacji dla naszej tutaj rozważanej funkcji. Obierzmy sobie dwie funkcje, które nazwiemy jako ySzablon:Sub i ySzablon:Sub, dla których "a" jest nierówne "b": Szablon:ElastycznyWiersz Funkcje, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do równania różniczkowego Bessela Szablon:LinkWzór i dzielimy obustronnie przez xSzablon:Sup, to dla tych dwóch rozwiązań mamy przestawienia: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór Szablon:LinkWzór mnożymy obustronnie przez ySzablon:Sub, a wzór Szablon:LinkWzór mnożymy obustronnie przez ySzablon:Sub i tak powstałe wzory odejmujemy od siebie, w ten sposób dostajemy równość: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy nową funkcję zdefiniowaną za pomocą funkcji ySzablon:Sub i ySzablon:Sub, a także za pomocą tychże pochodnych, w takim przypadku mamy definicję nowej zmiennej${}_{u=y_1^{\text{'}}{y}_2-y_2^{\text{'}}{y}_1}$, w ten sposób Szablon:LinkWzór przechodzi w równość: Szablon:CentrujWzór Końcową równość Szablon:LinkWzór musimy przecałkować w przedziale od (0,L), w ten sposób dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wedle definicji na zmienną u, funkcje poniżej powinny być równe zero dla x=a,b, które są różnymi parametrami, dla naszego przypadku musi być przynajmniej jeden warunek z dwóch spełniony, co piszemy je: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli jest spełniony odpowiednio warunek Szablon:LinkWzór (funkcja Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero) lub Szablon:LinkWzór (pierwsza pochodna funkcji Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero), to lewa strona równości Szablon:LinkWzór jest równa zero: Szablon:CentrujWzór