Mechanika teoretyczna/Wprowadzenie do hydrodynamiki

Równanie Naviera-Stokesa

Będziemy się tutaj zajmować równaniem ogólnym dla hydrodynamiki Szablon:LinkWzór, a także korzystając z definicji tensora napięć Szablon:LinkWzór, a także wykorzystując twierdzenie o tarciu Szablon:LinkWzór i twierdzenie o prędkości Szablon:LinkWzór, jak również wykorzystując związek pomiędzy dwoma parametrami lepkości η i ξ, to na podstawie tego możemy napisać równanie Naviera-Stokesa w postaci skalarnej: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy przepisać w postaci wektorowej: Szablon:CentrujWzór

Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego

Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy η jest równa zero, wtedy równanie Szablon:LinkWzór będziemy pisać: Szablon:CentrujWzór Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz prędkość, jej do tej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy Szablon:Formuła. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór po prawej stronie w nawiasie: Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w Szablon:LinkWzór do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy jeszcze inny zapis naszego ostatnio wspomnianego wzoru: Szablon:CentrujWzór Równanie skalarne Szablon:LinkWzór, które jest przestawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równania możemy przestawić w postaci wektorowej: Szablon:CentrujWzór

Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów

Dla spoczywającej ciecz będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: Szablon:ElastycznyWiersz Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu), wtedy powiemy: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy teraz równanie ciągłości Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy równanie ciągłości przyjmuje wygląd: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru Szablon:LinkWzór, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych piszemy: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy tą nasza równość przepisujemy po tej wspomnianej operacji: Szablon:CentrujWzór Równanie stanu będziemy linearyzować rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy ρ wokół punktu ρ=ρSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Biorąc definicję ciśnienia Szablon:LinkWzór i gęstości ciała Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór możemy zauważyć: Szablon:CentrujWzór Wstawiamy uzyskaną równość Szablon:LinkWzór do równania ciągłości Szablon:LinkWzór, to dostajemy zależność: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: Szablon:CentrujWzór Będziemy wykorzystywać równość Szablon:LinkWzór, to do wyznaczenia prędkości światła, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu, mamy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej·

Wyprowadzenie równania Bernoulliego

Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość Szablon:LinkWzór po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość ρ, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości Φ, którego definicja jest podana w punkcie Szablon:LinkWzór, a także wprowadzimy, że wielkość Szablon:Formuła jest gradientem potencjału U wziętej z minusem Szablon:LinkWzór, a także wykorzystamy definicję wielkości Szablon:Formuła, czyli poprzez Szablon:LinkWzór, a co z niego wynika równość Szablon:LinkWzór, to na podstawie tychże rozważanych rozważań dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości Szablon:LinkWzór jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: Szablon:CentrujWzór Dla przepływów stacjonarnych równość Szablon:LinkWzór, dla której pochodna funkcji Φ znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: Szablon:CentrujWzór Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania Szablon:LinkWzór i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej jest napisana: Szablon:CentrujWzór Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy Szablon:Formuła, to stąd podobnie jak poprzednio wynika równość jak w punkcie Szablon:LinkWzór, tylko dla Szablon:Formuła równego zero.

Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie Szablon:Formuła, Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego możemy przepisać do postaci: Szablon:CentrujWzór

Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju

Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości Szablon:LinkWzór, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości jest napisane przez: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem Szablon:LinkWzór, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: Szablon:CentrujWzór Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego Szablon:LinkWzór, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: Szablon:CentrujWzór Ponieważ iloczyn ρSv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go otrzymując własność: Szablon:CentrujWzór Równość końcową wynikową Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wielkość występująca w punkcie Szablon:LinkWzór, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości Szablon:LinkWzór i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha, i piszemy ją: Szablon:CentrujWzór Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej ρ jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku Szablon:LinkWzór w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość Szablon:LinkWzór możemy przepisać: Szablon:CentrujWzór

Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością

Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego Szablon:LinkWzór, które będziemy mogli wykorzystać wiedząc, że różne punkty w takiej przestrzeni są w spoczynku, zatem to nasze prawo zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy będziemy mogli zapisać: Szablon:CentrujWzór Końcową równość Szablon:LinkWzór będziemy mogli podstawić do wzoru Szablon:LinkWzór, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: Szablon:CentrujWzór

Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a

Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy Szablon:Formuła, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa Szablon:LinkWzór przechodzi w równość wektorową: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: Szablon:ElastycznyWiersz Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: Szablon:CentrujWzór Z równości różniczkowej Szablon:LinkWzór wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór W równości Szablon:LinkWzór, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika, wynika natychmiast równość: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero, przechodzi w równość: Szablon:CentrujWzór Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej xSzablon:Sub i współrzędnej xSzablon:Sub, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej xSzablon:Sub, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań Szablon:LinkWzór, bo prędkość vSzablon:Sub zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych, wtedy powiemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie zależności Szablon:LinkWzór możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i zależności ciśnienia od długości rury xSzablon:Sub, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. pSzablon:Sub-pSzablon:Sub, a także jest zależna ona od długości rurki "l": Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy przedstawienie Szablon:LinkWzór laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość Szablon:LinkWzór, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": Szablon:CentrujWzór Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała cSzablon:Sub jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość vSzablon:Sub jest równa zero, wtedy rysujemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzór na stałą cSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i wzór na stałą cSzablon:Sub, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy jako iloraz dwóch ściśle określonych całek i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: Szablon:CentrujWzór Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy, określamy: Szablon:CentrujWzór

Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością

Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością vSzablon:Sub można rozważyć tak jak by kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa vSzablon:Sub. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie Szablon:LinkWzór możemy przepisać jakie jest równanie ruchu cieczy, przy uwagach wyżej wprowadzonych: Szablon:CentrujWzór W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: Szablon:CentrujWzór Zatem równanie Szablon:LinkWzór na podstawie warunku Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Podziałajmy obustronnie równość Szablon:LinkWzór operatorem rotacji i dostajemy wniosek: Szablon:CentrujWzór Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do Szablon:LinkWzór, jest to równanie na prędkość Szablon:Formuła, której laplasjan prędkości Szablon:Formuła jest równy zero: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości Szablon:LinkWzór spełniające Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: Szablon:CentrujWzór Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór jest sumą prędkości opisaną wzorem Szablon:LinkWzór, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ prędkość płynu Szablon:Formuła jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość Szablon:Formuła możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła Szablon:Formuła i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: Szablon:CentrujWzór Jeśli wzór Szablon:LinkWzór wstawimy do wzoru Szablon:LinkWzór, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze Szablon:LinkWzór jest równy zero: Szablon:CentrujWzór Ponieważ funkcja występująca pod operatorem Δ jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór możemy zapisać równoważną do równości Szablon:LinkWzór postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): Szablon:CentrujWzór Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(∞)=0, czyli w równaniu Szablon:LinkWzór należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": Szablon:CentrujWzór Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie Szablon:LinkWzór jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: Szablon:CentrujWzór to wtedy prędkość opisana wzorem Szablon:LinkWzór podstawiamy do równości Szablon:LinkWzór. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji Φ, który jest w definicji prędkości Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Będziemy szukali rozwiązania równania Szablon:LinkWzór dla którego zachodzi Szablon:Formuła w postaci funkcji zależnej od prędkości vSzablon:Sub i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji Φ, wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji Φ jest zależny od wektora prędkości Szablon:Formuła, wektora wodzącego danego punktu cieczy Szablon:Formuła i położenia radialnego: Szablon:CentrujWzór Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór jest rozwiązanie zapisane w postaci poniżej, co nie musimy tutaj sprawdzać na ławach tejże książki, jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz prędkość Szablon:Formuła ze wzoru Szablon:LinkWzór mając funkcję Φ zdefiniowanego według wzoru Szablon:LinkWzór, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości, mamy: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor Szablon:Formuła i prędkości Szablon:Formuła, który zależy natomiast od funkcji f(r): Szablon:CentrujWzór Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa Szablon:Formuła, co piszemy: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według Szablon:LinkWzór, czyli bardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Z warunku Szablon:LinkWzór dla funkcji Szablon:LinkWzór otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór Szablon:LinkWzór możemy podstawić do wzorów Szablon:LinkWzór i do Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia rozważanej kulki: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór końcowy Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: Szablon:CentrujWzór A równość na stałą B Szablon:LinkWzór, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie Szablon:LinkWzór, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: Szablon:CentrujWzór Prędkość Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór możemy policzyć wykorzystując definicję funkcji f(r) Szablon:LinkWzór i mając także, że A=1 i Szablon:LinkWzór jako definicję stałej "a" i Szablon:LinkWzór jako definicja stałej B, co stąd możemy wyliczyć całkowitą wspomnianą prędkość wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Równanie Naviera-Stokesa Szablon:LinkWzór, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór, a także fakt Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Końcową równość Szablon:LinkWzór możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości Φ dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem Szablon:LinkWzór, a także wzór na definicję stałej "a" jest według Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Możemy teraz policzyć całkowitą siłę wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór, wiedząc że całka po ciśnieniu pSzablon:Sub jest równa zero, wtedy powiemy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością Szablon:Formuła.