Mechanika teoretyczna/Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym

Rozpatrzmy teraz równość Szablon:LinkWzór pomijając w nim wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości stojące w drugim wyrazie pod pochodną cząstkową liczoną względem współrzędnej prostokątnego układu współrzędnych, a także zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i tą gęstość oznaczymy przez ρSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest skorzystanie z definicji tensora napięć, którego definicja jest przy prawie Hooke'a w punkcie Szablon:LinkWzór i wykorzystaniu własności na tensor deformacji Szablon:LinkWzór, w ten sposób równość Szablon:LinkWzór przechodzi w: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór, który jest określona przy pomocy wektora deformacji Szablon:Formuła, możemy zapisać w postaci wektorowej używając operatorów gradientu i dywergencji przy pomocy parametrów μ i λ: Szablon:CentrujWzór Jeśli się ograniczymy do problemów typowo statycznych. tzn. dla problemów całkowicie niezależnych od czasu, zatem na podstawie równości Szablon:LinkWzór napiszmy równość różniczkową pomijać we wspomnianym wzorze drugą pochodną cząstkową wektora deformacji względem czasu: Szablon:CentrujWzór

Wałek skręceń w teorii sprężystości

Na dolnej podstawie wałka skręceń xSzablon:Sub, z powodów oczywistych mamy sSzablon:Sub=0. Naprężenia na bocznej podstawie z powodów oczywistych liczymy wzorem Szablon:LinkWzór, na górnej podstawie wektor przesunięcia Szablon:Formuła jest określony: Szablon:CentrujWzór Równaniem statycznym Szablon:LinkWzór będziemy opisywali przypadek statyczny wałka skręceń, tzn. przez równość: Szablon:CentrujWzór Zdeformowanie Szablon:Formuła dla różnych punktów wałka skręceń, którego równość określamy przez równość: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzór na tensor zdeformowania Szablon:LinkWzór, w ten sposób na podstawie składowych wektorów zdeformowania Szablon:Formuła, które określaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, to te tensory deformacji określamy przez: Szablon:CentrujWzór Przy pomocy naszej definicji tensora deformacji Szablon:LinkWzór możemy policzyć je wykorzystując przy tym wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ zachodzi warunek statyczności, który jest opisany wzorem Szablon:LinkWzór, to na podstawie tychże wzorów Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Z dwóch równości Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć funkcję φ(xSzablon:Sub) zależną od argumentu xSzablon:Sub, która jest wysokością wałka skręceń: Szablon:CentrujWzór Ponieważ dla warunków brzegowych równość Szablon:LinkWzór, z którego będziemy mogli wyznaczyć parametry a i b, a także z warunków brzegowych możemy zapisać równości, z których wyznaczymy parametry a i b. Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Patrząc na układ równań Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć naprężenia na ścianki boczne wałka skręceń, względem wektora normalnego do powierzchni bocznej tego obiektu, czyli względem wektora Szablon:Formuła, a zatem na podstawie tego możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór, który powstaje po podstawieniu uzyskanej tożsamości Szablon:LinkWzór do ostatnio wspomnianego równości w tym tekście, z którego będziemy mogli wyznaczyć wektor przesunięć Szablon:Formuła, jest: Szablon:CentrujWzór Tensory naprężeń Szablon:LinkWzór, na podstawie definicji funkcji φ(xSzablon:Sub) napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór i naprężenia dla wektora normalnego Szablon:Formuła dla xSzablon:Sub=l, określamy przez: Szablon:ElastycznyWiersz Siły działające na walek skręceń są prostopadłe do osi xSzablon:Sub, bo iloczyn skalarny wektora naprężeń i Szablon:Formuła jest równy zero, a oto jego dowód: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz moment sił działający na walec skręceń z jego definicji, a także znając definicję składowych naprężeń PSzablon:Sub, PSzablon:Sub, PSzablon:Sub, które to będziemy mogli wykorzystać do wyznaczania trzeciej składowej momentu pędu MSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Jeśli na pręt działa siła o momencie pędu wyznaczonego z punktu Szablon:LinkWzór, co stąd możemy wyznaczyć kąt φSzablon:Sub, który w zależności od momentu pędu piszemy przez: Szablon:CentrujWzór

Matematyczny opis fal sprężystych

Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu sSzablon:Sub jest opisywane przez równość Szablon:LinkWzór, którą ogólne rozwiązanie spełnia wspomnianą równość, jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór, który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia Szablon:Formuła. Zakładając przy tym, że mamy Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie Szablon:LinkWzór możemy podstawić do równości Szablon:LinkWzór, otrzymujemy wtedy równość algebraiczną: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie równości Szablon:LinkWzór jest to rozwiązanie, dla którego ASzablon:Sub musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania Szablon:LinkWzór musi mieć wartość zerową: Szablon:CentrujWzór Wyznacznik równania Szablon:LinkWzór możemy policzyć w taki sposób by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego: Szablon:ElastycznyWiersz Równaniu falowym o wartości liczby falowej Szablon:LinkWzór odpowiada amplituda Szablon:Formuła, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego Szablon:LinkWzór odpowiada wektor amplitudy Szablon:Formuła, co te amplitudy piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Fala odpowiadająca amplitudzie Szablon:LinkWzór odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda Szablon:LinkWzór, zatem w takim przypadku prędkości opisywane przez te fale są zapisane: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych Szablon:Formuła i podłużnych Szablon:Formuła jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku: Szablon:CentrujWzór Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć: Szablon:ElastycznyWiersz Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych, tzn., której przypadek opisujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki: Szablon:CentrujWzór Wtedy równość Szablon:LinkWzór możemy przepisać do równości: Szablon:CentrujWzór Jeśli do równania Szablon:LinkWzór podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru Szablon:LinkWzór jest: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć Szablon:Formuła dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Na podstawie założenia Szablon:LinkWzór i wywodów Szablon:LinkWzór otrzymujemy, że fala Szablon:Formuła jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć Szablon:Formuła dla fali podłużnej: Szablon:CentrujWzór Na podstawie założenia Szablon:LinkWzór i wywodów Szablon:LinkWzór otrzymujemy, że fala Szablon:Formuła jest falą poprzeczną.

Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała

Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: Szablon:CentrujWzór Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian Szablon:LinkWzór i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero, zatem: Szablon:CentrujWzór Wariacja funkcjonału S Szablon:LinkWzór jest tak zbudowana, by wariacja wielkości δsSzablon:Sub na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów tSzablon:Sub i tSzablon:Sub, co piszemy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz funkcję Φ, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem tą naszą wariację naszej funkcji S piszemy: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór pomijaliśmy wyrazy δsSzablon:Sub rzędu wyższego rzędu niż pierwszego i skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a Szablon:LinkWzór. Dalszym naszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie Szablon:LinkWzór w nawiasie klamrowym, zatem teraz dokonajmy teraz tychże obliczeń: Szablon:CentrujWzór Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie Szablon:LinkWzór, stąd na podstawie tego możemy powiedzieć, że zachodzi: Szablon:CentrujWzór Obliczenia przeprowadzone w punkcie Szablon:LinkWzór i w punkcie Szablon:LinkWzór wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór to na podstawie tego uzyskujemy równość: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Gdy w Szablon:LinkWzór przyjmiemy, że deformacje Szablon:Formuła i prędkość deformacji Szablon:Formuła są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości piszemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i definicji cechowania Szablon:LinkWzór, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: Szablon:CentrujWzór Równość całkowa Szablon:LinkWzór jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego δsSzablon:Sub, zatem na podstawie tego otrzymujemy dwie bardzo ważne równości: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór Szablon:LinkWzór symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie Szablon:LinkWzór, a wzór Szablon:LinkWzór jest to powtórzeniem wzoru Szablon:LinkWzór.