Mechanika teoretyczna/Ruch ciał ograniczonych więzami

Na każde ciało możemy nałożyć pewne ograniczenia, które nazywamy więzami , czyli rozwiązanie ruchu dla naszego punktu masowego powinno spełniać równanie powierzchni: Szablon:CentrujWzór Zaś jeśli punkt ma poruszać się po pewnej krzywej powstałej z przecięcia dwóch powierzchni, to równanie ruchu cząstki powinno spełniać równania płaszczyzn: Szablon:ElastycznyWiersz Warunki uboczne zależne od czasu, które są jednocześnie więzami będziemy nazywać reonomicznymi, a niezależne od czasu skleronomicznymi. Ruch swodobny jest opisywany przez trzy współrzędne, których każdy warunek na więzy zmniejsza liczbę stopni swobody o jeden, więzy które są zależne od położenia, prędkości i czasu są napisane: Szablon:CentrujWzór Jeśli natomiast istnieje taka funkcja G, która spełnia warunek: Szablon:CentrujWzór I dalej patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to możemy powiedzieć: Szablon:ElastycznyWiersz wtedy więzy spełniające warunek Szablon:LinkWzór na podstawie Szablon:LinkWzór nazywamy więzami holonomicznymi i można z nich wyrugować prędkość. Więzy, które nie da się sprowadzić do funkcji G, by mieć Szablon:LinkWzór nazywamy więzami anholonomicznymi.

Zasada d'Alemberta

Wykorzystując drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, dla układu ograniczonego więzami, gdzie przez siłę Szablon:Formuła będziemy oznaczać siłę pochodzącą od więzów, zatem możemy sformułować tą naszą zasadę wymienioną w tytule tego podrozdziału:

• Siła reakcji więzów przy wirtualnych przemieszczeniach nie wykonuje pracy, co obrazujemy tą zasadą:

Szablon:CentrujWzór Zasada d'Alemberta jest zgodna z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdyż na poruszające się ciało nie działa żadna siła reakcji, wtedy w zasadzie Szablon:LinkWzór dla dowolnego przesunięcia wirtualnego Szablon:Formuła, czyli przy dowolnych δx, δy i δz, ta zasada sprowadza się do trzech równań Newtona rozpisując je jako trzy równania w postaci skalarnej, na podstawie tego mamy trzy równania, które są równaniami Newtona dla współrzędnych: Szablon:ElastycznyWiersz

Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju

Załóżmy, że ciało ma ograniczonych swobodę ruchów, tzn. jego ruch odbywa się po krzywej spełniające dwa równania więzów: Szablon:ElastycznyWiersz Mając na uwadze równania więzów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać je przy pomocy wirtualnych przesunięciach: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy wykorzystać tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i pomnożyć je przez współczynniki λSzablon:Sub i λSzablon:Sub, wtedy tak otrzymane wzory możemy wstawić do równości obrazującej zasadę d'Alemberta Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Siła reakcji więzów we wzorze Szablon:LinkWzór możemy wyrazić przy pomocy współczynników Lagrange'a λSzablon:Sub i λSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Zatem równanie Szablon:LinkWzór przy dowolnych przesunięciach wirtualnych przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór nazywamy równaniem Lagrange'a pierwszego rodzaju, które wraz z więzami Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór stanowią jakoby układ równań, z którego nań możemy wyznaczyć parametry λSzablon:Sub i λSzablon:Sub.

Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii

Będziemy się zajmowali tutaj zasadami zachowania pędu, momentu pędu, a także i energii.

Zasada zachowania pędu

Drugie prawo Newtona przy pomocy sił normalnych Szablon:LinkWzór do powierzchni, na której poruszało się ciało, piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli natomiast zachodzi Szablon:Formuła, to ciało poruszające się po danej powierzchni ma pęd stały i niezależny od czasu, to pęd jest całką ruchu.

Zasada zachowania momentu pędu

Równanie na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór, gdy na to działa nań siła o wartości Szablon:Formuła dla ciała znajdującego się w punkcie Szablon:Formuła, przestawiamy jako: Szablon:CentrujWzór Jeśli moment sił działającej na ciało Szablon:Formuła jest równy zeru, to na podstawie tego moment pędu jest wielkością zachowalną.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii dla przypadku z więzami, którego to równanie Lagrange'a pierwszego rozdzaju Szablon:LinkWzór pomnożymy obustronnie przez prędkość ciała, mamy w postaci: Szablon:CentrujWzór Z definicji różniczki zupełnej równań więzów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór mamy: Szablon:ElastycznyWiersz Z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyznaczmy gradienty funkcji Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór stosując je do wzoru Szablon:LinkWzór i wykorzystując definicję energii potencjalnej Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a

Z rysunku obok możemy napisać tożsamość, która jest więzem opisujących położenia ciała na równi pochyłej, którą to piszemy: Szablon:CentrujWzór Drugie równanie więzów, gdy współrzędna zetowa kulki na stoczni jest zawsze równa zero, stąd ona nie zmienia się nigdy i przestawiamy ją w postaci: Szablon:CentrujWzór Możemy wyznaczyć gradient dla więzu Szablon:LinkWzór, którego to przestawiamy w postaci wektora: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym krokiem jest wyznaczenie równań ruchu wykorzystując równania Lagrange'a pierwszego rodzaju dla dwóch więzów Szablon:LinkWzór, zatem napiszmy trzy równania opisujących ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej. Szablon:ElastycznyWiersz Zróżniczkujmy równana więzów, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to po dokonaniu tychże operacji otrzymujemy dwie tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy przepisać w innej równoważnej postaci wedle schematów: Szablon:ElastycznyWiersz Następnie wyznaczmy parametr λSzablon:Sub i parametr λSzablon:Sub podstawiając wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do równań wynikłych z pierwszego równania więzów Szablon:LinkWzór i podstawiając też równanie Szablon:LinkWzór do równania wynikłego z drugiego równania więzów Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy tożsamości, z których będziemy mogli wyliczyć wspomniane parametry: Szablon:ElastycznyWiersz Mając już wyliczone parametry λSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i parametr λSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, to możemy teraz wyznaczyć równania ruchu naszego ciała: Szablon:ElastycznyWiersz Wprowadźmy teraz nową zmienną, którego definicja jest napisana: Szablon:CentrujWzór Biorąc tożsamość Szablon:LinkWzór i podstawiając go do równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób dostajemy jedną równość z tych z dwóch, która opisuje zmienną s, która wraz ze zmienną zetową, opisującą ruch naszej kulki: Szablon:ElastycznyWiersz Zatem z końcowych równań, tzn. z Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór z które to wyznaczymy zmienne "s" i "z" w zależności od czasu: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy teraz czemu jest równa siła reakcji więzów Szablon:Formuła, na którą to z powierzchni działa na rozważane tutaj ciało poruszające się na równi. znając wartości parametrów λSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i λSzablon:Sub Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju

Statyka

Wiemy z równości, że całkowita siła działająca na ciało spoczywająca się na pewnej linii lub powierzchni zachodzi, gdy siła Szablon:Formuła i siły reakcji więzów Szablon:Formuła są sobie równe: Szablon:CentrujWzór Jeśli ciało porusza się po pewnej elipsoidzie, to równanie więzów możemy przedstawić wzorem: Szablon:CentrujWzór Siłę reakcji więzów wedle definicji Szablon:LinkWzór, który jest wprowadzony dla dwóch więzów, a tutaj mamy jedno równanie więzów, możemy określić pochodzącą od więzów: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że równanie Szablon:LinkWzór może być spełnione jedynie, gdy x=y=0, i z=±c. Jeśli siła reakcji więzów posiada potencjał U, wtedy: Szablon:CentrujWzór

Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił

Równanie więzów określać będziemy teraz jako równanie kuli w przestrzeni trójwymiarowej wedle: Szablon:CentrujWzór Wtedy równanie na siłę więzów Szablon:LinkWzór określimy dla jednego więzu, zamiast dla dwóch, jak pierwotnie wyprowadzone zostało w tym module, to wzór na siłę reakcji więzów zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Moment sił Szablon:LinkWzór działający ze strony więzów Szablon:LinkWzór, który jest opisany tutaj dla sił pochodzących od więzów wzorem Szablon:LinkWzór, jest określony: Szablon:CentrujWzór Z zerowania się momentu sił Szablon:LinkWzór możemy napisać, że moment pędu opisujących nasze ciało poruszające się wewnątrz kuli jest wielkością zachowawczą.

Ruch ciała po obracającej się linijce

Szablon:Rysunek Określmy teraz dwa równania więzów dla ciała poruszającego po pewnej linijce obracające się z prędkością kątową ω: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując definicję operatora ∇ we współrzędnych cylindrycznych Szablon:LinkWzór, to możemy opisać gradienty funkcji Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór następująco: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać trzy równania więzów: Szablon:ElastycznyWiersz Z wyżej napisanych tożsamości, które obrazują pierwsze równanie Lagrange'a, wykorzystując rachunek więzów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, możemy napisać: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie Szablon:LinkWzór, która jest równaniem zależnym od drugiej pochodnej zmiennej ρ rozwiązaniem jest równanie zależne od częstotliwości kołowej ω z jaką prędkością porusza się ciało na linijce i tym samym linijka: Szablon:CentrujWzór Z warunków początkowych dla t=0 mamy Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, zatem na podstawie tego możemy napisać równości brzegowe, by wyznaczyć stałe A i B występujące w równaniu Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Z równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać warunki na stałe A i B występujące we wzorze na ρ Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W uwagach końcowych napiszmy jak się zmieniają się współrzędne w układzie cylindrycznym dla poruszającego się ciała po linijce. Szablon:ElastycznyWiersz