Mechanika teoretyczna/Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona.

Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione

Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami: Szablon:CentrujWzór Zatem mając równania więzów Szablon:LinkWzór możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej po przez pochodne cząstkowe względem jego argumentów: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy pochodną wielkości Szablon:LinkWzór względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej i na podstawie tego możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór zasadę d'Alemberta Szablon:LinkWzór dla "f" więzów przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną względem każdej cząstki, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej Szablon:LinkWzór względem k-tego stopnia swobody współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach. Szablon:ElastycznyWiersz Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli Szablon:LinkWzór, do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór Ostatni wyraz występujący w punkcie Szablon:LinkWzór po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy powyższą równość zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Końcowy wzór wynikający z obliczeń Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta, wtedy przestawiamy równość: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę względem wskaźnika "a" iloczynu funkcji siły FSzablon:Sub przez pochodną χSzablon:Sub względem współrzędnej qSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór wielkość Szablon:Formuła, gdzie Szablon:Formuła jest wersorem w układzie ogólnie krzywoliniowym o bazie ortonormalnej i Szablon:Formuła, więc: Szablon:CentrujWzór Stąd wielkość Szablon:Formuła jest k-tym stopniem swobody wektora siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym. Widzimy, że siła uogólniona Szablon:Formuła, bo zachodzi Szablon:LinkWzór (końcowy wniosek), jest addytywna i jest sumą sił uogólnionych od poszczególnych ciał w układzie z więzami. Udowodnijmy addytywność sił uogólnionych, jeżeli na dane ciało dział jakaś liczba sił uogólnionych, na podstawie addytywności sił zwykłych: Szablon:CentrujWzór A więc k-ty stopień swobody siły uogólnionej działającej na ciała jest sumą wszystkich k-tych stopni swobody sił uogólnionych, nawet tych działających na jedno ciało w liczbie większych niż jeden, w układzie ogólnie krzywoliniowym. Równanie Szablon:LinkWzór jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej qSzablon:Sub przy definicji siły uogólnionej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która to jest napisana wzorem wziętej z prawej strony wzoru z minusem: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim FSzablon:Sub Szablon:LinkWzór wzór na siłę uogólnioną Szablon:LinkWzór w zalezności od siły potencjalnej i zewnętrznej przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Dla siły uogólnionej Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór też zachodzi podobny związek Szablon:LinkWzór jak dla siły uogólnionej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, bo na podstawie Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór spełnia zasadę rozpisu Szablon:LinkWzór. Wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną na podstawie Szablon:LinkWzór i definicji siły uogólnionej Szablon:LinkWzór, przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ zachodzi addytywność siły uogólnionej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór to na podstawie Szablon:LinkWzór zachodzi addytywność siły uogólnionej zewnętrznej Szablon:Formuła lub co można sprawdzić bezpośrednio z definicji uogólnionej siły zewnętrznej Szablon:LinkWzór, sprawdźmy to: Szablon:CentrujWzór Wzór na siłę uogólnioną Szablon:LinkWzór możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a Szablon:LinkWzór i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu i prędkości uogólnionej: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór na podstawie definicji funkcji Lagrange'a Szablon:LinkWzór możemy przepisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Układ równań Szablon:LinkWzór jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne qSzablon:Sub w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie Szablon:LinkWzór stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne.

Równanie Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogii do równania Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania

Zasada zachowania energii i translacja w czasie

Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie Szablon:LinkWzór względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyrazy w Szablon:LinkWzór, które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi pewnej funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie: Szablon:CentrujWzór Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to: Szablon:CentrujWzór Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych: Szablon:CentrujWzór Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru Szablon:LinkWzór pod pochodną względem czasu wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu i siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia.

Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a

Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor Szablon:Formuła wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor Szablon:Formuła wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora Szablon:Formuła, oraz przez współrzędne wektora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinno zachodzić na pewno dla naszej funkcji Szablon:Formuła, zatem powinny zachodzić warunki, które tożsamościowo są równe zero: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór Szablon:LinkWzór na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce Szablon:LinkWzór, wtedy po dokonaniu tejże operacji: Szablon:CentrujWzór Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:ElastycznyWiersz Można wykazać, że pochodna Szablon:Formuła jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji Szablon:LinkWzór jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy.

Zasada zachowania momentu pędu

Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, przestawiamy jako: Szablon:CentrujWzór Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej θ-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu Szablon:LinkWzór względem współrzędnej θ-owej jest równa zero: Szablon:CentrujWzór Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, czyli stąd wynika, że moment zetowy moment pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian Szablon:Formuła nie zależy od współrzędnej uogólnionej qSzablon:Sub, to spełniona jest zasada zachowania: Szablon:CentrujWzór Czyli taką współrzędną dla której zachodzi Szablon:LinkWzór nazywamy współrzędną cykliczną.

Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych

Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez Szablon:Formuła, gdzie przyrost położenia jest napisany: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych jest opisywana: Szablon:CentrujWzór Parametry Szablon:Formuła są tak np. sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki Szablon:LinkWzór, by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Wektory Szablon:Formuła tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo: Szablon:CentrujWzór Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie Szablon:LinkWzór, a także z własności ortogonalności wersorów Szablon:LinkWzór, to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy teraz wzór dla jednego ciała na drugie równanie Lagrange'a Szablon:LinkWzór, które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej, a wzór na siłę uogólnioną według Szablon:LinkWzór, także wykorzystajmy drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, w takim razie dla układu ogólnie krzywoliniowego mamy: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego, słusznego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym, z Szablon:LinkWzór licząc pochodną zupełną względem czasu dla obu jego stron, zatem: Szablon:CentrujWzór Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji porównując współczynniki stojące przy Szablon:Formuła we wzorze Szablon:LinkWzór i we równaniu na drugie równanie Lagrange'a Szablon:LinkWzór, stąd: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór zachodzi, bo jak powiedzieliśmy dla Szablon:LinkWzór (tutaj wszystkie siły uwzględniono w Szablon:Formuła, czyli Szablon:Formuła, a więc Szablon:Formuła), że Szablon:Formuła jest k-tą współrzędną siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym, wykorzystując wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, też wiedząc, że zachodzi w zależności od współrzędnych przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym: Szablon:CentrujWzór Podstawiając Szablon:LinkWzór do pierwszego równania Szablon:LinkWzór dostajemy drugie równanie też tam. To co napisano w drugim równaniu Szablon:LinkWzór i z definicji ortonormalności wersorów Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór mamy trzecie równanie w Szablon:LinkWzór, czyli równanie końcowe w Szablon:LinkWzór jest prawdziwe i przedstawia wzór na k-tą współrzędną przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym. Energia kinetyczna w układzie kulistym dla ciała jest określona na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jeśli podstawimy wzór Szablon:LinkWzór do wzoru Szablon:LinkWzór przy oznaczeniach Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru Szablon:LinkWzór.

Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a

Weźmy sobie całkę działania, które określamy za pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem ta nasza całka: Szablon:CentrujWzór Całkę działania Szablon:LinkWzór będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero, czyli przyjmujemy zasadę Hamiltona, czyli zasadę najmniejszego działania. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do Metod matematycznych fizyki określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w Szablon:LinkWzór spełnia wniosek Szablon:LinkWzór, w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny Szablon:LinkWzór lub wzór wektorowy Szablon:LinkWzór dla przestrzeni kartezjańskiej, a więc to udowodnijmy i wszystkie wnioski do tego, co zachodzą z teorii ruchu: Szablon:CentrujWzór Przyjmijmy, że lagrangian jest sumą lagrangianu normalnego Szablon:Formuła i odpowiedzialnego za siły zewnętrzne, które w szczególnym przypadku też w nim są siły oddziaływań, więc w przypadku lagrangianu w Szablon:LinkWzór zastępując według: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wynikającej z zasady wariacyjnej Szablon:LinkWzór i zastępowania Szablon:LinkWzór oraz zakładamy, że Szablon:Formuła jest zależne od prędkości i położenia ciał, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór A ponieważ zachodzi wynikająca z teorii ruchu Szablon:LinkWzór i wynikająca z teorii lagrangianu Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest przepisem jak liczyć k-ty stopień swobody sił uogólnionych w układzie ogólnie krzywoliniowym znając lagrangian sił oddziaływań oraz sił zewnętrznych Szablon:Formuła, która jest zależna od prędkości i położenia. Gdy Szablon:Formuła nie jest zależne od prędkości, tylko od położenia, w takim razie wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje formę: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru na siłę uogólnioną Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje formę o wyglądzie Szablon:LinkWzór, aby dla jasności wykładu przepiszemy ten wzór: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy addytywność siły uogólnionej Szablon:Formuła z teorii lagrangianu wiedząc, że zachodzi z teorii ruchu Szablon:LinkWzór, gdy na dane ciało działa jakaś ich liczba, zatem: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór siła uogólniona zewnętrzna jest addytywna, która występuje we wzorze Szablon:LinkWzór. Czyli to co chcieliśmy na samym początku tego rozdziału udowodniliśmy. Wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór są słuszne, gdy Szablon:Formuła, a dla innych przypadków Szablon:Formuła też są słuszne, a my to chcemy udowodnić, dla tych przypadków mamy równania poniżej. Na podstawie tych wniosków też jest słuszny wzór Szablon:LinkWzór przed zamianą według Szablon:LinkWzór. Zastępujmy w definicji siły uogólnionej w Szablon:LinkWzór w równaniu Szablon:LinkWzór według: Szablon:CentrujWzór Wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór wzór kocowy w Szablon:LinkWzór przyjmuje formę: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór (końcowa tożsamość) zastąpmy według procedury Szablon:Formuła, a my dla jasności wykładu napiszmy równanie, które jest słuszne dla dowolnej postaci lagrangianu, a ono nazwiemy drugą uogólnioną zasadą Lagrange'a wynikającą z zasady wariacyjnej, a ono jest w postaci Szablon:LinkWzór (podobne do wzoru Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór), a wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną przepiszmy jako Szablon:LinkWzór (podobny do wzoru Szablon:LinkWzór) zależną od lagrangianu siły zewnętrznej Szablon:Formuła, a gdy lagrangian siły zewnętrznej nie zależy od prędkości, wtedy siła uogólniona przedstawiamy jako Szablon:LinkWzór (podobny do wzoru Szablon:LinkWzór), a lagrangian całkowity Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jest sumą lagrangianu Szablon:Formuła i lagrangianu siły zewnętrznej Szablon:Formuła, czyli te wzory piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Określmy postać wzoru na siłę uogólnioną zewnętrzną dla Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz podobnego do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podobnym wzorem do Szablon:LinkWzór, więc: Szablon:CentrujWzór Czyli jak we wzorze Szablon:LinkWzór k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym siły uogólnionej zewnętrznej jest według Szablon:LinkWzór, bo tak jest na podstawie Szablon:LinkWzór, że stara siła uogólniona zewnętrzna (stare Szablon:Formuła) wynikającego ze starego Szablon:Formuła jest sumą siły uogólnionej Szablon:Formuła z Szablon:Formuła i nowej siły uogólnionej zewnętrznej (nowe Szablon:Formuła) z nowego Szablon:Formuła, co uwidaczniamy na podstawie rachunku: Szablon:CentrujWzór Stąd z Szablon:LinkWzór mamy Szablon:LinkWzór dla nowego Szablon:Formuła, stąd na podstawie Szablon:LinkWzór k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym nowej siły uogólnionej zewnętrznej Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór jest addytywny. To też można udowodnić z teorii lagrangianu: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór z teorii lagrangianu wychodzi taki sam wniosek co z Szablon:LinkWzór z teorii ruchu, stąd definitywnie siła uogólniona zewnętrzna w Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór spełnia zasadę addytywności na podstawie wniosku addytywności starej siły uogólnionej zewnętrznej wynikającej z rachunku Szablon:LinkWzór (teoria lagrangianu) oraz Szablon:LinkWzór (teoria ruchu).

Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście

By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta θ i wariacji kata φ: Szablon:CentrujWzór Wektor Szablon:Formuła jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, wtedy wzór Szablon:LinkWzór możemy zapisać w formie jako iloczyn wektorowy wariacji kąta Szablon:Formuła i wektora promienia Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta Szablon:Formuła i prędkości Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn. powinno zachodzić: Szablon:CentrujWzór Wykorzystamy teraz wzór Szablon:LinkWzór, a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia Szablon:LinkWzór i wariację prędkości Szablon:LinkWzór, w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości Szablon:LinkWzór i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim: Szablon:CentrujWzór Patrząc na równość Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość: Szablon:CentrujWzór Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków, wtedy: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia: Szablon:CentrujWzór Do wzoru końcowego Szablon:LinkWzór wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy.

• Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L.

Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej: Szablon:CentrujWzór Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym Szablon:LinkWzór, wtedy moment sił zetowy Szablon:LinkWzór możemy zapisać jako: Szablon:CentrujWzór

Masa zredukowana układu dwóch cząstek

Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej: Szablon:CentrujWzór Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania: Szablon:ElastycznyWiersz Z równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej: Szablon:ElastycznyWiersz Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór wprowadziliśmy masę zredukowaną: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych.