Mechanika teoretyczna/Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego

Układem odniesienia nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. Wektorem wodzącym nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. Ruchem nazywamy zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych.

Kinematyka

Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. Szablon:ElastycznyWiersz Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: Szablon:CentrujWzór Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: Szablon:CentrujWzór Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości Szablon:LinkWzór i drugą pochodną wektora wodzącego Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór

Przyspieszenie styczne i dośrodkowe

Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego τ do toru: Szablon:CentrujWzór Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, to według punktu Szablon:LinkWzór, mówimy: Szablon:CentrujWzór Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie Szablon:LinkWzór możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest: Szablon:CentrujWzór

Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym

Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz

Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym

Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora Szablon:Formuła względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: Szablon:CentrujWzór Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. Szablon:CentrujWzór Mając wzór Szablon:LinkWzór wyznaczmy stałe α β i γ, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Biorąc wnioski Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, a także Szablon:LinkWzór, to możemy napisać tożsamość Szablon:LinkWzór, która jest: Szablon:CentrujWzór

Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych

Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: Szablon:CentrujWzór Korzystając przy tym z definicji wektora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: Szablon:CentrujWzór Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla układu radialnego możemy przepisać: Szablon:ElastycznyWiersz

Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych

Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: Szablon:CentrujWzór Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała Szablon:LinkWzór, określamy wzorem: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór

Zasady dynamiki Newtona

Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona:

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego

Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Dowód: Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa Szablon:LinkWzór ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym.

Dowód: Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa Szablon:LinkWzór ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się.

Druga zasada dynamiki Newtona

Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: Szablon:CentrujWzór

Dowód: Udowodnijmy prawo Szablon:LinkWzór. Rozwińmy funkcję Szablon:Formuła względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość Szablon:Formuła dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą $M$ oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i Szablon:Formuła jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję Szablon:Formuła w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora Szablon:Formuła względem czasu nazwijmy siłą: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie Szablon:Formuła. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: Szablon:CentrujWzór Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór

• gdzie w Szablon:LinkWzór Szablon:Formuła, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu.

Zajmijmy się dodatkowym członem w Szablon:LinkWzór odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała Szablon:Formuła jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, czyli w takiej formie: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości Szablon:Formuła. Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór jest spełnione prawo Szablon:LinkWzór. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że Szablon:Formuła jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem Szablon:Formuła powinna być taka sama niezależna od Szablon:Formuła i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór Szablon:LinkWzór. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w Szablon:LinkWzór w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy:

Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: Szablon:CentrujWzór Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór Szablon:LinkWzór jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale Zasada zachowania momentu pędu, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór.

Dowód: Wzór Szablon:LinkWzór i addytywność momentów sił Szablon:Formuła wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji Szablon:Formuła względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna Szablon:Formuła jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności Szablon:LinkWzór oraz Szablon:Formuła jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór i definicji na moment pędu Szablon:LinkWzór, a także Szablon:Formuła jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór jest spełnione prawo Szablon:LinkWzór. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu Szablon:LinkWzór, na podstawie: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy Szablon:LinkWzór przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły Szablon:LinkWzór przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Zajmijmy się dodatkowym członem w Szablon:LinkWzór odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz Szablon:Formuła jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego Szablon:LinkWzór, czyli w takiej formie: Szablon:CentrujWzór Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że Szablon:Formuła jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna Szablon:Formuła jest tensorem bezwładności Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jest prędkością obrotową Szablon:Formuła, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w Szablon:LinkWzór w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

Szablon:CentrujWzór Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: Szablon:CentrujWzór A zatem według Szablon:LinkWzór moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej.

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą Szablon:Formuła (momentem siły Szablon:Formuła), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą Szablon:Formuła (momentem siły Szablon:Formuła).

Dowód: Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: Szablon:CentrujWzór Zera w dwóch równaniach w Szablon:LinkWzór wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: Szablon:CentrujWzór Wniosek Szablon:LinkWzór pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego).

Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych

Ruch bez działania siły

Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. Szablon:Formuła, zatem na podstawie Szablon:LinkWzór możemy napisać równanie ruchu: Szablon:CentrujWzór

Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego

Z drugiej zasady dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: Szablon:CentrujWzór Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór jako: Szablon:CentrujWzór Wielkość występująca we wzorze Szablon:LinkWzór, czyli vSzablon:Sub jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu dostając: Szablon:CentrujWzór

Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości

Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania różniczkowego Szablon:LinkWzór jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=eSzablon:Sup, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr λ. Szablon:CentrujWzór Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie Szablon:LinkWzór otrzymujemy dwa równania na λ, które są zdefiniowane jako λSzablon:Sub=0 lub λSzablon:Sub=-γ/m, zatem rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór jest funkcja położenia iksowego: Szablon:CentrujWzór

Oscylator harmoniczny

Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego Szablon:LinkWzór w postaci funkcji x=eSzablon:Sup, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy λ: Szablon:CentrujWzór Na podstawie końcowego wniosku wynikowego Szablon:LinkWzór możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: Szablon:CentrujWzór

Tłumiony oscylator harmoniczny

W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy β=γ(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. Szablon:CentrujWzór Widzimy, że częstotliwość własna układu ωSzablon:Sub jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie Szablon:LinkWzór przy oznaczeniach Szablon:LinkWzór piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Do równania Szablon:LinkWzór podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=eSzablon:Sup, otrzymujemy równanie kwadratowe: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie równania kwadratowego Szablon:LinkWzór, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: Szablon:CentrujWzór

Silne tłumienie β>ωSzablon:Sub dla oscylatora tłumionego

Rozwiązaniem równania Szablon:LinkWzór przy pomocy Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór

Słabe tłumienie drgań harmonicznych β<ωSzablon:Sub

Widzimy, ze we wzorze Szablon:LinkWzór otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego

Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona γ jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: Szablon:CentrujWzór

Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia

Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała Szablon:Formuła, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: Szablon:CentrujWzór Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako: Szablon:CentrujWzór Do równania Szablon:LinkWzór możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Co równanie Szablon:LinkWzór możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: Szablon:CentrujWzór

Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań

Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem Szablon:LinkWzór, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: Szablon:CentrujWzór Dzielimy obie strony równości Szablon:LinkWzór przez wyrażenie zależne od α i energię całkowitą kulki Szablon:Formuła i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do α, wtedy: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze Szablon:LinkWzór według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Wzór na całkę Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości Szablon:LinkWzór, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: Szablon:CentrujWzór Uwzględniając przypadek xSzablon:Sub(0)=xSzablon:Sub(0)=0 dla stanu równowagi, to dla α=U możemy jednocześnie zapisać xSzablon:Sub(U)=-xSzablon:Sub(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest: Szablon:CentrujWzór

Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii

Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: Szablon:CentrujWzór Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy tą zasadę piszemy według: Szablon:CentrujWzór

Zasada zachowania pędu

Równanie Szablon:LinkWzór opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór

Zasada zachowania momentu pędu

Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, a zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: Szablon:CentrujWzór Rónanie Szablon:LinkWzór opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych.

Energia potencjalna

Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: Szablon:CentrujWzór Z definicji rotacji możemy Szablon:LinkWzór zapisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie Szablon:LinkWzór, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: Szablon:CentrujWzór Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. Szablon:Formuła jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: Szablon:CentrujWzór Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: Szablon:CentrujWzór Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy siłami potencjalnymi , a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy siłami konserwatywnymi , a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je siłami niepotencjalnymi .

Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości

Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego Szablon:Formuła, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: Szablon:CentrujWzór Zatem energia potencjalna według pierwszej równościSzablon:LinkWzór wektora sił ciężkości definiujemy: Szablon:CentrujWzór

Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego

Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego Szablon:LinkWzór możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: Szablon:CentrujWzór Wyraz stojący po prawej stronie wzoru Szablon:LinkWzór jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt.

Trójwymiarowy oscylator harmoniczny

Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi Szablon:Formuła, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest: Szablon:CentrujWzór Energią potencjalną Szablon:LinkWzór nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły Szablon:LinkWzór względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. Szablon:CentrujWzór

Zasada zachowania energii

Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona Szablon:LinkWzór, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu Szablon:Formuła i zewnątrz Szablon:Formuła) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu Szablon:Formuła i zewnątrz Szablon:Formuła), piszemy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej Szablon:LinkWzór i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: Szablon:CentrujWzór

W obliczeniach Szablon:LinkWzór skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie Szablon:LinkWzór na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ.

Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu

Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości φ, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu Szablon:LinkWzór, wtedy możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Równanie różniczkowe Szablon:LinkWzór możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: Szablon:CentrujWzór W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu rSzablon:Sub do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru Szablon:LinkWzór i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie Szablon:LinkWzór i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór W powyższym wzorze Szablon:LinkWzór lub we wzorze Szablon:LinkWzór występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według Szablon:LinkWzór energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu.

Empiryczne Prawa Keplera

Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M.

Pierwsze Prawo Keplera

Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk. Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. Szablon:CentrujWzór Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta θ piszemy jako: Szablon:CentrujWzór

• gdzie stałe występujące we wzorze Szablon:LinkWzór, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy:

Drugie Prawo Keplera

Szablon:Rysunek Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.

Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy).

Trzecie Prawo Keplera

Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: Szablon:CentrujWzór

Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera

Szablon:Rysunek W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: Szablon:CentrujWzór Długość wektora prędkości polowej Szablon:LinkWzór piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie Δt, którego to definicja jest: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie Δt krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według: Szablon:CentrujWzór Jeśli wzór Szablon:LinkWzór podstawimy do Szablon:LinkWzór, to otrzymamy wzór Szablon:LinkWzór i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru Szablon:LinkWzór. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej Szablon:LinkWzór ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. Szablon:CentrujWzór A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu.

Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera

Szablon:Rysunek Szablon:Rysunek Prędkość polowa Szablon:LinkWzór jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem Szablon:LinkWzór. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych Szablon:LinkWzór określamy: Szablon:CentrujWzór Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta φ Szablon:CentrujWzór Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Z definicji momentu pędu Szablon:LinkWzór możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie Szablon:LinkWzór i znów wykorzystując Szablon:LinkWzór, w ten sposób możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego Szablon:LinkWzór oraz korzystając wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy podstawić do wzoru na radialną siłę FSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: Szablon:CentrujWzór Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że Szablon:Formuła, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: Szablon:Formuła, a zatem wzór na siłę radialną Szablon:LinkWzór piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi Szablon:Formuła, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: Szablon:CentrujWzór

Uogólnienie trzeciej zasady Keplera

Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem Szablon:Formuła, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe RSzablon:SuprSzablon:Sub i RSzablon:SuprSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość Szablon:Formuła, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, co otrzymamy następną parę równań określonych: Szablon:ElastycznyWiersz Ale wiadomo, że suma promieni rSzablon:Sub i rSzablon:Sub jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: Szablon:CentrujWzór Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy MSzablon:Sub>>mSzablon:Sub oraz MSzablon:Sub>>mSzablon:Sub, a także MSzablon:Sub=MSzablon:Sub=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: Szablon:CentrujWzór

Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych

Pole sił centralnych

Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego Szablon:Formuła działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Gdzie κ jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą.

Energia potencjalna w polu sił centralnych

Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną Szablon:LinkWzór znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór Szablon:LinkWzór, w takim przypadku: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: Szablon:CentrujWzór

Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach

Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem Szablon:LinkWzór, zatem całkowita energia: Szablon:CentrujWzór Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta φ względem czasu, jest: Szablon:CentrujWzór Do wzoru na energią całkowitą ciała Szablon:LinkWzór podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A teraz weźmy podstawienie: Szablon:Formuła, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: Szablon:CentrujWzór Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe Szablon:LinkWzór względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie Szablon:LinkWzór, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: Szablon:CentrujWzór Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego Szablon:LinkWzór w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną Szablon:Formuła, co dla tego punktu wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: Szablon:CentrujWzór Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. Szablon:CentrujWzór

Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach

Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej φ, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: Szablon:CentrujWzór Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie Szablon:LinkWzór podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta φ, mamy: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie Szablon:LinkWzór, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu Szablon:LinkWzór, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: Szablon:CentrujWzór

Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości ε i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru.

• Gdy Szablon:Formuła - to równaniem toru jest elipsa.
• Gdy Szablon:Formuła - to równaniem toru jest parabola
• Gdy Szablon:Formuła - to równaniem toru jest hiperbola

Pole grawitacyjne

Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły Szablon:Formuła, którego siła radialna jest określona wzorem Szablon:LinkWzór, piszemy w postaci wektorowej: Szablon:CentrujWzór

Masa grawitacyjna i bezwładna

Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona Szablon:Formuła, nazwijmy ją: Szablon:Formuła, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:Szablon:Formuła, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: Szablon:Formuła, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej Szablon:Formuła równej: Szablon:Formuła. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć Szablon:Formuła, czyli oznaczać je będziemy jako Szablon:Formuła.

Natężenie pola grawitacyjnego

Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: Szablon:CentrujWzór Korzystając z definicji siły grawitacyjnej Szablon:LinkWzór, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór

Energia ciała w polu grawitacyjnym

Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia Szablon:Formuła, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: Szablon:CentrujWzór Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: Szablon:ElastycznyWiersz A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: Szablon:CentrujWzór

Potencjał ciała w polu ciężkości

Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie Szablon:LinkWzór, jest ona określona jako: Szablon:CentrujWzór

Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego

Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór, co piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli wektor $\overrightarrow{a}$ jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia Szablon:LinkWzór będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego Szablon:LinkWzór i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem Szablon:LinkWzór, co po tych rozważaniach wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym

Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne Szablon:Formuła poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety RSzablon:Sub i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=RSzablon:Sub, Szablon:CentrujWzór Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: Szablon:CentrujWzór A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: Szablon:CentrujWzór

Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego

Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej Szablon:Formuła nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy Szablon:Formuła, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: Szablon:CentrujWzór Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór obliczeń: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór Szablon:LinkWzór, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z).

Wiadomo, że zachodzi na pewno z Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy podstawić do lewej strony równości Szablon:LinkWzór, w ten sposób: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: Szablon:CentrujWzór

Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego

Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego Szablon:LinkWzór, w wyniku obliczeń mamy: Szablon:CentrujWzór Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie Szablon:LinkWzór podstawimy do lewej strony wzoru Szablon:LinkWzór, to w ostatecznych rozrachunkach: Szablon:CentrujWzór

Cyrkulacja pola grawitacyjnego

Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy Szablon:Formuła i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest: Szablon:CentrujWzór Gdy wzór Szablon:LinkWzór, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do Szablon:LinkWzór, to w rezultacie otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Definicja natężenia pola grawitacyjnego Szablon:LinkWzór załatwia prawo Szablon:LinkWzór, który staje się tożsamością dla naszego przypadku.

Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym

Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał Szablon:LinkWzór dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem Szablon:LinkWzór, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną.

Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej

Transformacje Galileusza

Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: Szablon:CentrujWzór Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia.

Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według: Szablon:CentrujWzór Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia.

Wirująca karuzela

Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: Szablon:ElastycznyWiersz Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego φ i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu ω, te wzory napisane są: Szablon:ElastycznyWiersz Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór i we wzorze Szablon:LinkWzór pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości.

Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego

Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: Szablon:CentrujWzór Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: Szablon:CentrujWzór Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie Szablon:LinkWzór i definicji położenia w nowym układzie odniesienia Szablon:LinkWzór, określamy: Szablon:CentrujWzór W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: Szablon:CentrujWzór Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia Szablon:LinkWzór, Coriolisa Szablon:LinkWzór, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych.

Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych

Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym fakt Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać pochodną czasową wielkości Szablon:Formuła przepisując końcowy wynik obliczeń: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości Szablon:LinkWzór należy skorzystać ze wzoru Szablon:LinkWzór, gdy wektor Szablon:Formuła jest równoległy do prędkości kątowej Szablon:Formuła dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi Szablon:Formuła.