Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera

Kwantowo mechaniczne równanie Diraca zostało otrzymane z pominięciem zasady konstrukcji równania własnego. Nade wszystko, to równanie otrzymaliśmy konstruując gęstość Lagrangianu, aby otrzymać później równanie Klieina-Gordona lub Diraca.

Pierwszym krokiem do mechaniki kwantowej było zastąpienie funkcji pędu i położenia przez ich operatory co to nazywamy pierwszą kwantyzacją. Metodą podaną przez Schwingera jest zastąpienie funkcji pola Φ i ich pochodne czasowe Szablon:Formuła(w teorii Kliena-Gordona) lub ich sprzężenia (w teorii Diraca) przez ich odpowiednie operatory, tzn. Szablon:Formuła, Szablon:Formuła, których nazwijmy operatorami "położenia" i "pędu" (lub prędkości), tą procedurę nazywamy drugą kwantyzacją.

Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera

Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera. W mechanice teoretycznej wprowadzono tożsamość na nawiasach Poissona Szablon:LinkWzór, dzięki której możemy udowodnić tożsamość, którą przestawimy wzorem Szablon:LinkWzór, które jeszcze raz tutaj powtórzymy: Szablon:CentrujWzór

W mechanice kwantowej jest podobny wzór Szablon:LinkWzór, które jest to równania Ehrenfesta, które dla funkcji operatora Szablon:Formuła piszemy jako pochodna zupełna tejże funkcji względem czasu: Szablon:CentrujWzór

• gdzie: Szablon:Formuła jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.

Równania kwantowe propagacji operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór można otrzymać z równań klasycznych propagacji funkcji F Szablon:LinkWzór poprzez podstawienie według zasady: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy lagrangian, to utwórzmy o nie oznaczoną całkę działania według schematu: Szablon:CentrujWzór Naapiszmy wariancję S podanej według definicji Szablon:LinkWzór rozpisując ją według przepisu: Szablon:CentrujWzór Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór drugi wyraz znika, bo zachodzi Szablon:LinkWzór, a jego pierwszy wyraz nie znika, bo w mechanice kwantowej są to punkty ruchome, ponieważ w punktach końcowych i początkowych wariacja Szablon:Formuła nie zeruje się nigdy, natomiast w mechanice klasycznej (po pominięciu efektów kwantowych) rozważana wariacja znika, tą naszą zasadę wariacji nazywamy kwantową zasadą wariacyjną Schwingera, to wyrażenie na wariację funkcjonału S przyjmuje dla naszego przypadku postać: Szablon:CentrujWzór

Ale funkcje Szablon:Formuła patrząc na równania Szablon:LinkWzór, a także na Szablon:LinkWzór, są w postaci: Szablon:CentrujWzór

Policzmy dla dowolnej funkcji F(q) nawias Poissona: Szablon:CentrujWzór Odpowiednikiem nawiasu Poissona według Szablon:Formuła w mechanice kwantowej jest operator napisany jako Szablon:Formuła, bo Szablon:LinkWzór, zatem możemy napisać na postawie Szablon:LinkWzór, ale kwantowo. Szablon:CentrujWzór Jeśli Szablon:Formuła, to według Szablon:LinkWzór, korzystając przy okazji jednocześnie z komutacji operatorów współrzędnych położenia i pędu Szablon:LinkWzór, możemy przejść do obliczeń na liczbach ogólnych: Szablon:CentrujWzór A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia Szablon:LinkWzór są sobie równe, a więc zasada Szablon:LinkWzór jest poprawnie skonstruowane.

Dla układu cząstek zachodzi operator w mechanice kwantowej (operatorowo): Szablon:CentrujWzór A więc, jeśli Szablon:Formuła, to wariacja funkcji F napisaną wzorem Szablon:LinkWzór jest napisana według praw mechaniki kwantowej dotyczące komutacji pewnych operatorów według obliczeń: Szablon:CentrujWzór Napiszemy sobie funkcję GSzablon:Sub, która jest zdefiniowana w reprezentacji pędowej w analogii do GSzablon:Sub, którego to definiujemy w reprezentacji położeniowej podanych w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A także podamy wzór na wariację operatora Szablon:Formuła, którego definicja jest podana przy pomocy komutatora: Szablon:CentrujWzór Udowodniając wzór Szablon:LinkWzór przy pomocy nawiasów Poissona według mechaniki klasycznej można wykazać: Szablon:CentrujWzór Zamienimy nawias Poissona na komutator w Szablon:LinkWzór, według zasady Szablon:LinkWzór. W ten sposób udowodniliśmy na podstawie Szablon:LinkWzór, że wyrażenie Szablon:LinkWzór jest zupełną prawdą. A teraz zdefiniujmy nowy operator Szablon:Formuła, który można otrzymać z poprzednich operatorów Szablon:Formuła, Szablon:Formuła definiując go wedle: Szablon:CentrujWzór

Jeśli mamy funkcję F(pq), to jej wariację możemy zdefiniować wedle zasady: Szablon:CentrujWzór Według mechaniki klasycznej na nawiasach Poissona, jeśli zdefiniujemy G Szablon:LinkWzór, czyli jako sumę wyrażeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to można przejść do właściwego sedna dowodu na nawiasach Poissona: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór można przejść od wzoru Szablon:LinkWzór poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady Szablon:LinkWzór. Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja Szablon:Formuła, to możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Na podstawie dowodu Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady Szablon:LinkWzór otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.

Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona

Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej. Gęstość Lagrangianu Szablon:Formuła z definicji gęstości lagrangianu dla teorii Kleina-Gordona, która jest napisana w punkcie Szablon:LinkWzór, co jego definicję tutaj przepiszemy: Szablon:CentrujWzór Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu Szablon:LinkWzór względem współrzędnych czasoprzestrzennych: Szablon:CentrujWzór Policzmy wariacje funkcjonału δS według wzoru podanego w punkcie Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym definicję o pochodnej iloczynu: Szablon:CentrujWzór Wykonajmy częściowe całkowanie drugiego wyrażenia, który jest przestawiony we wzorze wyrażenia w Szablon:LinkWzór poprzez części względem współrzędnych przestrzennych: Szablon:CentrujWzór W powyższych obliczeniach wykorzystano, że wariacja δΦ w punktach końcowych znika względem współrzędnych przestrzennych. Wykonajmy całkowanie przez części pierwszego wyrażenia w Szablon:LinkWzór względem czasu: Szablon:CentrujWzór Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru Szablon:LinkWzór, to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji: Szablon:CentrujWzór Pierwszy składnik sumy w Szablon:LinkWzór jest to równanie relatywistyczne mechaniki kwantowej Szablon:LinkWzór i dlatego według powyższej tożsamości po skorzystaniu z tychże omówień możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór

• gdzie funkcja pola "pędu" określamy jako pochodna cząstkowa funkcji "położenia" względem czasu:

Szablon:CentrujWzór W reprezentacji pędowej, podobnie jak w Szablon:LinkWzór, definiujemy jako całkę z iloczynu funkcji położenia i wariacji funkcji "pędu" z dokładnością do stałej, którą jest odwrotność prędkości światła: Szablon:CentrujWzór Zastępując funkcję Φ przez operator położenia Szablon:Formuła, a Π przez operator pędu Szablon:Formuła, otrzymujemy wzory na operatory Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych: Szablon:ElastycznyWiersz Mając operator Schwingera Szablon:Formuła możemy napisać, że wariacja operatora Szablon:Formuła jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób: Szablon:CentrujWzór Policzmy wariancję Szablon:Formuła kładąc Szablon:Formuła, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator Szablon:Formuła, a pędu operator "pędu" Szablon:Formuła, korzystając z faktu Szablon:LinkWzór, a także Szablon:LinkWzór, jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory Szablon:Formuła i Szablon:Formuła są nawzajem przemienne. Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej. Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać Szablon:LinkWzór i udowodnić stwierdzenie Szablon:LinkWzór, który jest pewnym komutatorem, by dojść potem do tożsamości: Szablon:CentrujWzór Zdefiniujemy nowy operator Szablon:Formuła, który możemy przestawić jako sumę operatorów w reprezentacji położeniowej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i pędowej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, jako: Szablon:CentrujWzór Ogólnie mamy według zasady Szablon:LinkWzór możemy napisać wariację operatora Szablon:Formuła, którego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Podstawiając za Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i za Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór we Szablon:LinkWzór, a także przyporządkujemy za funkcję Szablon:Formuła operator położenia, czyli napiszemy jego definicję Szablon:Formuła, na podstawie Szablon:LinkWzór możemy dojść do wniosku: Szablon:CentrujWzór By tożsamość Szablon:LinkWzór była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu": Szablon:ElastycznyWiersz

Zasada wariacyjna, a pole Diraca

Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie Szablon:LinkWzór dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji ψ, korzystając z definicji funkcjonału Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Pierwszy składnik w Szablon:LinkWzór możemy rozpisać przy wykorzystaniu definicji operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Dokonajmy całkowania pierwszej całki występujące w obliczeniach Szablon:LinkWzór poprzez całkowanie przez części: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy całkowania drugiej całki występujące w obliczeniach Szablon:LinkWzór przez części, zatem: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że Szablon:Formuła znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać. Wyrażenie Szablon:LinkWzór, przy pomocy obliczeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, piszemy: Szablon:CentrujWzór Następnie wstawiamy wyrażenie Szablon:LinkWzór do wariancji funkcjonału Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór Drugi wyraz w Szablon:LinkWzór jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej Szablon:LinkWzór, to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia": Szablon:ElastycznyWiersz Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy ψ operatorem "pędu" Szablon:Formuła a ψSzablon:Sup operatorem "pędu" Szablon:Formuła, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Napiszmy zasadę wariacyjną w mechanice kwantowej Diraca przy pomocy operatora Szablon:Formuła i definicji operatora Szablon:Formuła podaną w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, który jest słuszny również tutaj przy definicji Szablon:LinkWzór, i biorąc funkcje Szablon:Formuła korzystając z założenia, że operatory Szablon:Formuła oraz Szablon:Formuła antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór wniosek: Szablon:CentrujWzór We obliczeniach Szablon:LinkWzór zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są: Szablon:ElastycznyWiersz Wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór przy pomocy Szablon:LinkWzór możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest: Szablon:CentrujWzór Dalej, gdy obierzemy inny operator Szablon:Formuła, możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór nalezy wykorzystać warunek Szablon:LinkWzór i na jej podstawie wynika też tożsamość: Szablon:CentrujWzór

Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są: Szablon:ElastycznyWiersz Wstawiamy równanie Szablon:LinkWzór do równania pola Kleina-Gordona Szablon:LinkWzór dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L. Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako: Szablon:ElastycznyWiersz Wszystkie te trzy warunki tzn. Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3: Szablon:CentrujWzór Wektor falowy, na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce: Szablon:ElastycznyWiersz Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona Szablon:LinkWzór, możemy napisać w bazie na funkcjach Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" Szablon:LinkWzór, co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując Szablon:LinkWzór względem czasu, stąd: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór uważaliśmy za pewne funkcje Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako Szablon:Formuła oraz Szablon:Formuła, którego definicję podamy najpierw dla operatora Szablon:Formuła zapisanej według tożsamości Szablon:LinkWzór zastępując przy okazji bSzablon:Sup i bSzablon:Sup przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek: Szablon:CentrujWzór A później dla operatora Szablon:Formuła zapisanej według tożsamości Szablon:LinkWzór zastępując w nim przy okazji bSzablon:Sup i bSzablon:Sup przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór mnożymy przez Szablon:Formuła, a Szablon:LinkWzór przez jednostkę urojoną Szablon:Formuła, następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy pierwszą równość układu równań Szablon:LinkWzór przez: Szablon:Formuła, a drugą przez: Szablon:Formuła, dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując: Szablon:CentrujWzór Przy obliczeniach Szablon:LinkWzór w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności: Szablon:CentrujWzór Z układu równań Szablon:LinkWzór można otrzymać układ równań na operatory kreacji Szablon:Formuła i anihilacji Szablon:Formuła w zależności od operatorów "położenia" Szablon:Formuła i "pędu" Szablon:Formuła w postaci układu dwóch równań: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz komutator Szablon:Formuła korzystając z układu równań Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu Szablon:LinkWzór, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie Szablon:LinkWzór, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji: Szablon:CentrujWzór Gdy założymy w obliczeniach Szablon:LinkWzór, że mamy Szablon:Formuła, to otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Ale gdy założymy w obliczeniach Szablon:LinkWzór, że zachodzi: Szablon:Formuła, to na pewno otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady: Szablon:CentrujWzór Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach w Szablon:LinkWzór wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów: Szablon:CentrujWzór Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach w Szablon:LinkWzór wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu: Szablon:CentrujWzór W tym rozdziale otrzymaliśmy ogólne prawa komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów, które podaliśmy z dowodami, ale innym sposobami niż w rozdziale "Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów".