Mechanika kwantowa/Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju

Według mechaniki klasycznej dwie cząstki należące do układu są rozróżnialne, nawet gdy są to cząstki jednakowego rodzaju. W mechanice kwantowej dwie jednakowe cząstki nie są rozróżnialne. Nawet wtedy, gdy początkowo funkcje falowe nie pokrywają się ze sobą (cząstki są odseparowane), po pewnym czasie te owe funkcje mogą się pokryć i ta nierozróżnialność ma sens.

Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych

Niech nasz Hamiltonian dla układu dwóch cząstek będzie: Szablon:CentrujWzór Równanie falowe dla dwóch różnych cząstek przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy przedstawienia współrzędnych obu cząstek w równania własnym dla dwóch cząstek w Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ Hamiltonian Szablon:LinkWzór jest symetryczny względem zamiany miejscami dwóch cząstek, to mamy: Szablon:CentrujWzór To równanie własne Szablon:LinkWzór na podstawie własności Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy operator wymiany cząstek, który zamienia miejscami współrzędne dwóch cząstek i jak się przekonamy istnieją dwa rodzaje funkcji, które napiszemy jako funkcję symetryczną i antysymetryczną. Działanie operatora wymiany cząstek piszemy: Szablon:CentrujWzór Podziałajmy obustronnie równanie Szablon:LinkWzór jeszcze raz operatorem wymiany cząstek, w tym celu jeszcze raz skorzystamy z równania ostatnio wspomnianego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór dla dowolnych funkcji Szablon:LinkWzór kwadrat operatora wymiany cząstek jest operatorem tożsamościowym: Szablon:CentrujWzór W celu wyznaczenia wartości własnych operatora wymiany cząstek Szablon:Formuła, napiszmy równanie własne operatora wymiany cząstek dla dwóch cząstek: Szablon:CentrujWzór Podziałajmy obustronnie równanie własne Szablon:LinkWzór operatorem Szablon:Formuła i jeszcze raz skorzystajmy z równania Szablon:LinkWzór, a także z tożsamości Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Aby powyższe równanie wynikowe było tożsamością dla dowolnego Szablon:Formuła, to kwadrat liczby Szablon:Formuła musi być jeden, czyli: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór wynika, że: Szablon:CentrujWzór Wartością własną operatora wymiany cząstek jest wartość minus jeden lub plus jeden. Mamy dwa stany symetryczny i antysymetryczny, dla tych stanów, w celu odróżnienia dwóch rodzajów funkcji, funkcję Szablon:Formuła nazwijmy funkcją symetryczną, a funkcję Szablon:Formuła nazwijmy funkcją asymetryczną, działanie operatora wymiany cząstek na te dwie rodzaje funkcji, które wspomnieliśmy, są napisane: Szablon:ElastycznyWiersz Teraz zbudujmy funkcję falową całkowicie symetryczną i całkowicie antysymetryczną, stąd można powiedzieć, że te funkcje wyglądają: Szablon:ElastycznyWiersz Operator wymiany współrzędnych (cząstek) Szablon:Formuła, którego równanie własne jest Szablon:LinkWzór przy wartościach własnych Szablon:LinkWzór komutuje z Hamiltonianem, jeśli nasz komutator jest symetryczny względem wymiany cząstek wedle Szablon:LinkWzór, a oto jego dowód: Szablon:CentrujWzór A zatem na podstawie Szablon:LinkWzór mamy związek komutacyjny: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru Ehrenfesta Szablon:LinkWzór średnia wartość operatora wymiany współrzędnych jest zachowana, jeśli jest spełniona komutacja między operatorem wymiany współrzędnych, a operatorem energii całkowitej wedle tożsamości komutacyjnej Szablon:LinkWzór, przy wspomnianych powyżej warunkach.

Przypadek układu n cząstek kwantowych

Rozważmy hamiltonian dla n cząstek jednakowych w postaci: Szablon:CentrujWzór Rozważmy funkcję falową n cząstek, zamiana miejscami dwóch cząstek z układu cząstek, która powinna zmienić najwyżej tylko znak funkcji lub pozostawiać bez zmiany znaku: Szablon:CentrujWzór Rozważmy przypadek, że zamiana cząstek jeden i trzy, to jego funkcja falowa nie zmienia znaku, a zamiana dwa i trzy zmienia znak jego funkcja falowa, zatem jeśli mamy, w pierwszym przypadku: Szablon:CentrujWzór W drugim przypadku: Szablon:CentrujWzór A zatem dochodzimy do sprzeczności. Takiej sprzeczności nie będzie, jeśli funkcja będzie całkowicie symetryczna lub całkowicie antysymetryczna. Dla układu n jednakowych i nieoddziaływających cząstek obsadzających n różnych stanów kwantowych Szablon:Formuła można utworzyć dużo funkcji całkowicie symetrycznych, ale jedną tylko funkcję antysymetryczną. Funkcje taką można zapisać za pomocą wyznacznika: Szablon:CentrujWzór