Mechanika kwantowa/Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Przedstawmy równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca. Poniższy wywód ma na celu wprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznych Diraca. Głównym zarzutem do relatywistycznych równań Kleina-Gordona w postaci zależnej i niezależnej od czasu polegał na zakwestionowaniu postaci kwadratowej równań relatywistycznej mechaniki kwantowej: Szablon:ElastycznyWiersz A zamiast równań Szablon:LinkWzór (równania niezależnego od czasu) i Szablon:LinkWzór (równania zależnego od czasu) należy włożyć natomiast równania, w których operator całkowitej energii cząstki jest w potędzie pierwszej: Szablon:ElastycznyWiersz Chcemy napisać równanie kwantowe relatywistyczne w analogii do równania Szablon:LinkWzór, wychodząc z wyrażenia na energię relatywistyczną cząstki, znana w szczególnej teorii względności jako związek energii relatywistycznej związaną z jej wartością pędu i masą spoczynkową cząstki (antycząstki), wiedząc jednocześnie, że antycząstki mają masę relatywistyczną ujemną w stosunku do cząstek, które mają dodatnią, mające ten sam pęd, co wynika z warunku linearyzacji hamiltonianu, a więc energia cząstki (z plusem) lub antycząstki (z minusem): Szablon:CentrujWzór

Linearyzacja Hamiltonianu

Będziemy tutaj przeprowadzać linearyzację operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego i z uwzględnieniem pola magnetycznego.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego

Zastępując w Szablon:LinkWzór kwadrat wektora pędu przez kwadrat operatora pędu, wtedy możemy określić operator Hamiltonianu: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu Szablon:LinkWzór zastępując przez inny zmodyfikowany operator energii, który posiada takie same wartości i funkcje własne jak operator poprzedni: Szablon:CentrujWzór Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu Szablon:LinkWzór są takie same jak dla Szablon:LinkWzór, zaraz to wyjaśnimy. Równania własne hamiltonianów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są w pewnej postaci, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem energii pierwszego równania na obie strony pierwszego równania, podobnie z drugim równaniem, to otrzymamy równania własne kwadratu operatorów hamiltonianów. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są takie same, bo zakładamy, że kwadraty tychże operatorów są sobie równe.

Podnosimy wzory operatorowe Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do kwadratu, to wtedy oba operatory po tej czynności są sobie równe, wtedy możemy otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a także z operatorami pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową: Szablon:CentrujWzór Ponieważ prawa i lewa strona tożsamości Szablon:LinkWzór oznacza to samo wyrażenie operatorowe, więc możemy je porównać, by otrzymać jakie związki operatorowe zachodzą, zatem porównujemy prawą i lewą stronę prawdziwej tożsamości wspomnianej tożsamości, ostatecznie otrzymujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Równanie operatorowe Szablon:LinkWzór możemy rozpisać, wykonując po prawej jego stronie pod potęgowanie, rozpisując coś w rodzaju iloczynu skalarnego, ale to wyrażenie nim nie jest, w postaci kwadratu sumy iloczynów odpowiednich współrzędnych operatora Szablon:Formuła i odpowiednich operatorów pędu: Szablon:CentrujWzór Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi prawej strony tożsamości Szablon:LinkWzór i wykonując je na operatorach: Szablon:CentrujWzór Po dalszych przekształceniach Szablon:LinkWzór, korzystając z definicji antykomutatorów grupując odpowiednie wyrazy występujące w nim: Szablon:CentrujWzór Porównujemy lewą i prawą stronę tożsamości operatorowej Szablon:LinkWzór, otrzymujemy, że kwadrat współrzędnych operatora Szablon:Formuła jest równy jedynce, czyli: Szablon:CentrujWzór a także wychodzą definicję antykomutatorów napisanych za pomocą współrzędnych operatora Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz Lub ogólnie można zapisać wykorzystując Szablon:LinkWzór, a także działania na antykomutatorach Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, wykorzystując te wszystkie wymienione związki, możemy zapisać ogólną tożsamość operatorową: Szablon:CentrujWzór Natomiast wiemy, że zachodzi Szablon:LinkWzór, oraz wiemy, że operatory współrzędnych pędu Szablon:Formuła i operator Szablon:Formuła komutują ze sobą. zatem możemy dojść do wniosku: Szablon:CentrujWzór Z tożsamości Szablon:LinkWzór możemy dojść do wniosku, że to równanie możemy zapisać w postaci operatorowej, którego pokrótce udowodnimy: Szablon:CentrujWzór A oto dowód tożsamości Szablon:LinkWzór, gdy zachodzi Szablon:LinkWzór, udowodnimy, że te równości oznaczają to samo: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór wychodząc z Szablon:LinkWzór dochodzimy do tożsamości operatorowej Szablon:LinkWzór. Co oznacza, że wartościami własnymi operatora Szablon:Formuła według równości operatorowej Szablon:LinkWzór są jego wartości własne w postaci liczb 1 oraz -1. Również operatory Szablon:Formuła, dla których zachodzi Szablon:LinkWzór, podobnie jak przy Szablon:Formuła posiadają one wartości własne równe 1 lub -1, bowiem można je zapisać w postaci podobnej do Szablon:LinkWzór, tylko zamiast operatora Szablon:Formuła występują odpowiednie współrzędne operatora Szablon:Formuła, zatem każda taka współrzędna tego operatora ma takie same wartości własne.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego

Napiszmy wzór na energię relatywistyczną zastępując pęd klasyczny w Szablon:LinkWzór przez różnicę pędu uogólnionego i iloczynu ładunku elektrycznego i potencjału magnetycznego, wtedy: Szablon:CentrujWzór Zastępując w Szablon:LinkWzór wektora pędu uogólnionego przez operatora pędu, wtedy możemy określić operator energii relatywistycznej cząstki: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu Szablon:LinkWzór zastępując go przez zmodyfikowaną wersję tego operatora posiadającego takie same wartości i funkcje własne: Szablon:CentrujWzór Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu Szablon:LinkWzór są takie same jak dla Szablon:LinkWzór, zaraz to wyjaśnimy. Równania własne operatorów energii relatywistycznej Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są w postaci Szablon:Formuła, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem Szablon:Formuła tych równań własnych, to otrzymamy równania własne kwadratów operatora energii relatywistycznych, które są takie same, bo kwadrat operatora Szablon:LinkWzór jest równy kwadratowi operatora Szablon:LinkWzór jak zakładamy. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są takie same. Przyrównujemy kwadrat operatora Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, by otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a także operatorze pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową: Szablon:CentrujWzór Dokonajmy dalszych obliczeń na wyrażeniu operatorowym w tożsamości operatorowej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Definicja operatorów σSzablon:Sub

Niech będą zdefiniowane nowe operatory Szablon:Formuła, który ma odpowiednie trzy współrzędne, które zapisujemy za pomocą współrzędnych operatora Szablon:Formuła: Szablon:ElastycznyWiersz

Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σSzablon:Sub w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów αSzablon:Sub

Wyznaczmy czemu jest równy operator Szablon:Formuła przy pomocy operatora Szablon:Formuła, dowiemy się, że on jest równy iloczynowi wektorowemu dwóch takich samych operatorów Szablon:Formuła wiedząc jednocześnie, że współrzędne omawianego operatora są współrzędnymi nieprzemiennymi, Jeśli definicję Szablon:Formuła przedstawimy jako: Szablon:CentrujWzór to jego współrzędne naszego operatora przedstawimy wedle: Szablon:CentrujWzór

Macierzowe przedstawienie operatorów β, αSzablon:Sub, αSzablon:Sub i αSzablon:Sub

Napiszmy wzór na operator Szablon:Formuła w zależności od macierzy jednostkowej Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Oraz napiszmy operatory Szablon:Formuła, a właściwie jego współrzędne, które przedstawiamy w postaci trzech składowych wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła): Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać ogólną postać na operator Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór

Macierzowe przedstawienie operatorów σSzablon:Sub, σSzablon:Sub i σSzablon:Sub

Mając definicje odpowiednich współrzędnych operatora Szablon:Formuła wyprowadzimy operatory Szablon:Formuła, które zdefiniowaliśmy w Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. Wyprowadzając najpierw operator Szablon:Formuła z pierwszego wspomnianego wzoru wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła): Szablon:CentrujWzór Policzmy Szablon:Formuła ze wzoru Szablon:LinkWzór znając definicję współrzędnych operatora Szablon:Formuła iksowej i zetowej wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła): Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy Szablon:Formuła ze wzoru Szablon:LinkWzór znając definicję współrzędnych operatora Szablon:Formuła iksową i igrekową, można powiedzieć wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła): Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy napisać również ogólną tożsamość na operator Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór

Komutacja operatorów αSzablon:Sub

Mamy sobie przyrównanie Szablon:LinkWzór zbadajmy czemu jest równy komutator dwóch operatorów Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór możemy napisać komutacje dwóch dowolnych operatorów Szablon:Formuła w sposób: Szablon:CentrujWzór

Antykomutacja operatorów αSzablon:Sub

Mamy sobie przyrównanie Szablon:LinkWzór zbadajmy czemu jest równy antykomutator dwóch operatorów Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymany związek Szablon:LinkWzór jest taki sam jak Szablon:LinkWzór.

Antykomutacja operatorów αSzablon:Sub z operatorem β

Weźmy sobie operator Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, wtedy napiszmy antykomutację: Szablon:CentrujWzór Jak widzimy otrzymaliśmy tożsamość operatorową Szablon:LinkWzór.

Operatory σSzablon:Sub jako operatory hermitowskie

Operatory Szablon:Formuła są to operatory hermitowskie, co można udowodnić, korzystając przy tym z tożsamości Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także z Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a dowód jego przebiega: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:CentrujWzór

Antykomutacja operatorów σSzablon:Sub

Napiszmy czemu jest równy kwadrat operatora Szablon:Formuła, ale dowód przeprowadzimy dla i=x,y,z: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór A także operatory Szablon:Formuła o róznych współrzędnych antykomutują ze sobą, co udowodnimy poniżej: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Na podstawie dowodu Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy zależność z udziałem antykomutatora dla operatorów Szablon:Formuła dla współrzędnych i-tej i j-tej: Szablon:CentrujWzór

Komutacje operatorów σSzablon:Sub

Wyznaczmy komutacje operatorów Szablon:Formuła, tzn. Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) wiedząc, że zachodzi Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzórSzablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Na podstawie dowodów Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy zależność z udziałem komutatora dla operatorów Szablon:Formuła dla współrzędnych i-tej i j-tej: Szablon:CentrujWzór Widzimy, ze komutator dwóch operatorów dowolnych Szablon:Formuła jest wprost proporcjonalny do Szablon:Formuła z czynnikiem Szablon:Formuła. Na tym kończymy dowody na współrzędnych operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, czyli operatorów Szablon:LinkWzór(Szablon:Formuła), Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła).

Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru Szablon:LinkWzór możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zakładając, że zachodzi tożsamość Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A teraz podejmować się będziemy do wyznaczenia wyrazów mieszanych, tzn. wyrazów, w których występują różne współrzędne tej samej wielkości operatorowej, w tym przypadku poniżej występując współrzędne iksowe i ikregowe: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także z Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyrażenie operatorowe Szablon:LinkWzór możemy przepisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Porównując wzór Szablon:LinkWzór z kwadratem wyrażenia Szablon:LinkWzór, wtedy przyjmijmy: Szablon:CentrujWzór Z wyrażenia Szablon:LinkWzór możemy wywnioskować, że zachodzi wzór na Szablon:Formuła w zależności od operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:Formuła, tzn. wzory Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przy przybliżeniu Szablon:Formuła, że jest to małe: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy, czy zachodzi antykomutacja pomiędzy operatowami Szablon:LinkWzór, a operatorami Szablon:Formuła, jeżeli wiadomo, że zachodzi Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy czy zachodzi i dla jakich przybliżeń komutacja operatorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła na podstawie definicji tych dwóch operatorów: Szablon:CentrujWzór Zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Ma podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór zachodzi komutacja operatorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, a więc zachodzi Szablon:LinkWzór. Powróczmy jeszcze raz do antykomutacji operatorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór mamy: Szablon:CentrujWzór Musi zachodzić w równaniach Diraca: Szablon:CentrujWzór wtedy następuje antykomutacja operatora Szablon:Formuła i Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór. Drugi wyraz w nawiasie kwadratowym w Szablon:LinkWzór na podstawie założenia Szablon:LinkWzór jest w przybliżeniu równy zero. Udowodnijmy czy trzeci wyraz w Szablon:LinkWzór jest równy w przybliżeniu zero na podstawie pewnych założeń i definicji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy dodatkowo wyrażenie, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór i odejmijmy obie strony wyrażeń Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równość: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy przepisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Zakładamy w równaniach Diraca, że zachodzi: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór trzeci wyraz w nawiasie kwadratowym w Szablon:LinkWzór jest w przybliżeniu równy zero. Napiszmy operator energii relatywistycznej na podstawie związku na Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Wartości własne operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, czyli Szablon:Formuła, a operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, czyli Szablon:Formuła, a wartości własne operatora Szablon:Formuła są 1 i -1, stąd na podstawie tego możemy napisać na podstawie definicji Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór i Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór oraz definicji wartości własnej i wektora własnego: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to przestrzeń wektorów własnych, odpowiadające danej wartości własnej operatora Szablon:Formuła, ta przestrzeń dla Szablon:Formuła jest taka sama jak dla Szablon:Formuła.

Stąd z definicji operatora Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór na podstawie wniosków Szablon:LinkWzór możemy napisać inną zmodyfikowaną wersję operatora energii relatywistycznej Szablon:Formuła w taki sposób by wartości własne i wektory własne dla obu operatorów Szablon:Formuła były takie same: Szablon:CentrujWzór Przepiszmy operator Szablon:LinkWzór w postaci wydzielając przed nawias wyrażenie Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tego możemy napisać zmodyfikowaną wersję operatora Szablon:Formuła na podstawie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A ponieważ na podstawie wzóru Szablon:LinkWzór i wzoru Szablon:LinkWzór, a także wzoru na energię ramki Szablon:LinkWzór zachodzi: Szablon:CentrujWzór Całkowity Hamiltonian jest sumą operatorów energii relatywistycznej ciała Szablon:LinkWzór, energii ramki Szablon:LinkWzór i operatora uwzględniająca energię potencjalną w polu elektrycznym, wtedy on jest równy: Szablon:CentrujWzór Operator energii mechanicznej Szablon:LinkWzór oraz na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór jest spełniony tylko dla słabych pól magnetycznych i małych zmian pola magnetycznego w przestrzeni. Hamiltonian Diraca Szablon:LinkWzór jest spełniony dla słabych i małych zmian pól magnetycznych, a matematycznie dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera.

Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych

Widzimy, że hamiltonian Szablon:LinkWzór jest zależny od potencjału wektorowego pola magnetycznego i skalarnego pola elektrycznego. Uogólnimy operator Hamiltonianu dla układu n cząstek znajdujących się wzajemnych polach potencjalnych i w polu zewnętrznym: Szablon:CentrujWzór