Mechanika kwantowa/Teoria atomu wodoru Bohra

Będziemy się tu zajmować atomem wodoru według postulatów podanych Bohra.

Teoria nierelatywistyczna Bohra atomów wodoropodobnych

Będziemy tutaj rozważali teorię Bohra atomu wodoropodobnego według mechaniki Newtona.

Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych

Załóżmy, że elektrony krążą po orbitach kołowych opisywanych przez mechanikę klasyczną, a poszczególne orbity są skwantowane . Elektron może przechodzić z jednej orbity na drugą wysyłając lub wchłaniając kwant energii.

A oto postulaty Bohra:

Postulat pierwszy :

Elektron przeskakujący z jednej orbity na drugą wydziela lub musi pochłonąć foton o energii: Szablon:CentrujWzór Według Szablon:LinkWzór foton ma częstość ν, jeśli potraktować foton jako fale, jest to kwant energii, jeśli potraktować foton jako korpuskułę według teorii korpuskularno-falowej, a każdej orbicie odpowiada pewna energia całkowita znajdującego się tam elektronu.

Postulat drugi :

Elektron porusza się po orbicie kołowej z pewną prędkością opisywaną przez mechanikę klasyczną Newtona.

Postulat trzeci :

Moment pędu elektronu na orbicie jest skwantowany i proporcjonalny do liczby kwantowej n i wynosi: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wedle wzoru pierwszego w Szablon:LinkWzór moment pędu przyjmuje pewne wartości ściśle określone i zależne od liczby kwantowej n. A wedle drugiego wzoru, jeśli mamy orbitę kołową i mamy pewne r, co jest promieniem orbity kołowej, to również też mamy pewne v, czyli prędkość cząstki krążącej na tej orbicie, zatem dochodzimy do wniosku, że promień orbity i prędkość cząstki są wielkościami dyskretnymi, a zatem też jej energia jest wielkością przyjmującą pewne wartości zależne tylko od liczby dyskretnej n.

Wyprowadzenie wzoru Rydberga

Szablon:Rysunek Siła dośrodkowa działająca na elektron ze strony jądra atomu wodoru zależy od prędkości elektronu, który się porusza wokół jądra, po orbicie kołowej, wartość tej siły jest wszędzie jednakowa na orbicie kołowej, a jej kierunek przechodzi przez środek jądra atomowego, który w tym przypadku przyjmujemy za punktowe, a zwrot jest skierowany w kierunku jądra atomowego: Szablon:CentrujWzór Siła Coulomba znana z elektrostatyki, jeśli założymy, że w jądrze skupiony jest ładunek Ze, który oddziaływuje z elektronem na orbicie o ładunku -e, jest przyciągająca w kierunku jądra atomowego, która jest jednocześnie siłą dośrodkową Szablon:LinkWzór i ma wartość zapisaną jako funkcję promienia orbity kołowej r. Szablon:CentrujWzór

Porównując te dwie siły, tzn. siłę elektrostatyczną działająca ze strony nieporuszającego się ciężkiego jądra wedle wzoru Szablon:LinkWzór, która jest niezrównoważoną siłą, ze wzorem wynikającego z mechaniki klasycznej Newtona Szablon:LinkWzór i łącząc te dwie siły, bo mają ten sam zwrot, kierunek i wartość. Szablon:CentrujWzór Mnożymy obustronnie równanie Szablon:LinkWzór przez promień orbity kołowej elektronu r, to otrzymujemy inną równoważną zależność, w której występuje na razie prędkość cząstki i promień tejże rozważanej orbity: Szablon:CentrujWzór Korzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór na skwantowany moment pędu i wyznaczamy z niego odwrotność promienia orbity kołowej, po której porusza się elektron: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy wyrażenie Szablon:LinkWzór na odwrotność promienia orbity do wzoru Szablon:LinkWzór, to dostajemy wzór, który przedstawia prędkość cząstki w zależności od liczby kwantowej w jakieś uwikłanej postaci: Szablon:CentrujWzór Teraz skracając przez wartość prędkości v z jaką elektron okrąża pewną orbitę kołową w równości Szablon:LinkWzór oraz wiedząc, że prędkość elektronu na orbicie jest wielkością niezerową, bo ona nie może być tam w spoczynku, bo inaczej spadł by na jądro atomowe: Szablon:CentrujWzór Dzieląc obustronnie wzór Szablon:LinkWzór przez masę elektronu m dostajemy wzór na jawną postać jak zależy prędkość elektronu na pewnej ściśle określonej orbicie kołowej w zależności od dyskretnej (kwantowej) liczby n, która przyjmuje wartości naturalne bez zera. Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy promień n-tej orbity z równania Szablon:LinkWzór na skwantowaną prędkość cząstki na orbicie kołowej po wyznaczeniu z niego promienia tejże orbity: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy wyrażenie Szablon:LinkWzór na kwantową prędkość elektronu krążącego na skwantowanej ściśle określonej orbicie kołowej do wyrażenia Szablon:LinkWzór wynikającego z postulatu trzeciego Bohra, to otrzymamy wyrażenie na dyskretny promień orbity: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie w równaniu Szablon:LinkWzór po krótkich przekształceniach dostajemy wzór na skwantowany promień orbity kołowej zależący od jednej liczby kwantowej n: Szablon:CentrujWzór Z definicji energii kinetycznej według mechanice klasycznej, którą zapiszemy w zależności od jego wartości prędkości, po podstawieniu za wartość dyskretną prędkości wzoru Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Teraz napiszmy energię potencjalną elektronu na orbicie, po której krąży elektron o promieniu skwantowanym r, z definicji energii potencjalnej dla pola elektrostatycznego, mamy: Szablon:CentrujWzór Podstawmy we wzorze na energię potencjalną cząstki w polu elektrostatycznym Szablon:LinkWzór za r, będące skwantowanym promienień orbity kołowej, czyli wzoru Szablon:LinkWzór, otrzymując: Szablon:CentrujWzór Wzór na całkowitą energię mechaniczną, która jest sumę energii kinetycznej wedle końcowego wzoru Szablon:LinkWzór i energii potencjalnej Szablon:LinkWzór, jest zapisana wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra jest ujemna, a więc elektron jest związany z jądrem atomowym, co przypuszczaliśmy, że tak może wyjść. Z pierwszego postulatu Bohra zdefiniowaną w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać, że długość fali jest napisana w sposób uwikłany w zależności z jakiej do jakiej orbity nasz elektron przeskakuje. Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór przedstawiający energię całkowitą fotonu, który zostaje wypromieniowany lub pochłonięty przez elektron, co stąd wyznaczamy odwrotność długości fali fotonów: Szablon:CentrujWzór Podstawiamy za ESzablon:Sub (gdy n=nSzablon:Sub) i za ESzablon:Sub (gdy n=nSzablon:Sub), czyli wzoru Szablon:LinkWzór na całkowitą energię elektronu krążącej na orbicie kołowej dla tych napisanych n do wyrażenia Szablon:LinkWzór, to dostajemy wzór na odwrotność długości fali jaki elektron wyemituje foton o tej właśnie długości: Szablon:CentrujWzór Stałą Rydberga we wzorze Szablon:LinkWzór nazywamy przepis, która jest zależna od stałych fizycznych i od masy elektronu krążącej wokół jądra atomowego o liczbie atomowej Z, przedstawiany: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując definicję stałej Rydberga Szablon:LinkWzór we wzorze Szablon:LinkWzór, to dochodzimy do wniosku, że długość fali emitowanych fotonów z atomu, przy przejściu elektronu z poziomu nSzablon:Sub na poziom nSzablon:Sub, jest równa: Szablon:CentrujWzór W wyrażeniu Szablon:LinkWzór zachodzi nSzablon:Sub>nSzablon:Sub, ale nSzablon:Sub i nSzablon:Sub, gdzie to są główne liczby kwantowe, by to nasze wyrażenie miało długość fali dodatnią, ale nie zerową. Wzór Szablon:LinkWzór przedstawia długość fali wypromieniowanej z elektronu przy przejściu z orbity wyższej na orbitę niższą bardziej korzystną energetycznie.

Serie w atomie wodoru

Szablon:Rysunek Atomem wodoru nazywamy atom o liczbie atomowej Z=1, tzn. jego jądro atomowe składa się z jednego protonu, już nie mówiąc o neutronach, czyli poniższe serie można wyznaczyć ze wzoru wynikającego z Szablon:LinkWzór dla wspomnianego Z, czyli: Szablon:CentrujWzór Dla wzoru Szablon:LinkWzór zachodzi, że: Szablon:Formuła. Można wyznaczyć poszczególne serie dla atomu wodoru, które powstają wyniku przejścia z orbity o liczbie kwantowej nSzablon:Sub do orbity o liczbie kwantowej nSzablon:Sub, zatem nazwy tych serii są:

dla Szablon:Formuła -- seria Lymana,

dla Szablon:Formuła -- seria Balmera,

dla Szablon:Formuła -- seria Paschena,

dla Szablon:Formuła -- seria Bracketta,

dla Szablon:Formuła -- seria Pfunda,

dla Szablon:Formuła -- seria Humphreysa