Mechanika kwantowa/Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

W prowadźmy pewne początkowe rozważania, które są potrzebne do wykazania, że dany operator powoduje, że jego wartość średnia pewnej wielkości względem hamiltonianu (operatora energii) jest zachowana. Jeśli mamy jakąś funkcję falową Szablon:Formuła, to po przetransformowaniu jego, po zmianie jakiegoś parametru na przykład obrót o kąt lub przesunięcie o wektor, a nawet przesunięcia w czasie można zapisać w postaci działania operatora Szablon:Formuła na stan początkowy naszego układu, tzn. przed dokonaniem pewnych operacji na nim. Szablon:CentrujWzór Średnia wartość Hamiltonianu, korzystając przy tym ze wzoru Szablon:LinkWzór w układzie wyrażoną za pomocą funkcji falowej po dokonaniu tejże operacji, wyrazimy ją za pomocą funkcji falowej przed dokonaniem tej operacji: Szablon:CentrujWzór Jeśli średnia ma być zachowana względem jakiegoś parametru bez względu na jakie operacji dokonujemy na układzie, to musi zachodzić: Szablon:CentrujWzór Zatem powinno zachodzić równanie opisujące transformację operatora Szablon:Formuła z układu po operacji do układu przez naszą operacją, czyli: Szablon:CentrujWzór A ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć operację odwrotną: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór pozwala przetransformować operator Szablon:Formuła z jednych współrzędnych do drugich przy transformacji Szablon:Formuła, jeśli ket można przetransformować według Szablon:LinkWzór. Ale nasz operator Szablon:Formuła lub Szablon:Formuła jest operatorem hermitowskim, to mamy również wyrażenie Szablon:LinkWzór, które można zapisać inaczej: Szablon:CentrujWzór Szczególnym przypadkiem operatora Szablon:Formuła może być operator Hamiltonianu, czyli: Szablon:Formuła.

Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania

Skonstruujmy operator transformacji unitarnej w postaci wygodnej dla dalszych rozważań, niech tym operatorem będzie operator zdefiniowany przy pomocy operatora Szablon:Formuła charakteryzujący naszą wielkość zachowaną na podstawie Szablon:LinkWzór, jeśli ten nasz operator nie zależy od czasu i komutacja operatora Szablon:Formuła z hamiltonianem jest równa zero, to energia układu jest zachowana względem transformacji Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór jest on operatorem unitarnym wedle definicji Szablon:LinkWzór, a oto jego dowód: Szablon:CentrujWzór Jeśli mamy operator, którego transformujemy według przepisu Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Rozłóżmy operator unitarny Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór w szereg Taylora względem wykładnika w nim występującego w operatorze Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy Szablon:Formuła (po przetransformowaniu operatorem Szablon:Formuła wstawiając operatory Szablon:Formuła wedle jego rozwinięcia Szablon:LinkWzór do wzoru na transformację hamiltonianu Szablon:LinkWzór z jednego układu do innego z primem. Szablon:CentrujWzór Weźmy pod pretekst badań wyrażenie występujące Szablon:LinkWzór, które można je prezestawić jako: Szablon:CentrujWzór

A Szablon:Formuła powinno być równe wyrażeniu zdefiniowanego za pomocą komutatorów, czyli Szablon:CentrujWzór

• gdzie S-ów jest tyle co n

Równoważność wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór udowodnimy za pomocą indukcji matematycznej. Sprawdźmy czy ta równoważność dla n=1 jest spełniona tożsamościowo. Zatem mamy dla tego "n", czyli Szablon:Formuła S-ów jest 1 czyli zgadza się, czyli dla n=1 nasze równoważność jest spełniona. Z założenia indukcyjnego, jeśli mamy Szablon:Formuła, to mamy udowodnić wyrażenie na Szablon:Formuła. W ten sposób napiszmy takie wyrażenie, które mamy wedle Szablon:LinkWzór i które jest równy temu wyrażeniu. Szablon:CentrujWzór I udowodnijmy, że Szablon:Formuła wedle twierdzenia indukcyjnego, bo udowodniamy równoważność wzorów Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór. Z wyrażenia na Szablon:Formuła i Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór W drugim wyrazie wzoru Szablon:LinkWzór zastępujemy wedle schematu Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór A zatem udowodniliśmy, że Szablon:FormułaSzablon:LinkWzór jest równe tożsamościowo wzorowi Szablon:LinkWzór. W ten sposób możemy dojść do wniosku, że równanie Szablon:LinkWzór, na podstawie udowodnionego ostatniego wzoru na W(n)Szablon:LinkWzór, wtedy równanie na Szablon:Formuła, który powstaje po przetransformowaniu Szablon:Formuła przez operator Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór względem parametru "a" przy operatorze Szablon:Formuła, jest wyrażone: Szablon:CentrujWzór

Widać z stąd, że jeśli Szablon:Formuła, to Szablon:Formuła, oznacza to, że operator Szablon:Formuła jest niezmienniczy ze względu na transformację unitarną Szablon:Formuła generowane przez hermitowski operator Szablon:Formuła.

Wiemy, że zachodzi Szablon:LinkWzór dla operatora Szablon:Formuła niezależnego od czasu, i jeśli nasz operator jest niezmienniczy, ze względu na transformacje unitarne Szablon:Formuła, to Szablon:Formuła, co oznacza: Szablon:Formuła.

Obroty, a prawo zachowania momentu pędu

Napiszmy jak wygląda transformacja obrotu w prawie zachowania momentu pędu. Transformacja odwrotna przekształcająca nowe współrzędne na stare rozważająca obrót wokół osi z, o kąt Szablon:Formuła jest napisana wedle schematu: Szablon:ElastycznyWiersz Ze wzorów transformacyjnych, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wynikają tożsamości, które bardzo łatwo możemy udowodnić: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy jak wygląda transformacja keta po obróceniu układu współrzędnych o pewien kąt, rozkładając nasz "ket" w szereg Taylora względem kąta Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Napiszmy czemu jest równa pochodna cząstkowa pewnego "keta" względem kąta Szablon:Formuła, korzystając przy tym z definicji operatora współrzędnej zetowego momentu pędu oraz ze wzorów, które wcześniej udowodniliśmy Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Operator Szablon:LinkWzór, wiedząc, że jest to pochodna cząstkowa względem parametru azymutalnego w układzie kulistym, jest równy: Szablon:CentrujWzór Definicja wzoru Szablon:LinkWzór jest tożsama z równaniem Szablon:LinkWzór.

A zatem do wzoru Szablon:LinkWzór podstawiamy tożsamość Szablon:LinkWzór do rozwiniętego "keta" względem kąta obrotu θ w szereg Taylora według wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A zatem operator transformacyjny, według szeregu Szablon:LinkWzór, który można zapisać w postaci zwartej, który działa na ket, i który jest szukanym operatorem Szablon:Formuła. Uogólnimy nasz wniosek, czyli wzór Szablon:LinkWzór na dowolną oś obrotu równoległą do wektora Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jeśli ma być spełnione prawo zachowania momentu pędu, czyli Hamiltonian ma być niezmienniczy przy transformacji generowanej przez operator Szablon:Formuła, to musi być spełniony warunek: Szablon:CentrujWzór co ma być spełnione dla dowolnego wektora Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jeśli uwzględnimy spin cząstki, jeśli jakaś cząstka posiada (np. elektrony), tzn. całkowity moment pędu jest równa sumie orbitalnego momentu pędu i spinowego momentu pędu, zatem równanie na tą wielkość zapisujemy: Szablon:CentrujWzór to dla osi "z' prawo całkowiego zachowania momentu pędu, czyli korzystając ze związku Szablon:LinkWzór, jest wyrażone przez równanie komutacyjne jako suma dwóch komutatorów: Szablon:CentrujWzór

Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu

Wcześniej wprowadziliśmy operator obrotu, a teraz wprowadźmy operator przesunięcia w przestrzeni Szablon:LinkWzór. Przy przesunięciu o dowolny odcinek pewnego układ współrzędnych, musi być spełniony warunek: Szablon:Formuła, co piszemy: Szablon:CentrujWzór Po rozwinięciu w szereg Taylora prawej strony wyrażenia Szablon:LinkWzór względem zmiennej Szablon:Formuła, wtedy działania można napisać wedle: Szablon:CentrujWzór Operator przesunięcia Szablon:Formuła, na podstawie wyrażenia Szablon:LinkWzór można przedstawić: Szablon:CentrujWzór Jeśli uogólnimy to dla wektora operatora pędu, to operator transformacji podczas przesunięcia starego układu współrzędnych o wektor Szablon:Formuła jest napisany wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Tak więc, jeśli Hamiltonian jest niezmienniczy, to komutacja hamiltonianu ze wszystkimi współrzędnymi z osobna jest równa zero, co można zapisać: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór średni pęd układu jest zachowany.

Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości

Definicja działania operatora inwersji Szablon:Formuła na funkcję falową Szablon:Formuła jest przedstawiana: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że podczas działania operatora inwersji argument naszej funkcji falowej, czyli wektor położenia Szablon:Formuła zmienia się na wartość z minusem.

Jeśli jeszcze raz podziałamy operatorem parzystości obustronnie na równość Szablon:LinkWzór, który przedstawia działanie operatora parzystości: Szablon:CentrujWzór Stąd według wyrażenia Szablon:LinkWzór, dwa razy działanie operatora inwersji na funkcję falową powoduje, że otrzymamy taką samą funkcję jak przez działaniem, zatem kwadrat operatora inwersji jest operatorem tożsamościowym, co napiszemy poniżej: Szablon:CentrujWzór Równanie własne operatora inwersji, jak każde inne równanie własne mozemy je przestawić przy pomocy jej wartości własnej: Szablon:CentrujWzór Jeśli podziałamy obustronnie operatorem inwersji ponownie na równanie własne Szablon:LinkWzór korzystając jeszcze raz Szablon:LinkWzór oraz z liniowości operatora inwersji: Szablon:CentrujWzór Aby powyższe równanie było prawdziwą tożsamością dla dowolnego Szablon:Formuła, że kwadrat operatora inwersji jest równa jeden wedle Szablon:LinkWzór, to musi na pewno zachodzić: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór wartością własną operatora inwersji, która jest wartością własną równania własnego Szablon:LinkWzór, przyjmująca dwie wartości: Szablon:CentrujWzór Operatory hamiltonianu i inwersji są operatorami inwersji komutującymi, jeśli założymy, że hamiltonian jest operatorem parzystym, tzn. Szablon:Formuła, którego dowód przeprowadzimy poniżej: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń, które przeprowadziliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór i samej definicji komutatora dostajemy, że operator całkowitej energii i operator hamiltonianu komutują ze sobą, czyli te operatory wobec siebie są przemienne: Szablon:CentrujWzór Co oznacza, że operator inwersji Szablon:Formuła i Szablon:Formuła mają jednakowe funkcje własne. Podziałajmy operatorem Szablon:Formuła na funkcję Szablon:Formuła, korzystając przy tym, że hamiltonian Szablon:Formuła komutuje z operatorem inwersji Szablon:Formuła, to otrzymamy pewne wyrażenie z funkcją Szablon:Formuła i przy nim stojącym czynnikiem Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Z powyższych obliczeń wynika własność: Szablon:CentrujWzór A więc dla p parzystych wartość własna operatora parzystości jest Szablon:Formuła, a dla p nieparzystych zachodzi Szablon:Formuła.

Napiszmy funkcję, która jest rozwiązaniem pewnego równania, która dzieli się na cześć radialną i kątową, która przy założeniu naszym musi być funkcją kulistą. Szablon:CentrujWzór Korzystając z Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz korzystając z tego że zmienna u jest równa dokładnie wyrażeniu Szablon:Formuła, a zatem napiszmy czemu jest równe to wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Gdy magnetyczna liczba kwantowa Szablon:Formuła jest większa lub równa zero, to współczynnik w równaniu Szablon:LinkWzór ma się: Szablon:CentrujWzór Gdy magnetyczna liczba kwantowa Szablon:Formuła jest mniejsza niż zero, to współczynnik w równaniu Szablon:LinkWzór ma się: Szablon:CentrujWzór Z własności funkcji sferycznych (na podstawie Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór), wynika: Szablon:CentrujWzór A teraz podziałajmy operatorem inwersji na funkcję falową zdefiniowanej za pomocą funkcji falowej zdefiniowaną wedle wzoru Szablon:LinkWzór jako iloczynu funkcji radialnej i funkcji kulistej: Szablon:CentrujWzór Według wzoru Szablon:LinkWzór (działania operatorem inwersji na funkcję falową), korzystając przy tym z równania Szablon:LinkWzór (czemu jest równe Y(180Szablon:Sup+θ,180Szablon:Sup-φ)), wtedy: Szablon:CentrujWzór Z stąd wniosek na podstawie równania Szablon:LinkWzór, który mamy na pewno, że wartość własna zależna od orbitalnej liczby kwantowej, która jest wykładnikiem potęgi o podstawie równej minus jeden: Szablon:CentrujWzór Co jest wartością własną rozwiązania operatora parzystości funkcji własnej Szablon:LinkWzór, a która z kolei jest iloczynem funkcji radialnej i funkcji kulistej YSzablon:Sub(θφ). Ponieważ operator parzystości nie zależy od czasu, a także operator całkowitej energii całkowitej (hamiltonian) (hamiltonian jest parzysty) komutuje według z nim według Szablon:LinkWzór, według wzoru Szablon:LinkWzór operator parzystości jest niezależny od czasu.