Mechanika kwantowa/Równanie Ehrenfesta

Tutaj wyznaczymy równanie Ehrenfesta dla operatora Szablon:Formuła gdy jest jakiś operator energii Szablon:Formuła(Hamiltonian) oraz zastosujemy go to cząstki w polu elektrycznym i magnetycznym o potencjale skalarnym elektrycznym Szablon:Formuła lub też innym potencjale, które ogólnie piszemy przez Szablon:Formuła, i potencjale elektrycznym wektorowym Szablon:Formuła. W szczególności potencjał magnetyczny Szablon:Formuła jest równy zero.

Równanie Ehrenfesta

Wiemy, że wartość średnia operatora Szablon:Formuła przy zadanych funkcjach falowych w mechanice kwantowej, jest zdefiniowana wzorem Szablon:LinkWzór, więc dokonajmy wyliczenia pochodnej zupełnej względem czasu tejże omawianej średniej względem czasu, tą pochodną zupełną wkładamy pod całkę po prawej stronie definicji używanej tutaj wielkości, zamieniając ją na pochodną cząstkową względem czasu wyrażenia podcałkowego, który występuje pod całką, i który to z kolei z twierdzenia pochodnej iloczynu możemy tą wielkość bardziej rozpisać: Szablon:CentrujWzór Z równania falowego zależnego od czasu wyznaczmy pochodną czasową funkcji czasowej z równania Szablon:LinkWzór, czyli te równania Szablon:LinkWzór (równanie falowe zależne od czasu) i Szablon:LinkWzór (sprzężone po zespolonemu równanie falowe zależne od czasu) podstawiamy do równania Szablon:LinkWzór, otrzymujemy inne wynikowe równanie: Szablon:CentrujWzór Korzystając z definicji komutatora równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w równoważne bardziej mniej skomplikowane równanie, którego jak widzimy, że średnia wartość danego operatora zależy od wartości średniej komutatora Szablon:Formuła i od wartości średniej pochodnej cząstkowej względem czasu operatora dla której liczymy tą średnią: Szablon:CentrujWzór Biorąc definicję wartości średniej Szablon:LinkWzór znane z mechaniki kwantowej jako postulat trzeci, to równanie na zmianę wartości średniej w czasie Szablon:LinkWzór przechodzi w równoważne równanie: Szablon:CentrujWzór Jeśli zachodzi Szablon:LinkWzór dla wartości średniej operatora Szablon:Formuła, to zmiana operatora Szablon:Formuła w czasie policzona jest jako pochodna zupełna: Szablon:CentrujWzór

Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego

Niech operator Szablon:Formuła będzie operatorem pędu Szablon:Formuła, który nie zależy od czasu, zatem policzmy komutator dla Hamiltonianu z definiowanego w Szablon:LinkWzór, gdy potencjał wektorowy magnetyczny jest równy zero: Szablon:CentrujWzór Wyliczony komutator w Szablon:LinkWzór podstawiamy do równania Szablon:LinkWzór i po krótkich przekształceniach dochodzimy do wniosku, że pochodna zupełna średniej pędu względem czasu jest równa średniej z gradientu potencjału skalarnego V(r): Szablon:CentrujWzór Powyższy średni gradient można potraktować jako definicję siłę znanej z mechaniki klasycznej Newtona: Szablon:CentrujWzór A średnią wielkość operatora pędu oznaczmy jako pęd cząstki znany z tej samej mechaniki co poprzednio i w ten sposób dostaliśmy drugie prawo dynamiki Newtona.

Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym

Niech operator Szablon:Formuła będzie operatorem pędu klasycznego Szablon:Formuła, zatem policzmy komutator dla Hamiltonianu z definiowanego w Szablon:LinkWzór, gdy potencjał wektorowy magnetyczny nie jest równy w ogólności zero: Szablon:CentrujWzór Gdzie Szablon:Formuła jest to operator prędkości. Napiszemy pochodną zupełną wartości średniej operatora pędu klasycznego czyli różnicy operatora pędu i iloczynu ładunku i potencjału elektrycznego na podstawie równania Ehrenfesta Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Siła występujące w Szablon:LinkWzór nazywamy kolejno średnią siłą magnetyczną i elektryczną (pamiętając przy okazji, że rotacja potencjału magnetycznego jest to po prostu indukcja magnetyczna), co one są równe: Szablon:ElastycznyWiersz A ponieważ średnia wartość Szablon:Formuła jest to po prostu średnia wartość operatora pędu klasycznego Szablon:Formuła. Stąd na podstawie średnich sił Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór możemy przedstawić w postaci: Szablon:CentrujWzór Co wzór Szablon:LinkWzór zgadza się z przestawieniem drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko, że prawo Szablon:LinkWzór jest dla wartości średnich, a prawa Newtona dla dokładnych.