Mechanika kwantowa/Postulat trzeci mechaniki kwantowej

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej

Jeśli równanie własne Szablon:LinkWzór ma kilka wartości własnych i funkcji własnych, to dla zmiennej wartości własnej dyskretnej, całkowitą funkcję własną ψ rozwiązania równania własnego zapisujemy w bazie funkcji własnych rozważanego równania własnego, czyli zapisujemy ją jako kombinację liniową funkcji bazy. Podobnie dla funkcji sprzężonej zespolono, które otrzymujemy z tej pierwszej kombinacji działając zespolono na jej lewą i prawą stronę. Szablon:ElastycznyWiersz Ortogonalnością funkcji własnych w bazie dyskretnej nazywamy funkcje, które spełnia przepis: Szablon:CentrujWzór Baza dyskretna jest zupełna, jeśli będziemy sumować względem wskaźnika "i" dla tej samej funkcji własnej, ale te funkcje własne są dla dwóch różnych argumentów i ta zupełność jest napisana za pomocy sumy, która jest normowana do delty Diraca, ze względu na ciągłość argumentów, przy pomocy której jest opisana funkcja własna rozwiązania równania własnego: Szablon:CentrujWzór Mając całkowitą funkcję własną i funkcję bazy dyskretnej, ale dla argumentu ciągłego x, możemy wyznaczyć współczynniki rozwinięcia w bazie korzystając przy tym z tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Korzystając przy tym ze wzoru Szablon:LinkWzór (z którego liczymy współczynniki rozwinięcia Szablon:Formuła w tej kombinacji liniowej w Szablon:LinkWzór) i z Szablon:LinkWzór (zupełność bazy dyskretnej względem argumentu ciągłego), to suma kwadratów modułów z liczby cSzablon:Sub określamy: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie normalizacji bazy dyskretnej Szablon:LinkWzór (ostatnie obliczenia w tym wzorze), która jest rozwiązaniem podstawowym w równaniu własnym Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że kwadraty modułów tych rozwinięć są unormowane do jedynki: Szablon:CentrujWzór Przekonamy się później, że |cSzablon:Sub|Szablon:Sup są prawdopodobieństwami z jakim uzyskamy wartość własną uzyskania w doświadczeniu uzyskania wartości pSzablon:Sub, w którym istnieje funkcji własna opisującej ten stan.

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej

Jeśli z równania własnego Szablon:LinkWzór mamy ciągły rozrzut jego wartości własnych, które też ma ciągłą bazę względem argumentu k i argumentu x ciągłego za pomocą, których są zbudowane te funkcje własne, to całkowitą funkcję ψ, która jest kombinacją liniową funkcji bazy ciągłej względem jej dwóch argumentów, którą można zapisać za pomocą całki, nie sumy tak jak w punkcie Szablon:LinkWzór. W ten sposób możemy otrzymać całkowitą funkcję falową i jej sprzężenie zespolone obu jego stron. Szablon:ElastycznyWiersz Ortonormalizacja funkcji własnych w bazię nazywamy funkcje z normalizowaną do delty Diraca ze względu na ciągłość bazy ze względu na argument k i jego przepis jest: Szablon:CentrujWzór Baza jest zupełna, jeśli oba funkcje są zdefiniowane za pomocą dla tego samego k, które są funkcjami własnymi pewnego równania własnego, ale dla innych argumentów przestrzennych, to jego całka jest równa delcie Diraca ze względu na ciągłość argumentu przestrzennego x. Szablon:CentrujWzór Mając całkowitą funkcję własną i funkcję bazy ciągłej możemy wyznaczyć współczynniki rozwinięcia w bazie korzystając przy tym Szablon:LinkWzór (rozwinięcie w bazie ciągłej) i Szablon:LinkWzór(ortonormalność): Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że możemy policzyć współczynniki rozwinięcia w bazie ciągłej występujących w Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Sprawdźmy czy współczynniki c(k) są unormowane do jedynki zapisując współczynniki rozwinięcia w bazie funkcji własnych wedle wzoru Szablon:LinkWzór i rozwinięcia funkcji ψ(x) w bazie ciągłych funkcji własnych względem argumentu k według równości Szablon:LinkWzór, w ten sposób możemy napisać wyrażenie, i sprawdzimy, że ona jest równa jeden. Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór, czyli normalizacji funkcji własnej rozwinięcia równania własnego Szablon:LinkWzór dochodzimy więc do wniosku, że współczynniki rozwinięcia w Szablon:LinkWzór są unormowana do jedynki: Szablon:CentrujWzór Przekonamy się później, że |c(k)|Szablon:Sup jest gęstością prawdopodobieństwa, że uzyskamy wartość własną pSzablon:Sub względem argumentu k, w której istnieje pewna funkcja własna opisującej ten stan.

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretno-ciągłej

Całkowita funkcja falowa w bazie dyskretno-ciągłej przedstawiamy w zależności od położenia w przestrzeni zwykłej i czasu, w postaci bez i z sprzężeniem zespolonym, jako: Szablon:ElastycznyWiersz Wtedy zachodzi dla bazy dyskretnej wzór Szablon:LinkWzór i oraz ciągłej przedstawienie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a wzory na współczynniki liczmy dla układy funkcji falowych dyskretnych Szablon:LinkWzór i ciągłych Szablon:LinkWzór, bo ze względu, że funkcje falowe dyskretne i ciągłe są do siebie ortogonalne, wtedy, możemy powiedzieć patrząc na formuły Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Widzimy, ze we wzorze Szablon:LinkWzór suma dyskretno-ciągła współczynników przy funkcjach falowych jako złożenie do całkowitej funkcji falowej ma sens prawdopodobieństwa lub gęstości prawdopodobieństwa, w postaci ich modułów do kwadratu.

Wartość średnia w mechanice kwantowej

Zajmować się będziemy sposobem określania średniej dla zmiennej dyskretnej i ciągłej w mechanice kwantowej. Innym sposobem na określenie wartości średniej niż w postulacie Szablon:LinkWzór jest średnia, która jest sumą wszystkich wyników uzyskanych w doświadczeniu przez liczbę tych wyników: Szablon:CentrujWzór Jeśli wynik uzyskany w wyniku doświadczenia vSzablon:Sub powtarza się nSzablon:Sub krotnie, to na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór dostajemy wzór na średnią ważoną, gdy sumą liczb wszystkich uzyskanych dla danych wyniku jest równa liczbie wszystkich uzyskanych wyników: Szablon:ElastycznyWiersz Średnia uzyskanych wyników wedle Szablon:LinkWzór możemy zapisać względem prawdopodobieństw tych wyników ωSzablon:Sub, którego definicję podamy poniżej, ale teraz tylko podamy, że jest to iloraz częstości nSzablon:Sub uzyskania wyniku vSzablon:Sub przez liczbę wszystkich uzyskanych wyników: Szablon:ElastycznyWiersz Mówiąc to samo co Szablon:LinkWzór, którą definiowaliśmy dla zmiennej dyskretnej, ale tym razem napiszmy to samo, ale dla zmiennej typu ciągłego: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:
• ρ(ξ) jest to gęstości prawdopodobieństwa znalezienia ciała o właściwościach ξ.
• v(ξ) jest to zmienna zależącego od parametru ξ, której liczymy średnią.

W szczególnym przypadku może być dla przestrzeni jednowymiarowej:

• ξ=x  i dτ(ξ)=dx

a nawet może mieć miejsce dla przestrzeni trójwymiarowej:

• Szablon:Formuła i Szablon:Formuła.

Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów

Będziemy tutaj liczyć średnie wielkości fizycznych w bazie funkcji falowych dyskretnej i ciągłej lub w tych obu.

Baza dyskretna

Jeśli mamy równanie własne w mechanice kwantowej Szablon:LinkWzór, gdy mamy tylko jedną jego wartość własną wspomnianego równania własnego: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że wartość średnia uzyskanych wyników pomiarów danej wartości jest równa wartości własnej, gdy mamy tylko jedną wartość własną.

Jeśli mamy kilka wartości własnych rozwiązania równania własnego Szablon:LinkWzór, zatem wartość średnia mierzonej wielkości na podstawie Szablon:LinkWzór (postulat trzeci) przy pomocy Szablon:LinkWzór (rozwinięcia funkcji Szablon:Formuła względem bazy dyskretnej rozwiązania równania własnego) i Szablon:LinkWzór (rozwinięcia funkcji Szablon:Formuła względem bazy dyskretnej sprzężonej zespolono rozwiązania równania własnego) oraz na podstawie ortogonalności funkcji własnych dyskretnej Szablon:LinkWzór, wartość średnia uzyskanych wyników jest równa: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór możemy zapisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Wielkość w Szablon:LinkWzór, czyli |cSzablon:Sub|Szablon:Sup można przedstawić jako prawdopodobieństwo uzyskania wartości własnej pSzablon:Sub, które uzyskujemy w doświadczeniu według wzoru Szablon:LinkWzór na średnia ważoną i która spełnia warunek Szablon:LinkWzór na normalizowalność zespolonych współczynników rozwinięcia. Formuła Szablon:LinkWzór ma sens średniej ważonej unormowanego prawdopodobieństwa.

Baza ciągła

Wartość średnia dla funkcji ciągłej według Szablon:LinkWzór (rozkład pewnej funkcji w bazie funkcji własnej, która jest rozwiązaniem pewnego równania własnego) i Szablon:LinkWzór (rozkład pewnej funkcji w bazie funkcji własnej sprzężonej zespolono, która jest rozwiązaniem pewnego równania własnego) na podstawie postulatu Szablon:LinkWzór (wartość średnia wyników uzyskanych w doświadczeniu) i warunku ortogonalności funkcji ciągłej do delty Diraca Szablon:LinkWzór przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór możemy napisać średnią wartość z wyników doświadczalnych uzyskanych w doświadczeniu uzyskując je w odpowiedni sposób wartości własne p(k), dla której liczymy tą właśnie średnią: Szablon:CentrujWzór Wielkość we wzorze Szablon:LinkWzór, czyli |c(k)|Szablon:Sup jest to gęstość uzyskania wielkości p(k) przez cząstkę w mechanice kwantowej na podstawie normalizowania tego współczynnika względem argumentu ciągłego k wedle tożsamości Szablon:LinkWzór, jego charakter statystyczny wynika z warunku Szablon:LinkWzór, która mówi o charakterze tego rozwinięcia. Formuła Szablon:LinkWzór ma sens średniej ważonej unormowanej gęstości prawdopodobieństwa.

Baza dyskretno-ciągła

Patrząc na obliczenia na średnią wartość wielkości fizycznej w bazie dyskretnej Szablon:LinkWzór i ciągłej Szablon:LinkWzór, wiedząc, że funkcje falowe dyskretne i ciągłe są względem siebie ortogonalne, wiedząc, że zachodzi w bazie dyskretno-ciągłej Szablon:LinkWzór, wtedy wzór na średnią wartość tej wielkości, przedstawiamy jako: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według przedstawienia Szablon:LinkWzór średnia wartość wielkości fizycznej w bazie dyskretno-ciągłej jest równa ich średnim w bazie dyskretnej Szablon:LinkWzór i ciągłej Szablon:LinkWzór. Formuła Szablon:LinkWzór ma sens średniej ważonej unormowanego prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa.

Interpretacja funkcji falowej

Wartością średnią Szablon:LinkWzór wielkości położenia współrzędnej iksowej liczymy, jeśli mamy uzyskane rozwiązanie ψ(x) równania własnego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Porównując to ze wzorem na średnie położenie uzyskanych wyników, których przeprowadziliśmy bardzo dużo, tzn.: Szablon:CentrujWzór To na podstawie wzoru na średnie położenie cząstki w mechanice kwantowej Szablon:LinkWzór i dla statystycznego średniego położenia cząstki Szablon:LinkWzór i porównując te dwa ostatnie wzory, dostajemy, że wartość średnia znalezienia cząstki w danym punkcie jest przedstawiona za pomocą kwadratu modułu funkcji falowej w reprezentacji położeniowej: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy do wniosku, że kwadrat modułu funkcji własnej rozważanego równania własnego przedstawia się jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie iksowym x.

Dla przestrzeni trójwymiarowej podobnie jak u Szablon:LinkWzór dostajemy, że wartość średnią położenia przestawiamy: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzórwielkość Szablon:Formuła jest to gęstość prawdopodobieństwa uzyskania położenia przez daną cząstkę o wektorze wodzącym Szablon:Formuła. A infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania przez daną cząstkę danego położenia jest określone: Szablon:CentrujWzór

Reprezentacja położeniowa i pędowa

Mając wektory Szablon:LinkWzór bazy pędowej, którego rozwiązaniem równania własnego Szablon:LinkWzór przy pomocy pędowego operatora iksowego Szablon:LinkWzór, które to funkcje własne numerowane są ciągłym skalarem paraametrem k oraz mając współczynniki rozwinięcia c(k), to możemy policzyć całkowitą funkcję względem ciągłej bazy pędowej, tylko od położenia x, według Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Oraz znając funkcję całkowitą i wektory bazy pędowej można policzyć współczynniki rozwinięcia wedle wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór W powyższych obliczeniach parametr k jest to liczba falowa przedstawiona wedle wzoru Szablon:LinkWzór. Średnia wartość pędu jest zapisana kwantowo według równania Szablon:LinkWzór, mając wzory Szablon:LinkWzór (rozwinięcia funkcji Szablon:Formuła w bazie funkcji pędowych) i Szablon:LinkWzór (warunku normalizacji), to średnia wyników uzyskania poszczególnych pędów w układzie jest wyrażona w reprezentacji pędowej: Szablon:CentrujWzór W reprezentacji pędowej średnia wartość pędu, wykorzystując przy tym Szablon:LinkWzór (przedstawienia pędu cząstki względem jej liczby falowej względem teorii korpuskularno falowej), jest równa: Szablon:CentrujWzór Doszliśmy do wniosku, że w tej reprezentacji miano funkcji własnej spełniają współczynniki rozwinięcia c(k), a miano operatora położenia spełnia operator mnożenia pędu p(k)⋅.

Teraz określmy średnie położenie iksowe w reprezentacji pędowej, korzystając przy tym Szablon:LinkWzór (zupełność bazy pędowej) Szablon:LinkWzór (wyliczenia współczynników funkcji c(k) w bazie pędowej), to średnie położenie cząstki w reprezentacji położeniowej zapiszmy w reprezentacji pędowej wedle poniższego przedstawienia: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując Szablon:LinkWzór (zamiany liczby falowej na pęd cząstki) otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór A zatem średnie położenie w reprezentacji pędowej wedle obliczeń Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z tożsamości Szablon:LinkWzór, jest wyrażona w sposób: Szablon:CentrujWzór

Widzimy, że średni pęd w reprezentacji pędowej zachowuje się jak średnia wartość położenia w reprezentacji położeniowej, a średnie położenie w reprezentacji pędowej zachowuje się podobnie jak średni pęd cząstki w reprezentacji położeniowej.

Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości

Określmy pewną całkę jawnie nieujemną z definicji kwadratu modułu, którego wartość jest zawsze dodatnia: Szablon:CentrujWzór Określmy definicję pewnych stałych w postaci całek względem pewnego parametru opisującej ten stan przy pomocy funkcji u i v: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie definicji całek Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór napiszmy wyrażenie Szablon:LinkWzór w skróconej formie używająć tych stałych: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyróżnik trójmianu równania kwadratowego Szablon:LinkWzór, które jest zawsze nieujemna, zatem ten wyróżnik ma wartość niedodanią lub równą zero, bo powyższe równanie kwadratowe w tej nierówności miało jeden albo zero pierwiastków: Szablon:CentrujWzór Z nierówności Szablon:LinkWzór wyznaczmy iloczyn stałych a i c, dochodzimy do wniosku, że: Szablon:CentrujWzór Obierzmy definicję funkcji u i v poprzez pewne operatory działające na pewne funkcje falowe przy definicjach stałych "a", "b" i "c": Szablon:ElastycznyWiersz Następnym krokiem jest wykorzystanie wyrażenia Szablon:LinkWzór korzystając z definicji stałych Szablon:LinkWzór("a"), Szablon:LinkWzór("b") i Szablon:LinkWzór("c"), a także korzystając z definicji funkcji Szablon:LinkWzór("u") i Szablon:LinkWzór("v"), zatem nasza nierówność Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Ponieważ mamy doczynienia z operatorami hermitowskimi Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, to z korzystamy z definicji sprzężenia hermitowskiego tych operatorów oraz jeśli także skorzystamy z definicji komutatora dla wyrażenia pod nawiasem w całce dostajemy, że: Szablon:CentrujWzór Nierówność Szablon:LinkWzór możemy zapisać, wykorzystując przy tym, że operatory Ω i Θ są operatorami hermitowskimi, tzn. spełniają warunek Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Korzystając z definicji wartości średnich dla mechaniki kwantowej Szablon:LinkWzór, to można wyrażać średnie kwadratowe odchylenia tych wartości od wartości średnich w sposób: Szablon:ElastycznyWiersz A zatem ostatecznie zasadę Heisenberga Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym Szablon:LinkWzór (średnie odchylenie od wartości średniej Szablon:Formuła) i Szablon:LinkWzór (średnie odchylenie od wartości średniej Szablon:Formuła), możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Jeśli oznaczymy kolejno kolejno za pierwszy operator Szablon:Formuła operator położenia, a za drugi operator Szablon:Formuła operator pędu: Szablon:ElastycznyWiersz Korzystając przy tym z definicji operatorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz z policzonego komutatora Szablon:LinkWzór pędu i operatora współrzędnej położenia, to komutator operatorów Ω i Θ możemy zapisać w formie: Szablon:CentrujWzór Mając definicję operatora Szablon:Formuła i Szablon:Formuła i obliczony komutator Szablon:LinkWzór, wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Pierwiastkujemy obie strony nierówności Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy inne, ale równoważne do poprzedniego wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Według powyższego wzoru istnieje nieoznaczność położenia i pędu, czyli jeśli pęd zmierzymy z dokładnością nieskończenie małą, to w takim razie nie można zmierzyć położenia, bo jest ono w tym przypadku dowolne, i oczywiście zachodzi też odwrotnie, tym razem względem położenia.