Mechanika kwantowa/Podstawy mechaniki kwantowej

W tym rozdziale przedstawimy podstawowe prawa mechaniki kwantowej będące podwalinami tejże teorii.

Zasada Huygensa

Zasada Huygensa mówi, iż punkt (żółte kropki), do którego dotarła rozchodząca się fala, jest znów źródłem nowych fal. Poszczególne fale ulegają superpozycji, oznacza to, że ich odchylenia od stanu normalnego dodają się jak liczby zespolone, jako w bazie dyskretnej Szablon:LinkWzór i ciągłej Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Albo w bazie dyskretno-ciągłej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ogólnie superpozycję dowolnej liczby fal zakładając, że Szablon:Formuła określa funkcję falową znalezienia cząstki w fali prawdopodobieństwa, wiedząc, że bazę funkcji wszystkich Szablon:Formuła, które są wykorzystane w Szablon:LinkWzór, można znormalizować, bo one tworzą przestrzeń liniową tych wersorów bazowych, a więc Szablon:LinkWzór można zapisać w funkcjach bazy: Szablon:CentrujWzór Lub w postaci ciągłej, tzn. gdy parametr charakteryzujący poszczególne fale jest wielkością ciągłą: Szablon:CentrujWzór Lub mówiąc inaczej w Szablon:LinkWzór (suma) i Szablon:LinkWzór (całka) normalizujemy funkcje falowe (tutaj nazwiemy je bazowymi) do siebie ortogonalne (w mechanice kwantowej są tylko takie), wtedy przy funkcjach falowych pojawiają się współczynniki w sumie (baza dyskretna) i całce (baza ciągła), takie, by końcowa uzyskana funkcja była równoważna z tą początkową. Stąd zgodnie z zasadą Huygensa końcowe równanie Szablon:LinkWzór w bazie dyskretnej i Szablon:LinkWzór w bazie ciągłej, a także Szablon:LinkWzór w bazie dyskretno-ciągłej, spełniają mechanikę kwantową, w której te wnioski są przyjęte jako postulat o funkcjach falowych. Jeśli założymy, iż wielkość Szablon:Formuła jest skalarem, a Szablon:Formuła jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, to Szablon:Formuła, wówczas ostatnie równanie będzie miało postać następującą: Szablon:CentrujWzór Gdy funkcja falowa jest sumą części dyskretnej opisanej wzorem Szablon:LinkWzór i ciągłej Szablon:LinkWzór, wtedy końcowe równanie na całkowitą funkcje falową, wiedząc, że funkcja falowa dyskretna i ciągła są do siebie ortogonalne: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli założymy, iż wielkość Szablon:Formuła jest skalarem, a Szablon:Formuła jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, to Szablon:Formuła, wówczas ostatnie równanie będzie miało postać następującą: Szablon:ElastycznyWiersz Łatwo zauważyć, że tożsamość Szablon:LinkWzór wynika bezpośrednio z Szablon:LinkWzór.

Dualizm korpuskularno-falowy

Dualizm korpuskularno-falowy jest cechą obiektów fizycznych, np. fotonów czy elektronów, polegającą na tym, iż w pewnych sytuacjach wykazują one cechy cząstek (korpuskuł), a w innych sytuacjach cechy fal. Mechanika kwantowa, przewiduje, iż cząstka nie musi zachowywać się tylko i wyłącznie jak fala czy cząstka, lecz może jednocześnie spełniać cechy stanu pośredniego. Wówczas nie należy stosować ani teorii Huygensa (teoria fal), ani mechaniki klasycznej (teoria Newtona lub Einsteina w zależności od prędkości cząstki klasycznej), lecz w tym celu należy posłużyć się mechaniką kwantową (klasyczną lub relatywistyczną, w zależności od wartości prędkości, jaką taka cząstka posiada).

Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali

Wiadomo, że fotony są cząstkami o charakterze korpuskularnym. Według teorii Plancka energię takiego fotonu zapisujemy jako funkcję jej częstości zdefiniowanej jako odwrotność jej okresu drgań. Jeśli fotony przyjmiemy jako fale, to energia cząstki wiążąca jej charakter korpuskularny z jej charakterem falowym jest przedstawiana według zależności skwantowanej: Szablon:CentrujWzór Jeśli zdefiniujemy częstotliwość kołową fali fotonów jako stosunek liczby 2π przez okres drgań omawianej fali, to jego energię w zależności od jej częstotliwości kołowej drgań o stałej proporcjonalności równej stałej kreślonej Plancka jest zdefiniowana jako Szablon:Formuła, ta energia korpuskułów będących fotonami jest równa: Szablon:CentrujWzór Zatem na podstawie Szablon:LinkWzór energią fotonu z jej częstotliwością kołową jest przedstawiana wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Należy pamiętać, że wzory Szablon:LinkWzór (wiążących energię korpuskułu z jej częstością przy stałej proporcjonalności stałej Plancka) i Szablon:LinkWzór (wiążących energię korpuskuły z jej częstotliwością kołową przy stałej proporcjonalności stałej kreślonej Plancka) są ze sobą równoważne, tylko ten pierwszy wyraża się poprzez częstość fali fotonów, a drugi przez częstotliwość kołową fali fotonów.

Efekt fotoelektryczny

Szablon:Rysunek W efekcie fotoelektrycznym fotony o energii Szablon:Formuła (bo Szablon:LinkWzór) trafiają na ekran o pracy wyjścia W, i wybijają z niego elektrony o prędkościach v. Część energii takiego fotonu o tej średniej energii jest marnowana na pracę wyjścia elektronu z metalu, a pozostałość na energię kinetyczną wybitego obiektu, zatem korzystając z zasady zachowania energii i z wyrażenia na klasyczną energię kinetyczną elektronu, to z zasady zachowania energii mamy wzór: Szablon:CentrujWzór Energię kinetyczną rozpatrujemy według mechaniki klasycznej a nie relatywistycznej, bo energia średnia takiego fotonu nie jest o wiele większa od energii spoczynkowej rozważanego elektronu.

Fale de Broglie'a

Energia fotonu w zależności od jej częstości fali fotonów jest tak jak we wzorze Szablon:LinkWzór. Według wzoru Szablon:LinkWzór energia fotonu jest zależna liniowo od jego częstości fali fotonów, jeśli potraktować fotony jako fale mający pewną długość fali pędzących z prędkością fazową c, a więc mających pewną częstość. Według szczególnej teorii względności jego energia całkowita względem jej masy relatywistycznej (foton nie ma masy spoczynkowej, jego masa spoczynkowa jest równa zero) można przedstawić jako cząstki pędzące z prędkością grupową c napisaną według: Szablon:CentrujWzór Wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przedstawiają tą samą energię fotonu, raz jako fale pędzące z prędkością fazową równą c, a za drugim razem jako cząstki pędzące z prędkością grupową c, więc możemy je przyrównać do siebie, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Wiemy, z definicji częstości dla fotonów pędzących z prędkością światła (prędkość fazowa), co można ją przedstawić od długości fali światła pędzących z prędkością światła: Szablon:CentrujWzór Podstawiając wzór Szablon:LinkWzór przedstawiający częstość fali fotonów w zależności od długości fali tegoż obiektu do Szablon:LinkWzór, to dostajemy równoważne równanie: Szablon:CentrujWzór Skracając obustronnie równanie Szablon:LinkWzór przez stałą prędkości światła w próżni c, to ono przyjmuje postać wiążącą długość fali fotonów w zależności o jej masy relatywistycznej: Szablon:CentrujWzór Ponieważ pęd fotonu jest wyrażony według wzoru Szablon:Formuła występującą w szczególnej teorii względności dla cząstek bezmasowych, to wzór na pęd fotonu możemy wykorzystać do wzoru Szablon:LinkWzór podstawiając za tą wielkość, by otrzymać pęd fotonu w zależności od długości fali fotonów pędzących z prędkością światła, zatem: Szablon:CentrujWzór Z równania de Broglie'a Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć długość fali fotonów, która jest przedstawiana w zależności od pędu fotonów, wtedy: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest słuszne tylko dla fotonu (dla cząstek nie mającej masy spoczynkowej i ładunku), ale można je uogólnić dla dowolnej cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera dla cząstek mających ładunek Szablon:Formuła, czyli zachodzi: Szablon:Formuła, wtedy oznaczenia dla równania Szablon:LinkWzór dla dowolnej cząstki:

• Szablon:Formuła- to jest pęd uogólniony relatywistyczny lub nierelatywistyczny cząstki,
• Szablon:Formuła- stała Plancka,
• Szablon:Formuła- długość fal materii de Broglie dla dowolnej cząstki, jeśli potraktować cząstki masowe lub fotony jako fale o pewnej długości fali i prędkości fazowej.

Zapiszmy pęd uogólniony cząstki w zależności od jej liczby falowej znając jej definicję oraz stałą kreśloną Plancka: Szablon:CentrujWzór Zatem pęd uogólniony cząstki jest napisany w zależności od wartości liczby falowej: Szablon:CentrujWzór Ale wiadomo, że wektory Szablon:Formuła (pęd uogólniony cząstki) i Szablon:Formuła (wektor liczby falowej) są współliniowe i mają te same zwroty), to równanie Szablon:LinkWzór wektorowo możemy zapisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Oczywiste jest, że wzór skalarny Szablon:LinkWzór wynika ze wzoru wektorowego Szablon:LinkWzór. Napiszmy wzór na energię mechaniczną cząstki znanego z mechaniki klasycznej przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór. Energia kinetyczna z definicji jest ona wyrażona przy pomocy pędu klasycznego danej cząstki . Jeśli wektor pędu uogólnionego wyrazimy przy pomocy wzoru wektorowego, czyli równania Szablon:LinkWzór, to jego energia mechaniczna w zależności od liczby falowej przy istnieniu potencjału magnetycznego, jeśli potraktować cząstki jako fale materii o pewnej długości Szablon:Formuła, zapisujemy dla teorii Newtona w postaci: Szablon:CentrujWzór A dla teorii Einsteina: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wzór na energię mechaniczną jest zależny od masy ciała, liczby falowej jeśli traktować cząstki jako fale de Broglie'a, ładunku cząstki oraz potencjału elektrycznego i magnetycznego.

Ciało doskonale czarne według Plancka

Foton jest bozonem więc w dowolnym stanie może znajdować się Szablon:Formułafotonów, a więc energia tych fotonów w tym stanie jest skwantowana tzn. jest zależna od całkowitego współczynnika Szablon:Formuła i częstości fotonów, jeśli potraktować je jako fale, przedstawia się jako Szablon:Formuła powstająca po pomnożeniu przez Szablon:Formuła energii pojedynczego fotonu Szablon:LinkWzór i oznaczamy ją przez Szablon:Formuła: Energia fotonów w dowolnym stanie, tzn. Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór jest wielokrotnością energii podstawowej Szablon:Formuła według postulatu Plancka, ta energia fotonu jest zależna liniowo od częstości fali fotonów. Prawdopodobieństwo, że cząstki (fotony) mają energię Szablon:Formuła jest określona przez wzór Boltzmanna w zależności od temperatury w jakim układ się on znajduje: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór energia danego poziomu ESzablon:Sub jest napisana przez równanie Szablon:LinkWzór. Średnia energia fotonu opisana jako średnia energia fotonu w układzie wyrażona przy pomocy prawdopodobieństwa danego stanu o numerze n określonej przez wzór Szablon:LinkWzór jest pisana: Szablon:CentrujWzór gdzie:

• Szablon:Formuła, bo Szablon:Formuła

Obierzmy wielkość, która zależy od temperatury układu i energii podstawowej stanu podstawowego (n=1) zależąca tylko od częstości fali fotonów w jakim może znajdować się bezmasowy foton: Szablon:CentrujWzór Średnia energia fononu w układzie napisana jest według Szablon:LinkWzór, co po podstawieniu do niego Szablon:LinkWzór, który jest zależny od temperatury układu i jego stanu podstawowego E, a to z kolei jest zależny od częstości fotonu znajdujących się w naszym rozważanym układzie: Szablon:CentrujWzór Wiadomo z analizy matematycznej, że zachodzi tożsamość wynikająca z własności szeregu potęgowego, bo eksponens eSzablon:Sup tworzy pewnego rodzaju szereg potęgowy o ilorazie eSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór możemy wykorzystać do policzenia mianownika wyrażenia Szablon:LinkWzór. Zróżniczkujemy obustronnie równanie Szablon:LinkWzór względem xSzablon:Sub, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Tożsamość Szablon:LinkWzór możemy użyć do policzenia licznika równania Szablon:LinkWzór. Po podstawieniu tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do wzoru Szablon:LinkWzór oraz wykorzystując podstawienie Szablon:LinkWzór dostajemy wzór na średnią energię fotonu o danej częstości w układzie: Szablon:CentrujWzór A zatem średnia energia całkowita fotonu w układzie jest zależna od jej częstości i temperatury układu fotonów, jest wyrażona według wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zakładamy, że mamy sześcian o boku L, którego wartość odchyleń amplitud fali fotonów na brzegach sześcianu jest jednakowa i równa zero: Szablon:CentrujWzór Ponieważ wektor liczb falowych nieujemnych Szablon:Formuła jest wektorem równoległym do wektora Szablon:Formuła, także Szablon:Formuła jest to kwadrat długości fali fotonów, te wspomniane wektory również mają ten sam zwrot, zatem mając wyrażenie Szablon:LinkWzór podnosimy je do kwadratu, to z definicji iloczynu skalarnego dla wektorów mających ten sam kierunek i zwrot: Szablon:CentrujWzór Promień naszej kuli jest wyrażony według Szablon:LinkWzór, w której są pewne wartości nSzablon:Sub, która jest zależna od jakieś długości fali jaką foton może posiadać: Szablon:CentrujWzór Ale musi zachodzić nSzablon:Sub≥0, aby ten warunek był spełniony musimy rozważyć Szablon:Formuła sfery o grubości dR, jeszcze trzeba uwzględnić to, że foton ma spin 1, który występuje w dwóch stanach, zatem liczba stanów, których może znajdować się foton o częstości podstawowej ν w danej objętości V, jest zapisana wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Energia fotonów wypromieniowana na jednostkę czasu, objętości i jego częstości, o średniej energii Szablon:Formuła, zależy od częstości, zatem moc wypromieniowania z układu fotonu o danej częstości fotonów jest równa: Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmować będziemy fizykę klasyczną, to średnia energia fotonu dla jednego kierunku jest zapisana jako energia zależna tylko od temperatury układu kwantowego liczona z rozkładu Boltzmanna: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór, który jest wzorem na średnią energię fotonu podstawiamy do Szablon:LinkWzór, co wtedy: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór nazywamy wzorem Rayleigha-Jeansa. Z tego wzoru wynika nieskończoną wartość rSzablon:Sub dla ν bardzo dużego, co nazywamy katastrofą ultrafioletową. Gdy przyjmować będziemy według Plancka, tzn. podstawiając za średnią energię wzór Szablon:LinkWzór zależny nie tylko od temperatury układu, ale też od częstości fotonów wypromieniowaną z układu, to moc wypromieniowana z układu jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Gdy uwzględnimy "h" bardzo małe, czyli matematycznie mówiąc h→0, to wzór Szablon:LinkWzór przechodzi w równanie: Szablon:CentrujWzór Czyli po tych zabiegach dochodzimy znów do wzoru Rayleigha-Jeansa wyprowadzonej w pozycji Szablon:LinkWzór. Dla dużych częstości, tzn.:ν»0, to wzór Szablon:LinkWzór, w którym eksponens występujący w mianowniku staje się bardzo duży w stosunku do jedynki, zatem tą jedynkę występującą w mianowniku możemy pominąć, co staje się jasne: Szablon:CentrujWzór Wzór Wiena Szablon:LinkWzór możemy również otrzymać z Szablon:LinkWzór, podstawiając do niego za średnią energię fotonu iloczyn energii fotonu Szablon:LinkWzór i ilości fotonów wynikających z rozkładu Boltzmanna, wiedząc, że potencjał chemiczny w nim jest równy zero Szablon:Formuła.

Prawo Stefana-Boltzmanna

Całkowita energia wypromieniowana przez ciało doskonale czarne o wszystkich możliwych częstości liczona jest przy pomocy wzoru wyrażenia dla jednej częstości, która jest przedstawiona przez wzór Szablon:LinkWzór, jest to całką mocy promieniowania dla wszystkich częstości fotonu w jakim występuje foton na jednostkę objętości: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór dokonaliśmy podstawienia w końcowym wyniku: Szablon:CentrujWzór Jest ona zależna od stałych fizycznych, tzn. od stałej Boltzmanna (Szablon:Formuła), stałej prędkości światła w próżni (Szablon:Formuła), stałej Plancka (Szablon:Formuła) i jednej stałej matematycznej Szablon:Formuła. Całkowita energia na jednostkę objętości jest zapisana według wzoru: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór stała σ została wyjaśniona w punkcie Szablon:LinkWzór. Powyższe wyrażenie jest zależne od czwartej potęgi temperatury T (wyrażonej w kelwinach) przy stałej proporcjonalności Szablon:LinkWzór, jest to moc wypromieniowana przy ciało doskonale czarne przy wszystkich możliwych częstościach na jednostkę objętości.

Prawo przesunięć Wiena

Wyznaczmy dla jakich ν funkcja rSzablon:Sub wzór Szablon:LinkWzór (rozkład Placka ciała doskonale czarnego) przyjmuje maksimum dla danej temperatury T układu, czyli dla jakich ν, natężenie promieniowania jest największe, czyli matematycznie mówiąc maksimum występuje, gdy pochodna natężenia promieniowania na jednostkę objętości w rozkładzie Plancka jest równa zero, czyli musimy policzyć pochodną wyrażenia Szablon:LinkWzór względem częstości fotonów z jakich może drgać fala, jeśli przyjmować, że fotonowi odpowiada pewna fala według teorii korpuskularno-cząsteczkowej: Szablon:CentrujWzór Wartość zerową przyjmuje licznik wyrażenia Szablon:LinkWzór a mianownik jest nierówny zero dla niezerowych częstości promieniowania wypromieniowanego z układu dla dowolnej skończonej temperatury większej od zera, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Dzielimy równanie Szablon:LinkWzór obustronnie przez kwadrat częstości fotonów νSzablon:Sup, także wiemy, że w ogólności częstość fali fotonów jest różna od zera, zatem dochodzimy do wniosku, że: Szablon:CentrujWzór Obierzmy podstawienie we wzorze Szablon:LinkWzór, tzn. za wielkość zależną od temperatury układu i częstości fali fotonów wypromieniowaną z układu o maksymalnym natężeniu, która jest wielkością bezwymiarową, czyli dokonajmy podstawienia: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór po podstawieniu do niego wielkości bezwymiarowej Szablon:LinkWzór przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Rozwiązując równanie Szablon:LinkWzór numerycznie dla x≠0, w których jest ściśle określone x, a zatem jeśli mamy x, to ze wzoru Szablon:LinkWzór dostajemy równanie po wyznaczeniu częstości zależącej od x i od temperatury układu: Szablon:CentrujWzór Wiemy jednak, że częstość fali jest zależna od odwrotności długości fali fotonów w sposób: Szablon:Formuła oraz przyjmujemy, że fotony będziemy przyjmować jako fale o długości λ rozchodzących się z prędkością fazową c, wtedy: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór widzimy, że czym większa temperatura układu, to jest mniejsza długość fali promieniowania o największej mocy wypromieniowana z układu. A zatem z równania Szablon:LinkWzór, dostajemy następne równoważne równanie: Szablon:CentrujWzór Iloczyn długości fali promieniowania o największej mocy z układu przez temperaturę układu jest wielkością stałą i niezależną od innych parametrów charakteryzujących układ.

Paczki falowe w nowej teorii kwantów

Paczka falowa inaczej zwany pakiet falowy, jest to fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach kołowych według zasada Huygensa . Szablon:Rysunek Aby w tym celu usunąć całkowitą lokalizację cząstki a jej delokalizacją wprowadza się funkcję falową opisującą falę płaską o długości fali zależnej od jej liczby falowej, która też charakteryzuje falę w sposób: Szablon:Formuła propagującą się w kierunku osi x, którą można przedstawić w postaci: Szablon:CentrujWzór Wykorzystajmy wzór Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, to wyrażenie (funkcję falową) Szablon:LinkWzór zapisujemy jako funkcję energii cząstki o ściśle określonym pędzie, gdy ona znajduje się w położeniu x i w czasie t, która przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Wprowadźmy superpozycję fal o liczbach falowych z przedziału (kSzablon:Sub-Δk,kSzablon:Sub+Δk) o różnych amplitudach przy pomocy liczb funkcji falowych z definiowanych wedle schematu Szablon:LinkWzór i obierzmy jego całkę po omawianych zakresie zmienności liczby falowej k. Szablon:CentrujWzór Rozłóżmy w szereg Taylora częstotliwość kołową drgań cząstki względem funkcji falowej fali k naszej rozważanej fali płaskiej i napiszmy ten nasz szereg Taylora do drugiego rzędu wyrazy włącznie, a dalsze wyrazy oznaczamy wielokropkami: Szablon:CentrujWzór Zakładamy, że jest małe odchylenie zmiennej k od punktu kSzablon:Sub, to w wyrażeniu Szablon:LinkWzór wyrazy kwadratowe i wyższe pomijamy, wtedy w wyrażeniu Szablon:LinkWzór, w którym będziemy zakładać, że C(k) słabo zależy od k w tymże rozważanym przedziale zmienności k, zatem możemy przejąć w przybliżeniu, że zachodzi C(k)≈C(kSzablon:Sub), wtedy je piszemy: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń występujących w ostatnich dokonanych operacjach na formułach, otrzymujemy ostateczny wzór dla paczki falowej, która jest superpozycją fal prostych o bardzo małym zakresie zmienności wartości stałej falowej k wokół liczby falowej kSzablon:Sub, wtedy: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór przedstawia pewną paczkę, która jest superpozycją różnych fal o małym zakresie zmienności liczby falowej wokół punktu kSzablon:Sub, którego wykres w czasie jest przedstawiony obok.

Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu Plancka

Policzmy pochodną energii cząstki względem jej pędu uogólnionego w mechanice klasycznej Newtona: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według mechaniki klasycznej pochodna energii cząstki względem pędu uogólnionego jest równa prędkości cząstki klasycznej, co nie powinno być zaskoczeniem. Następnie rozpatrzmy cząstkę relatywistyczną o energii relatywistycznej wyrażonej przy pomocy pędu uogólnionego cząstki i jej masy spoczynkowej mSzablon:Sub, która może być równa zero, znając definicję pędu klasycznego: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według szczególnej teorii względności, że pochodna energii cząstki względem pędu uogólnionego jest równa prędkości cząstki klasycznej. Z szczególnej teorii względności i teorii klasycznej Newtona wiadomo, że prędkość cząstki jest równa pochodnej energii cząstki względem pędu uogólnionego, bo (Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór), a jeżeli potraktować cząstki jako falę, to wtedy ta prędkość powinna być równa prędkości grupowej fali, która jest równa pochodnej częstotliwości kątowej względem liczby falowej, a jeżeli przyrównać ją do prędkości cząstki, to dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór na energię kwantu Szablon:LinkWzór i wzór na fale de Broglie'a Szablon:LinkWzór, bo: Szablon:CentrujWzór Prędkość grupowa fali o wektorze falowym Szablon:Formuła przedstawia prędkość energii fali, a w przypadku korpuskularnym cząstka porusza się z pewną prędkością, która określa prędkość poruszania się energii (korpuskułu), a więc obie te prędkości są sobie równe.

Warunek Braggów, a doświadczenie, fale materii

Szablon:Rysunek Różnica dróg optycznych między górnym a dolnym promieniem jest zależna od odległości pomiędzy warstwami między dwoma płaszczyznami atomów i od kąta Szablon:Formuła do płaszczyzny z atomami, pod którą pada fala elektromagnetyczna X: Szablon:CentrujWzór Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, jest równa: Szablon:CentrujWzór Równanie fal materii pierwszej i drugiej uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu tegoż obiektu, zapisujemy je wedle sposobu: Szablon:ElastycznyWiersz Według zasady Huygensa musimy dodać fale Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych i równoległych do siebie przed dojściem do kryształu i po jego wyjściu: Szablon:CentrujWzór W wyrażeniu Szablon:LinkWzór kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy w wyrażeniu pod kosinusem jest nπ, to moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: Szablon:CentrujWzór Na podstawie ostatniego wyrażenia w Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że równanie Braggów jest zapisywane w postaci: Szablon:CentrujWzór Jest ona zależna od odległości między dwoma płaszczyznami d, od długości fali λ i od kąta θ padania promieniowania elektromagnetycznego X, dzięki któremu fala elektromagnetyczne ulegnie wzmocnieniu na ekranie, na której badamy wzmocnienia fal elektromagnetycznych dla jakiegoś parametru n, jeśli w ogóle istnieje.