Mechanika kwantowa/Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

Przedstawimy tutaj kwantową teorię momentu pędu, przy sumowaniu odpowiedniej liczby momentów pędu. Zapoznamy się ze współczynniki Clebscha-Gordona (sumowanie dwóch wektorów momentu pędu) i współczynniki Racah (sumowanie trzech wektorów momentu pędu).

Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona

Mamy dwie wartości własne operatora momentu pędu Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, to suma tych wektorów momentów pędu jest przedstawiona: Szablon:CentrujWzór Całkowita liczba kwantowa charakteryzujący kwadrat całkowitego momentu pędu jest napisana poprzez cząstkowe liczby kwantowe charakteryzujące momenty pędu dla dwóch cząstek: Szablon:CentrujWzór A magnetyczne liczby kwantowe zetowej współrzędnej operatora momentu pędu względem cząstkowych wartości liczb kwantowych charakteryzujący cząstkowe kwadraty momentów pędów są przestawione: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowita liczba magnetyczna orbitalnego momentu pędu jest: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że całkowita magnetyczna liczba falowa spełnia warunek: Szablon:CentrujWzór

Funkcja falowa, po złożeniu dwóch momentów pędu operatora całkowitego momentu pędu w zależności od funkcji falowej cząstkowych operatorów momentu pędu Szablon:Formuła, można ją przestawić jako: Szablon:CentrujWzór Sumowanie Szablon:LinkWzór jest tak dokonane, by liczba kwantowa całkowitego operatora momentu pędu oraz całkowita magnetyczna liczba kwantowa miały pewną określoną wartość przy ustalonych wartościach momentów magnetycznych cząstkowych.

Współczynniki Szablon:Formuła nazywamy współczynnikami Clebscha-Gordona.

Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona

Współczynniki Clebscha-Gordona są symetryczne, tzn. mają wartości rzeczywiste, tzn. współczynnik Clebscha-Gordona ze w sprzężeniem hermitowskim jest równy współczynnikowi bez tego sprzężenia, tzn.: Szablon:CentrujWzór Relacje ortogonalizacji współczynników Clebscha-Gordona spełniają zależności: Szablon:CentrujWzór A także spełniają drugą własność: Szablon:CentrujWzór

Przy czym w Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór skorzystaliśmy z operatora jedynki zdefiniowanego w Szablon:LinkWzór.

Tabela współczynników Clebscha-Gordona

Współczynniki Clebscha-Gordona w sposób bardziej ogólny można je zapisać według wzoru: Szablon:CentrujWzór Wzory rekurencyjne w bardziej szczególnych przypadkach można przedstawić: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór

Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah

Złożenie trzech wektorów momentów pędu można przedstawić, jeśli najpierw będziemy dodawać liczby kwantowe operatorów momentów pędu Szablon:Formuła i Szablon:Formuła w sposób odpowiedni do Szablon:Formuła, to funkcja falowa całkowitego momentu pędu przy określonych liczbach kwantowych cząstkowych dwóch pierwszych momentów pędu, przy określonym Szablon:Formuła i Szablon:Formuła i Szablon:Formuła spełnia zależność: Szablon:CentrujWzór Także dodając najpierw liczby kwantowe Szablon:Formuła i Szablon:Formuła (dwóch ostatnich momentu pędu) odpowiednio do Szablon:Formuła, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Wiemy jednak, że cząstkowe liczby kwantowe zetowego operatora momentu pędu spełniają warunki: Szablon:CentrujWzór Współczynniki: Szablon:Formuła a także: Szablon:Formuła nazywamy współczynnikami Racah.

Model jednocząstkowego momentu magnetycznego

Związek między operatorem orbitalnego momentu pędy lub spinowego momentu pędu z jego momentem magnetycznym dla orbity lub dla spinu przedstawiamy dla tych dwóch rodzajów momentów pędu: Szablon:ElastycznyWiersz Całkowity operator momentu magnetycznego na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest w postaci Szablon:CentrujWzór

• gdzie:

Szablon:CentrujWzór Przepis Szablon:LinkWzór nazywamy magnetonem Bohra. Jeśli mamy wektor w przestrzeni Hilberta, jako Szablon:Formuła, to działając na niego zetowym operatorem momentu magnetycznego, wtedy: Szablon:CentrujWzór Wartość średnia momentu magnetycznego zetowego jest przedstawiona w sposób: Szablon:CentrujWzór To średnia wartość momentu magnetycznego współrzędnej zetowej, wykorzystując przy tym Szablon:LinkWzór, jest równa: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując wzory Clebscha-Gordona do wyrażenia Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Mając średnią wartość na moment spinowy Szablon:LinkWzór, to można policzyć średni całkowity moment magnetyczny według wzoru na średnią wartość zetowego momentu magnetycznego wedle wzoru Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Przyjmuje się według umowy, że moment magnetyczny określamy dla stanu, w którym zetowy moment pędu, a właściwie liczba kwantowa charakteryzująca ten stan, tzn. magnetyczna liczba kwantowa, odpowiedzialnej za zetowy całkowity moment pędu, jest równy całkowitej liczbie kwantowej momentu pędu Szablon:Formuła, to wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

• Współczynnik giromagnetyczny przyjmuje postać:

Ogólnie współczynnik giromagnetyczny, uwzględniający te dwa przypadki wedle wzoru Szablon:LinkWzór (tzn. z plusem lub z minusem), można zapisać w sposób bardziej ogólny według schematu: Szablon:CentrujWzór Całkowity moment pędu "j"jest zależny od orbitalnej liczby kwantowej "l" i spinowej "s" (spin elektronu ma dwa wykluczające sie zwroty) przestawiamy przepisami przy załozeniu, że całkowity moment pędu "j" przedstawiamy w dwojaki sposób: Szablon:ElastycznyWiersz Udowodnimy, że dla tych "s" Szablon:LinkWzór i "j" Szablon:LinkWzór nasz współczynnik giromagnetyczny Szablon:LinkWzór przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny Szablon:LinkWzór, wzbierajc tam plus, który jest zależny tylko od l: Szablon:CentrujWzór Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny Szablon:LinkWzór wyraża się wzorem Szablon:LinkWzór (wybierając tam plus) dla całego zestawy Szablon:Formuła. Udowodnimy, że dla tych s Szablon:LinkWzór i j Szablon:LinkWzór nasz współczynnik giromagnetyczny Szablon:LinkWzór przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny Szablon:LinkWzór, wzbierajc tam minus, który jest zależny tylko od l. Szablon:CentrujWzór Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny Szablon:LinkWzór wyraża się wzorem Szablon:LinkWzór (wybierając tam minus) dla calego zestawy Szablon:Formuła.

W ogólnym przypadku moment magnetyczny cząstki przedstawiamy za pomocą współczynnika żyromagnetycznego orbitalnego Szablon:Formuła i współczynnika żyromagnetycznego Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Dokonując podobnych rachunków jak poprzednio, możemy dojść do wniosku: Szablon:CentrujWzór

Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym

Energia układu o pewnym momencie magnetycznym przedstawiana jest wzorem Szablon:LinkWzór, zatem operator energii jednocząstkowego modelu w polu magnetycznego zapisujemy: Szablon:CentrujWzór

• gdzie hamiltonian w Szablon:LinkWzór w centralnym polu elektrycznym jądra atomowego wodoru.

Szablon:CentrujWzór Widzimy, że w hamiltonianie Szablon:LinkWzór uwzględniono oddziaływanie orbity ze spinem elektronu (drugi wyraz naszego hamiltonianu Szablon:Formuła), a także uwzględniono oddziaływanie całkowitego momentu magnetycznego (wraz z momentem magnetycznym pochodzących od spinu elektronu) z polem magnetycznym zewnętrznym (trzeci wyraz rozważanego hamiltonianu).

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że w Szablon:LinkWzór czwarty wyraz jest o wiele większy niż jego drugi składnik, biorąc pod uwagę, że kwantowe momenty pędu spinowego czy orbitalnego są rzędu stałej kreślonej Plancka. Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór uwzględniono, że oddziaływanie spin-orbita nie jest na tyle mocne od oddziaływania momentu magnetycznego elektronu w polu jadra atomowego w polu silnego zewnętrznego pola magnetycznego. W tym przypadku zaburzeniem w rachunku zaburzeń dla rozważanego hamiltonianu Szablon:LinkWzór nazywamy wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Cały hamiltonian wraz zaburzeniem uwzględniający wzór Szablon:LinkWzór, przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

• gdzie pierwszy wyraz (operator) w Szablon:LinkWzór jest hamiltonianem niezaburzonym i jest zdefiniowany:

Szablon:CentrujWzór Jeśli założymy, że pole magnetyczne jest zwrócone wzdłuż osi z, to hamiltonian niezaburzony zdefiniowany wedle definicji Szablon:LinkWzór zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie własne przy operatorze Szablon:LinkWzór jest dobrze znane i rozwiązane jest podobne do tego, gdy nie ma spinowego momentu pędu wedle rozdziału Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana. Energia własna operatora Szablon:LinkWzór wraz zaburzeniem do tej energii przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła jest to wartość własna dla równania własnego Szablon:LinkWzór.

Energia własna hamiltonianu niezaburzonego jest zapisana: Szablon:CentrujWzór

• Ale Szablon:Formuła jest to dobrze znana energia rozpatrywana dla atomu wodoru bez uwzględniania jego spinu i bez oddziaływania spin-orbita.

A zaburzenie do energii, który należy dodać do wartości własnej hamiltonianu, która razem z tą poprawką jest opisywana przez hamiltonian zaburzony Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy więc to zaburzenie według wzoru Szablon:LinkWzór, tak by wyznaczyć wzór Szablon:LinkWzór na całkowitą energię zaburzonego hamiltonianu: Szablon:CentrujWzór Wzór na całkowitą energię w silnym polu magnetycznym (założenie Szablon:LinkWzór) przedstawia się: Szablon:CentrujWzór

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że trzeci wyraz Szablon:LinkWzór od drugiego wyrazu są takiego rzędu, że ten pierwszy jest o wiele mniejszy niż drugi: Szablon:CentrujWzór Powyżej wykorzystano, że momenty pędu, czy to spinowe, czy to orbitalnego momentu pędu są rzędu kreślonej stałej Plancka. Widzimy, że pole magnetyczne jest na tyle słabe od oddziaływania spin-orbita, to Hamiltonian Szablon:LinkWzór wraz zaburzeń zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Pierwszy wyraz we wyrażeniu Szablon:LinkWzór jest napisany wedle schematu: Szablon:CentrujWzór Zaburzenie w Szablon:LinkWzór (drugi wyraz) w całkowitym hamiltonianie zaburzonym jest równe: Szablon:CentrujWzór Energia zaburzenia dla operatora zaburzonego Szablon:LinkWzór, zapisujemy wedle wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A całkowita energia układu jądra z elektronem jest równa energii jako wartości hamiltonianu niezaburzonego Szablon:LinkWzór wraz zaburzeniem zdefiniowanym w punkcie Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Wartość własna stanu niezaburzonego według poprawki obliczonej w Szablon:LinkWzór cząstki ze spinem, gdy mamy oddziaływanie spinu z orbitą wedle wzoru Szablon:LinkWzór, mamy tutaj na myśli tylko samą poprawkę, tylko zamiast oscylatora harmonicznego tutaj mamy na myśli elektron krążący wokół jądra atomowego, ale poprawka jest ta sama. Szablon:CentrujWzór Na podstawie wcześniej obliczonego średniej wartości zetowego momentu pędu Szablon:Formuła (spin i orbita) ale przedtem musimy wykorzystać definicję momentu magnetycznego Szablon:LinkWzór ze współczynnikiem zdefiniowanej w sposób ogólny wedle wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy poprawka do energii własnej operatora energii, czyli wartości własnej zaburzenia hamiltonianu: Szablon:CentrujWzór Całkowita energia wraz z obliczonym zaburzeniem do energii hamiltonianu niezaburzonego Szablon:LinkWzór jest równa: Szablon:CentrujWzór