Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów

Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przed wyznaczeniem wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.

Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera

Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora ∇ ten operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna operatora całkowitej energii całkowitej, piszemy przez równanie: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy równanie własne Szablon:LinkWzór przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych Szablon:Formuła, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, można napisać: Szablon:CentrujWzór Połóżmy występujące w równaniu Szablon:LinkWzór na funkcję Szablon:Formuła i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób, by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej: Szablon:ElastycznyWiersz Na podstawie Szablon:LinkWzór (definicja stałej E) i Szablon:LinkWzór (definicja Szablon:Formuła), wzór Szablon:LinkWzór przybiera inną równoważną postać: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wyrażenie Szablon:LinkWzór spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń. W równaniu Szablon:LinkWzór przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Porównując równanie Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, otrzymujemy wzory na dwie tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy ją w sposób: Szablon:CentrujWzór Jeśli zaburzenie jest małe, to w niektórych przypadkach możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Mamy sobie równanie Szablon:LinkWzór, które możemy porównać ze wzorem Szablon:LinkWzór, stąd dochodzimy do wniosku Szablon:LinkWzór, wykorzystując przy tym fakt, że funkcja własna operatora energii jest Szablon:LinkWzór, wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać funkcję Szablon:LinkWzór, która zależy od funkcji Greena: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu Szablon:LinkWzór według jego definicji Szablon:LinkWzór i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej Szablon:LinkWzór, w której będziemy mogli napisać operator Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena Szablon:LinkWzór w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów Szablon:Formuła leży na osi rzędnych OY: Szablon:CentrujWzór Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie (0,0) wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla R→∞ ,a to z kolei dąży do Szablon:LinkWzór, ale najpierw napiszmy zamiast k liczbę zespoloną Szablon:Formuła, zatem jeśli Szablon:Formuła, to R→∞, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla ε skończonego, ale nierównego zero, zobaczymy co nam wyjdzie dalej: Szablon:CentrujWzór Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale Szablon:Formuła, gdzie funkcja y=sin x jest zawsze większa niż prosta Szablon:Formuła, zatem zachodzi:Szablon:Formuła, zatem przedział całkowania w Szablon:LinkWzór należy ograniczyć do omawianego przedziału, a wynik pomnożyć przez dwa, zatem: Szablon:CentrujWzór Całka Szablon:LinkWzór, na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, jest równa: Szablon:CentrujWzór Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem Szablon:Formuła, bo Szablon:Formuła, zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie: Szablon:CentrujWzór bo jest skończone i równe jeden w podwyrażeniu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Całka na półokręgu Szablon:LinkWzór dąży do zera na podstawie Szablon:LinkWzór, bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu Szablon:Formuła, wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku Szablon:Formuła, dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla Szablon:Formuła wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu ρ dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego. W całce Szablon:LinkWzór dokonajmy podstawienia Szablon:Formuła, co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy Szablon:Formuła, wykorzystując te podstawienia do całki Szablon:LinkWzór oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach Szablon:Formuła. Gdy ε>0, to do wewnątrz półokręgu należy oczywiście punkt Szablon:Formuła, a drugi nie należy, ale gdy natomiast ε<0, to do wewnątrz półokręgu należy drugi punkt Szablon:Formuła, a pierwszy nie należy. Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku Szablon:Formuła, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich. Szablon:CentrujWzór Otrzymaliśmy według obliczeń Szablon:LinkWzór, że funkcja Greena ma dwie postacie zapisane w postaci ogólnej: Szablon:CentrujWzór Funkcję Greena Szablon:LinkWzór można wstawić do równania Szablon:LinkWzór, w ten sposób można obliczyć funkcję własne równania własnego operatora energii według kwantowej mechaniki klasycznej Schrödingera.

Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona

Gęstość Lagrangianu Szablon:LinkWzór uzupełnijmy o dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy go napiszemy: Szablon:CentrujWzór Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór, w tym celu pochodne Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są takie same dla Szablon:LinkWzór jak dla Szablon:LinkWzór tylko jedyna różnica jest dla pochodnej Szablon:LinkWzór, który tutaj wynosi: Szablon:CentrujWzór Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu: Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w Szablon:LinkWzór, wtedy rozważane równanie różniczkowe jest bardzo podobne do równania Kleina-Gordona Szablon:LinkWzór, bo w tym równaniu zachodzi Szablon:Formuła, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, zapisujemy w formie: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest bardzo podobne do równania operatorowego Szablon:LinkWzór, gdzie definicja operatora Szablon:Formuła i funkcji Szablon:Formuła jest zarysowana: Szablon:ElastycznyWiersz Zatem równanie na funkcję Greena według równości Szablon:LinkWzór, którego definicja dla naszego przypadku przestawiamy wzorem: Szablon:CentrujWzór Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie Szablon:LinkWzór oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej: Szablon:CentrujWzór W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:Szablon:Formuła. Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena Szablon:LinkWzór oraz wyznaczone równania różniczkowego niejednorodne Szablon:LinkWzór dla J=0, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego jest wedle Szablon:LinkWzór.