Mechanika kwantowa/Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Udowodnijmy równania własne zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca.

W równaniach mechaniki kwantowej Diraca podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej, wtedy funkcja falowa wektorowa jest napisane w sposób bardzo podobny do Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór, albo według Szablon:LinkWzór, tylko, że zamiast funkcji falowych skalarnych są wektory funkcji falowych. Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Diraca rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Równanie własne pewnego operatora występującego w definicji operatora energii relatywistycznej

Napiszmy i udowodnijmy równanie własne operatora energii relatywistycznej Szablon:LinkWzór wykorzystując udowodnioną tożsamość Szablon:LinkWzór, którą dla dowolnej jego potęgi możemy przepisać wzorem, co nie trudno udowodnić na podstawie indukcji matematycznej: Szablon:CentrujWzór bo dla s=1 równość Szablon:LinkWzór przechodzi w Szablon:LinkWzór, a dla s=0 ona jest tożsamością, udowodnijmy twierdzenie dla s+1, wtedy podziałajmy obie strony Szablon:LinkWzór operatorem Szablon:Formuła, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Powyższe dowody są prawdziwe jedynie w elektromagnetostatyce, w której zachodzi cechowanie dla pola magnetycznego stałego: Szablon:Formuła (cechowanie Coulomba), i niezależność potencjału tensorowego elektromagnetycznego względem czasu. Udowodnijmy twierdzenie potrzebne do dowodu Szablon:LinkWzór dla pola elektromagnetostatycznego: Szablon:CentrujWzór

• bo we dowodzie Szablon:LinkWzór występuje wyrażenie, które dla pola elektromagnetostatycznego jest równe zero.

Szablon:CentrujWzór Weźmy taki układ odniesienia, w którym jest stały w danym punkcie Szablon:Formuła potencjał wektorowy pola elektromagnetostatycznego, czyli Szablon:Formuła, wtedy zastosujmy cechowanie Coulomba Szablon:LinkWzór, co po przetransformowaniu do układu dowolnego, też dla tego samego rodzaju pola: Szablon:CentrujWzór To wyrażenie jest równe zero na podstawie cechowania Coulomba i niezależności potencjału tensorowego od czasu, podanego powyżej. Zatem na podstawie tego równość Szablon:LinkWzór piszemy w formie: Szablon:CentrujWzór

Dowód niepełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej

Równość Szablon:LinkWzór jest taka sama jak Szablon:LinkWzór dla s+1 zamiast s. Zatem wzór Szablon:LinkWzór jest zawsze spełniony na podstawie indukcji matematycznej. Wiedząc, że Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jest to koleino położenie i pęd uogólniony po 3N współrzędnych dla N cząstek, a Szablon:Formuła i Szablon:Formuła jest to koleino wektor operatora pędu i wektor pędu uogólnionego, dla i-tej cząstki, wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór i wzoru na operator energii relatywistycznej Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła) i skalar energii relatywistycznej Szablon:LinkWzór (Szablon:Formuła): Szablon:CentrujWzór Sumujmy funkcje Szablon:Formuła ze współczynnikami dla różnych pędów Szablon:Formuła i takich samych energii Szablon:Formuła (energii układu cząstek), wtedy równość Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Sumujemy ze współczynnikami dla różnych pędach Szablon:Formuła równanie Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór jest to równanie własne operatora energii relatywistycznej Szablon:Formuła Szablon:LinkWzór z funkcjami własnymi Szablon:Formuła zależącymi od położenia Szablon:Formuła, czasu Szablon:Formuła i energii całkowitej układu Szablon:Formuła.

Dowód pełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej

Weźmy wzór na energię relatywistyczną ciała w zależności od jego pędu i masy spoczynkowej, wtedy tam występujące strony możemy zastąpić średnimi. Szablon:CentrujWzór Ale z drugiej strony rozkład energii relatywistycznej piszemy z definicji wartości średniej Szablon:LinkWzór w mechanice kwantowej: Szablon:CentrujWzór Napiszmy z definicji wartości średniej energii relatywistycznej przy znajomości wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór mnożymy poprzez iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Dalej rozpiszmy prawą stronę Szablon:LinkWzór rozwijając w szereg Taylora wyraz w tym pierwiastku, wykorzystując przy okazji udowodniony wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie metod matematyczny fizyki możemy napisać iloczyn skalarny w końcowym wywodzie Szablon:LinkWzór jako iloczyn dwóch funkcji falowych, czyli według twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie: Szablon:CentrujWzór Też nożna powiedzieć naz podstawie Szablon:LinkTwierdzenie elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Szablon:CentrujWzór Ale dla dowolnej funkcji Szablon:Formuła przy ściśle określonej bazie funkcji Szablon:Formuła, we przedstawieniu Szablon:LinkWzór, możemy napisać zawsze słuszne wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie, jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnych, jest spełniona w nim dla operatora energii relatywistycznej w mechanice relatywistycznej kwantowej Diraca.

Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego

Dowód niepełny

Skorzystajmy z równania Szablon:LinkWzór, zakładając, że występująca funkcja falowa jest wektorem i zobaczmy, czy wyjdzie równanie własne operatora energii Szablon:LinkWzór, wykorzystując definicję operatora energii Szablon:LinkWzór, co stąd: Szablon:CentrujWzór Równanie własne końcowe w Szablon:LinkWzór sumujemy ze współczynnikami względem Szablon:Formuła w sposób: Szablon:CentrujWzór Otrzymany wzór Szablon:LinkWzór jest spełniony dla słabych i małych zmian pola magnetycznego.

Dowód pełny

Napiszmy wzór na średnią energię całkowitą cząstki, w różnych polach: Szablon:CentrujWzór Napiszmy wzór na średnią energię relatywistyczną z definicji wartości  średniej w mechanice kwantowej: Szablon:CentrujWzór Policzmy Szablon:LinkWzór w obu jego stronach wyrażenia na podstawie wartości średniej parametru i operatora: Szablon:CentrujWzór Pomnóżmy obie strony równości Szablon:LinkWzór przez iloczyn dwóch takich samych funkcji Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Dalej wykonujmy obliczenia na formule przedstawionej w Szablon:LinkWzór, rozdzielając iloczyn skalarny po prawej jego stronie na sumy: Szablon:CentrujWzór Ostatnie równanie na dwie takie same funkcje przekształcamy na dwa różne funkcje z praw iloczynu skalarnego z pierwszą funkcją będącą dowolną funkcją Szablon:Formuła przy ściśle określonej bazie funkcji Szablon:Formuła, czyli według twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie: Szablon:CentrujWzór Też nożna powiedzieć naz podstawie Szablon:LinkTwierdzenie elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji: Szablon:CentrujWzór Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia Szablon:LinkTwierdzenie, jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim w mechanice kwantowej relatywistycznej Diraca. Gdzie definicja hamiltonianu występująca we wzorze Szablon:LinkWzór piszemy w formie: Szablon:CentrujWzór Można udowodnić, że według równania własnego Szablon:LinkWzór energia własna jest niezależna od czasu na podstawie dowodu podobnego jak w mechanice falowej klasycznej, czyli według przedstawienia Szablon:LinkWzór na podstawie definicji hamiltonianu Szablon:LinkWzór.

Dowód operatora energii relatywistycznej Diraca, że jego przedstawienie jest dokładne z układu dla punktu, w którym dla pola magnetycznego jego indukcja i jego zmiany są małe

Równość (równanie własne operatora energii całkowitej) Szablon:LinkWzór jest spełniona dla słabych i małych zmian pól magnetycznych dla jakiegoś punktu w układzie i pól elektrycznych dowolnych, ale udowodnijmy, że jest spełniony również dla dowolnych pól magnetycznych, zatem dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera w jakimś punkcie, oznaczmy w takim układzie operator energii całkowitej przez Szablon:Formuła dla tego punktu. A dokładny operator energii całkowitej Diraca oznaczmy przez Szablon:Formuła w ogólnie dowolnym punkcie w tym układzie, zatem zależność między dwoma operatorami przedstawia się na podstawie Szablon:LinkWzór w układach, w którymś w jakimś punkcie pole i jego zmiany są zerowe, a oba operatory energii są sformułowane dla jednej cząstki, wtedy z punktu, w którym tak nie jest, do punktu, w którym tak już jest: Szablon:CentrujWzór Wtedy dla równości w układzie, w danym punkcie przy zerowych polach magnetycznych i jej zmianach Szablon:LinkWzór, i na podstawie Szablon:LinkWzór, możemy przejść w układzie do innego punktu, w którym to pole i jej zmiany, w danym punkcie, nie są ogólnie zerowe, a w jakimś punkcie tak jest, wtedy: Szablon:CentrujWzór Transformacja z układu A, w którym w danym punkcie pola magnetycznego nie ma i jego zmiany są zerowe, do dowolnego układu odniesienia: Szablon:CentrujWzór

• Wzór Szablon:LinkWzór wynika z transformacji układu końcowego względem układu odniesienia.

Równanie własne układu A, którego to piszemy, jest równaniem własnym jego operatora energii relatywistycznej układu: Szablon:CentrujWzór Napiszmy równanie własne na operator energii całkowitej w układzie początkowym, w którym w jakimś punkcję pole magnetostatyczne i jego zmiany w przestrzeni są bardzo małe z dowolnym polem elektrostatycznym, z przejściem do dowolnego układu odniesienia, w którym już tak nie jest, czyli dla dowolnego pola elektromagnetostatycznego: Szablon:CentrujWzór W dowolnym układzie tutaj Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, czyli po przejściu do dowolnego układu odniesienia są Diraca, z układu, w którym było w jakim punkcie Szablon:Formuła i Szablon:Formuła. Czyli na podstawie równości Szablon:LinkWzór w dowolnym układzie równanie własne energii całkowitej przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór dla dowolnego punktu dla dowolnego pola elektromagnetostatycznego, czyli wzór na hamiltonian energii całkowitej układu Diraca przedstawia się w formie Szablon:LinkWzór. A tam ten hamiltonian, jak udowodniliśmy tutaj, jest dokładny.

Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca

Z rozważań nad średnimi otrzymaliśmy taką samą równość w Szablon:LinkWzór jak równanie mechaniki kwantowej niezależne od czasu Szablon:LinkWzór jak w punkcie Szablon:LinkWzór, a równanie zależne od czasu wyprowadza się następująco: możemy napisać tożsamość, którą można wyprowadzić jak w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór wtedy lewą stronę tej równości przyrównujemy z prawą stroną równości równania własnego hamiltonianu relatywistycznego Diraca niezależnego od czasu, otrzymując równanie operatora energii zależne od czasu, położenia i energii. Szablon:CentrujWzór Sumujmy funkcje Szablon:Formuła ze współczynnikami dla różnych energii, wtedy otrzymamy równość Szablon:LinkWzór taką samą jak tutaj Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

• gdzie hamiltonian Szablon:Formuła jest to dokładny hamiltonian Diraca Szablon:LinkWzór.