Matematyka ubezpieczeń życiowych/Model demograficzny

Punktem wyjścia do rozważań na temat ubezpieczeń na życie jest analiza trwania ludzkiego życia i momentu jego końca jako zjawiska o charakterze losowym. W niniejszym rozdziale omówiony zostaną podstawowe zagadnienia związane z modelem demograficznym.

W swej najprostszej wersji model ten zakłada, że śmierć danego osobnika następuje w losowym (czyli niemożliwym do dokładnego przewidzenia w sposób pewny) momencie a szanse zajścia lub nie takiego zdarzenia rozpatrujemy tylko i wyłącznie jako funkcję wieku osobnika. Uwzględnienie czynników pokoleniowych jest możliwe, ale wymagać będzie większej komplikacji modelu.

Zmienne losowe i inne oznaczenia

Obiektem naszych rozważań będzie osobnik w wieku $x$ i oznaczać go będziemy symbolem $(x)$. Interesować nas będzie również jego wiek w chwili zgonu (czyli całkowita długość trwania jego życia) rozumiana jako zmienna losowa i oznaczana symbolem $X$. Ponieważ $(x)$ jest obecnie w wieku $x$, to pozostało przed nim jeszcze $X-x$ lat życia. Wprowadzamy więc zmienną losową $T(x)$, zapisywaną czasem bez argumentu jako $T$ i definiujemy ją następująco:

$T(x):=\{\begin{array}{cc}X-x& \text{dla}x\in [0;X],\\ 0& \text{dla}x\notin [0;X].\end{array}$

Kolejnymi symbolami jakie wprowadzimy będą oznaczenia gęstości i dystrybuant dla rozważanych zmiennych losowych. Będą to odpowiednio $f$ i $F$ dla zmiennej $X$ oraz $g$ i $G$ dla zmiennej $T$.

Wszystkie powyższe wartości nie muszą być liczbami całkowitymi. W praktyce dość często wiek jest wyrażany całkowitymi liczbami ukończonych lat życia. Również ubezpieczenia zawierane są często na konkretną liczbę lat. Całkowitą liczbę lat jakie $(x)$ przeżyje nim umrze oznaczymy przez $K$.

Wszystkie powyższe oznaczenia zostały zebrane w tabeli:

ozn.	opis
$(x)$	osobnik w wieku $x$
$X$	wiek w chwili zgonu
$F(t)$	dystrybuanta zmiennej $X$
$f(t)$	gęstość zmiennej $X$
$T$	dalsze trwanie życia osoby $(x)$
$G(t)$	dystrybuanta zmiennej $T$
$g(t)$	gęstość zmiennej $T$
$K$	całkowita liczba przeżytych lat

Podstawowe prawdopodobieństwa występujące w modelu

Przyjąwszy powyższe oznaczenia możemy rozpocząć rozważania nad prawdopodobieństwem, że $(x)$ przeżyje lub nie zadany okres czasu $t$. Prawdopodobieństwa te będą rzecz jasna funkcjami dwóch zmiennych - $x$ i $t$. W notacji aktuarialnej są one oznaczane jako ${}_t{p}_x$ i ${}_t{q}_x$. Umownie, gdy czas $t=1$ to jest on w tym zapisie pomijany.

$q_x={}_1{q}_x,$

$p_x={}_1{p}_x.$

Wprowadzamy również funkcję $s(x)$ zwaną funkcją przeżycia. Definiuje się ją jako prawdopodobieństwo, że $(0)$ (czyli noworodek) dożyje wieku $x$

$s(x)={}_x{p}_0.$

Poniższa tabela zwięźle ujmuje wprowadzone oznaczenia

oznaczenie	definicja	założenia
$F(x)$	$Pr(X\le x)$	$x⩾0$
$s(x)$	$Pr(X>x)$	$x⩾0$
${}_t{p}_x$	$Pr(T(x)>t)$	$x,t⩾0$
${}_t{q}_x$	$Pr(T(x)\le t)$	$x,t⩾0$
${}_{s|t}{q}_x$	$Pr(s<T(x)<s+t)$	$x,s,t⩾0$
${}_{k|}{q}_x$	$Pr(K(x)=k)$	$x⩾0,k\in \mathbb{N}\cup \{0\}$
${}_k{p}_x{q}_{x+k}$	$Pr(K(x)=k)$	$x⩾0,k\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

Zależności

Każdy człowiek w danym okresie czasu może albo umrzeć albo nie. Nie istnieje trzecia możliwość a zatem prawdopodobieństwa ${}_t{p}_x$ i ${}_t{q}_x$ muszą dawać w sumie $1$

${}_t{p}_x+{}_t{q}_x=1$

Można łatwo wykazać interpretując ${}_t{p}_{x+s}$ jako prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia przez $x$-latka $t+s$ lat pod warunkiem, że przeżyje on co najmniej $s$ lat (${}_t{p}_{x+s}=Pr(T>s+t|T>s)$), że zachodzi równość

${}_{s+t}{p}_x={}_s{p}_x\cdot {}_t{p}_{x+s}.$

Podobnie można zinterpretować ${}_{s|t}{q}_x$

$\begin{array}{cc}{}_{s|t}{q}_x& ={}_{s+t}{q}_x-{}_s{q}_x=(1-{}_{s+t}{p}_x)-(1-{}_s{p}_x)=\\ & ={}_s{p}_x-{}_{s+t}{p}_x={}_s{p}_x-{}_s{p}_x{}_t{p}_{x+s}=\\ & ={}_s{p}_x(1-{}_t{p}_{x+s})={}_s{p}_x{}_t{q}_{x+s}.\end{array}$

Kolejna warta zapamiętania zależność również łatwa do uzyskania w podobny sposób to:

${}_t{p}_x=\frac{s(x+t)}{s(x)}$

Intensywność umieralności

Chcielibyśmy czasem mieć możliwość oceny prawdopodobieństwa zgonu nie w pewnym przedziale czasu ale lokalnie w danym momencie $t$. Prawdopodobieństwo ${}_x{p}_x$ jest równe $0$. Musimy więc rozważać niezerowe przedziały i dokonać przejścia granicznego czyli innymi słowy posłużyć się pojęciem pochodnej. Definiuje się więc wielkość zwaną intensywnością umieralności, oznaczaną ${\mu }_x$ i określoną następująco

${\mu }_x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{Pr(x<X<x+\mathrm{\Delta }x|X>x)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia

$Pr(x<X<x+\mathrm{\Delta }x|X>x)=\frac{s(x)-s(x+\mathrm{\Delta }x)}{s(x)}.$

Po podstawieniu otrzymujemy

${\mu }_x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{s(x)-s(x+\mathrm{\Delta }x)}{s(x)\mathrm{\Delta }x}=-\frac{s^{\prime }(x)}{s(x)}=-\frac{d}{dt}\ln s(x).$

Współczynnik umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw ${}_t{p}_x$

${\mu }_{x+t}=-\frac{\frac{d}{dt}{}_t{p}_x}{{}_t{p}_x}=-\frac{d}{dt}\ln {}_t{p}_x$

Modele analityczne

Życie ludzkie jest procesem na który wpływ ma wiele czynników. Różne czynniki mają wpływ na śmiertelność w różnym wieku. W każdej populacji rozkład zmiennej $T$ jest nieco inny. W XVIII i XIX w. podejmowano jednak próby opisania śmiertelności w sposób analityczny. Dziś modele te mają już raczej charakter wyłącznie historyczny, a próby analitycznego opisania rozkładu długości trwania życia spotykają się ze sceptyczną oceną demografów.

W 1724 r. Abraham de Moivre przyjął założenie, że istnieje nieprzekraczalny wiek graniczny $\omega$. Założył również, że dalsze trwanie życia $(x)$ ma rozkład jednostajny na przedziale $(0,\omega -x)$. Natężenie wymierania w takim modelu wyraża się wzorem

${\mu }_{x+t}=\frac{1}{\omega -x-t},t\in (0,\omega -x).$

O hipotetycznej populacji, w której umieralność spełnia powyższe równanie mówi się, że rządzi nią prawo umieralności de Moivre

W 1824 r. Benjamin Gompertz postawił hipotezę, że wiek graniczny nie istnieje a współczynnik umieralności jest funkcją wykładniczą.

${\mu }_{x+t}=B{c}^{x+t},B>0,c>1,t>0.$

W 1860 r. William Makeham uzupełnił formułę Gompertza o stały, niezależny od wieku człon $A$.

${\mu }_{x+t}=A+B{c}^{x+t},B>0,c>1,t>0.$

Warto zauważyć, że w modelach Gompertza i Makehama gdy $c=1$ to współczynnik umieralności byłby stały (niezależny od wieku). Oznaczałoby to, że człowiek niezależnie od wieku ma przed sobą takie same perspektywy odnośnie długości dalszego trwania życia. Innymi słowy w takiej populacji nikt się nie starzeje, długość życia ma rozkład wykładniczy, a umieralność można wtedy porównać do procesu rozpadu promieniotwórczego.

W 1939 r. szwedzki inżynier i matematyk Ernst Hjalmar Waloddi Weibull zaproponował użycie funkcji wielomianowej w miejsce wykładniczej

${\mu }_{x+t}=k(x+t{)}^n,k>0,n>1,t>0.$

Tablice długości trwania życia

Podstawowe dane demograficzne niezbędne do kalkulacji aktuarialnych gromadzone są w formie tablic długości trwania życia. Tablice takie publikowane są w Polsce przez Główny Urząd Statystyczny. Mają one formę tabeli w której osobno dla mężczyzn a osobno dla kobiet znajdują się dane zebrane w kolumnach:

$x$	$l_x$	$q_x$	$d_x$	$L_x$	$T_x$	${\stackrel{\circ }{e}}_x$

• $x$ – wiek w latach,
• $l_x$ – średnia liczba dożywających wieku $x$ spośród początkowej liczby $l_0=100000$ noworodków,
• $q_x$ – jak wyjaśniono wcześniej jest to prawdopodobieństwo, że $(x)$ przeżyje co najwyżej kolejny rok,
• $d_x:=l_x-l_{x+1}$ – średnia liczba zgonów w przedziale wieku od $x$ do $x+1$
• $L_x$ – średnia ogólna liczba przeżytych lat pomiędzy wiekiem $x$ i $x+1$ z początkowej kohorty $l_0=100000$ noworodków,
• $T_x$ – średnia ogólna liczba przeżytych lat powyżej wieku $x$ dla początkowej kohorty $l_0=100000$ noworodków,
• ${\stackrel{\circ }{e}}_x$ – oczekiwana dalsza długość trwania życia dla $(x)$.

Symbol $d_x$ jest szczególnym przypadkiem symbolu ${}_n{d}_x$ definiowanego następująco:

${}_n{d}_x:=l_x-l_{x+n}=l_x\cdot q_x.$

Symbol ${\stackrel{\circ }{e}}_x$ definiuje się następująco:

${\stackrel{\circ }{e}}_x=E(T(x))=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot g(t)dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{}_t{p}_{x}dt.$

Dla zmiennej dyskretnej $K(x)$ również definiuje się analogiczny symbol:

$e_x=E(K(x))=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{}_k{p}_x{q}_{x+k}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{}_{k+1}{p}_x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{}_k{p}_x.$

Ponadto można pokazać, że:

${\stackrel{\circ }{e}}_x\approx e_x+\frac{1}{2}.$

${}_t{p}_x=\frac{l_{x+t}}{l_x}$

${}_{t|k}{q}_x=\frac{l_{x+t}-l_{x+t+k}}{l_x}$

Ubezpieczyciele do swych kalkulacji korzystają z własnych tablic, które nie są ogólnie dostępne.

Prawdopodobieństwo zgonu dla okresów ułamkowych

Dane demograficzne zebrane w tablicach długości trwania życia mają charakter dyskretny. Dostarczają informację o konkretnych wartościach jedynie dla wartości całkowitych. Gdy chcemy uzyskać dane dla konkretnego momentu pomiędzy tymi wartościami musimy dokonać interpolacji. W podrozdziale niniejszym omówimy trzy podstawowe założenia dla interpolacji stosowanej w ubezpieczeniach na życie.

Nieco bardziej formalnie i korzystając z wprowadzonych oznaczeń ujmujemy to zagadnienie następująco. Znamy rozkład zmiennej $K$ i na jego podstawie chcemy interpolować rozkład zmiennej $T$. Wprowadzamy oznaczenie $S$:

$S:=T-K.$

Jednostajny rozkład zgonów w ciągu roku (UDD)

Założenie to określane jest skrótem UDD (ang. uniform distribution of deaths). Już z samej nazwy widać, że przy założeniu tym $S$ ma rozkład jednostajny na przedziale jednego roku. Zakładać ponadto będziemy, że zmienne $K$ i $S$ są niezależne. Z jednostajności rozkładu zgonów w ciągu roku wynika liniowość prawdopodobieństwa ${}_t{q}_x$ względem $t$ w przedziale $(0,1)$ czyli

${}_t{q}_x=t\cdot q_x.$

Stała intensywność umieralności

Zakładamy tu, że ${\mu }_{x+t}$ ma dla każdego $t\in (0,1)$ wartość stałą równą ${\mu }_{x+\frac{1}{2}}=-\ln p_x.$

Przy tym założeniu zmienne $K$ i $S$ nie są niezależne.

Założenie Balducciego

Założenie to określone jest wzorem:

${}_{1-t}{q}_{x+t}=(1-t)\cdot q_x.$

Idea tego założenia polega na liniowej interpolacji odwrotności funkcji przeżycia:

$\frac{1}{s(x+t)}=(1-t)\cdot \frac{1}{s(x)}+t\cdot \frac{1}{s(x+1)},t\in [0,1].$

Przy tym założeniu zmienne $K$ i $S$ nie są niezależne.

Podsumowanie

funkcja	UDD	$\mu =const$	Balducci
${}_t{q}_x$	$t{q}_x$	$1-e^{-\mu t}$	$\frac{t{q}_x}{1-(1-t)q_x}$
${}_t{p}_x$	$1-t{q}_x$	$e^{-\mu t}$	$\frac{p_x}{1-(1-t)q_x}$
${}_y{q}_{x+t}$	$\frac{y{q}_x}{1-t{q}_x}$	$1-e^{-\mu y}$	$\frac{y{q}_x}{1-(1-t)q_x}$
${\mu }_{x+t}$	$\frac{q_x}{1-t{q}_x}$	$\mu$	$\frac{q_x}{1-(1-t)q_x}$
${}_t{p}_x{\mu }_{x+t}$	$q_x$	$e^{-\mu t}\mu$	$\frac{p_x{q}_x}{(1-(1-t)q_x{)}^2}$
${\stackrel{\circ }{e}}_x$	$e_x+\frac{1}{2}$
$Var(T)$	$Var(K)+\frac{1}{12}$

Tablice specjalne

Tablice długości trwania życia są skonstruowane dla poszczególnych grup zróżnicowanych według różnych czynników. Najważniejszym czynnikiem branym pod uwagę przy zawarciu ubezpieczenia jest wiek początkowy $x$. Ubezpieczenia jednak są oferowane często osobom cieszącym się dobrym zdrowiem. Często również przed przystąpieniem do ubezpieczenia wykonywane są badania medyczne. Sytuacja takiej osoby nie jest więc identyczna z sytuacją $x$-latka, który wykupił ubezpieczenie kilka lat temu nawet jeśli inne czynniki są identyczne. Aby wziąć to pod uwagę konstruuje się tablice specjalne (selektywne, ang. select life tables). W tablicach takich prawdopodobieństwa śmierci są różne w zależności od wieku przystąpienia do ubezpieczenia. Wprowadza się zatem oznaczenie $q_{[x]+t}$ jako prawdopodobieństwo, że osoba $(x+t)$, która przystąpiła do ubezpieczenia w wieku $x$ umrze w ciągu najbliższego roku. Zachodzi przy tym nierówność

$q_{[x]}<q_{[x]+1}<q_{[x]+2}<\dots$

Po kilku latach (powiedzmy $r$) wiek w chwili przystąpienia przestaje mieć tak duże znaczenie i można używać zwykłych tablic. Zachodzi więc

$q_{[x]+k}=q_{x+k}\text{dla}k⩾r.$