Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Przekątna kwadratu i wysokość w trójkącie równobocznym

Teoria

Za pomocą twierdzenia Pitagorasa możemy znaleźć przekątną każdego kwadratu.

Szablon:Mat:Wz Również w podobny sposób możemy wyprowadzić wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

Szablon:Mat:Wz Podstawiając otrzymane $h$ do wzoru na pole trójkąta otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego. Szablon:Mat:Wz

Zadania

1. Oblicz długość przekątnej kwadratu, którego bok ma długość:

1. 6 cm
2. 10 m
3. 3,5 dm
4. $7\sqrt{2}$ m
5. $3\sqrt{3}$ cm

2. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 10 cm. Oblicz:

1. wysokość tego trójkąta,
2. pole tego trójkąta.

3. Kwadrat ma przekątną $8\sqrt{2}$ cm. Oblicz długość jego boku.

4. Kwadrat A ma bok 6 cm, a kwadrat B ma bok $3\sqrt{8}$. Który kwadrat ma dłuższą przekątną i o ile?

5. Kwadrat ma bok równy $\sqrt{40}$. Oblicz:

1. długość przekątnej w formie pierwiastkowej,
2. długość przekątnej przybliżoną do dwóch miejsc po przecinku.

6. Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 9 cm. Oblicz pole tego trójkąta. Wynik zapisz w postaci $a\sqrt{b}$.

7. Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Oblicz długość AO, jeśli bok kwadratu wynosi 8 cm.

8. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa przekątnej kwadratu o boku $3\sqrt{6}$ cm. Oblicz długość boku tego trójkąta równobocznego.

E 9. Agata postanowiła przygotować kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta, ozdobioną wzorem dokładnie takim, jak przedstawiony na rysunku. Kartka ta będzie miała wymiary 15 cm × 18 cm. Do jej ozdobienia Agata chce użyć jednakowych kwadratów, których bok wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Niektóre z tych kwadratów będzie musiała przeciąć na dwie lub na cztery jednakowe części.

Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4}$.

Źródło: Próbny egzamin ósmoklasisty CKE 2018, zad. 19

10. Dany jest kwadrat ABCD. Na przekątnej AC dorysowano nowy kwadrat ACEF. Znajdź wzór na pole kwadratu ACEF, jeżeli bok AB ma długość $a$ cm.

*11. Bok trójkąta równobocznego ma długość 4 cm, a przekątna pewnego kwadratu ma długość $2\sqrt{2}\sqrt[4]{3}$. Uzasadnij, że pola obu tych figur są równe.

*12. Sześciokąt foremny i trójkąt równoboczny mają jednakowe obwody. Oblicz stosunek pola sześciokąta do pola trójkąta.

Wskazówka. Sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych.

Źródło: Konkurs kuratoryjny z matematyki 2024/2025, woj. lubuskie, etap wojewódzki, zad. 13 Szablon:Nawigacja