Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Pierwiastki

Teoria

Szablon:Mat:Def Gdy widzimy symbol pierwiastka powinniśmy zadać sobie pytanie - jaka liczba podniesiona do kwadratu da mi tą liczbę?

Jednak nie każda liczba może być pierwiastkowana. Jeżeli liczba podpierwiastkowa jest ujemna, to pierwiastek taki nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Da się obliczyć pierwiastek liczby ujemnej, ale wyłącznie w zbiorze liczb zespolonych, który poznasz na studiach. Szablon:Mat:Prz Nie każdy pierwiastek da się zapisać za pomocą liczby całkowitej bądź ułamka. Na przykład, $\sqrt{2}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe (zobacz Postać dziesiętna liczby wymiernej) - to znaczy, ma niekończącą się ilość niepowtarzających się cyfr po przecinku. Jest to przykład liczby niewymiernej. Szablon:Mat:Prz

Oprócz pierwiastków kwadratowych wyróżniamy również inne pierwiastki. Szablon:Mat:Def W tym przypadku, ujemne liczby mogą być pierwiastkowane. Zauważ, że $(-2{)}^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$. To oznacza, że $\sqrt[3]{-8}=-2$ (z definicji pierwiastka sześciennego). Istnieją również pierwiastki innych stopni, jednak w tym temacie skupimy się wyłącznie na kwadratowych i sześciennych. Szablon:Mat:Tw Szablon:Mat:Tw

Zadania

1. Znajdź:

1. $\sqrt{9}$
2. $\sqrt{64}$
3. $\sqrt{\mathrm{0,0001}}$
4. $\sqrt{\mathrm{0,49}}$
5. $\sqrt{\frac{4}{9}}$
6. $\sqrt{1\frac{9}{16}}$
7. $\sqrt{196}$
8. $\sqrt{144}$

2. Oblicz:

1. $\sqrt[3]{27}$
2. $\sqrt[3]{-8}$
3. $\sqrt[3]{\mathrm{0,064}}$
4. $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$
5. $\sqrt[3]{27000}$

3. Oblicz przekątną kwadratu o boku długości $2\sqrt{2}$ cm. Skorzystaj ze wzoru $a\sqrt{2}$, gdzie $a$ to długość boku kwadratu.

4. Znajdź liczbę, której pierwiastek kwadratowy jest równy podanym liczbom, a następnie sprawdź wynik.

1. 8
2. 13
3. $\frac{1}{2}$
4. $\frac{13}{12}$
5. $2\frac{7}{9}$